RELATIONS C0LL1NÉAIRE8 IT RÉCIPROQUES

En vue d'applications ultérieures, nous allons montrer la forme particulière que prend cette propriété lorsqu*on rapplique au polygone des forces et au polygone funiculaire. Pour plus de clarté, nous avons représenté par une droite Uqo, tracée dans les limites de la fig. 131, la droite à Tinflni. Le fais* ceau ayant pour centre le pôle 0^ du polygone des forces correspond à la droite à Tinfini U cq, de telle

Fig. i3i.

oc

dans le polygone J

0« étant le

façon qu'à un rayon quelconque 0^ U du système plan auquel appartient le polygone des forces corresponde, dans le système plan auquel appartient le système funiculaire, le point U de la droite à Tinfini situé sur ce rayon. Par suite, nous aurons comme éléments correspondante

des forcés 0* 0*U qo U funiculaire oo U 0, 0,U point qui, dans le plan du polygone funiculaire, correspond à la droite à rinflni du polygone des forces. La correspondance des deux premiers éléments est une donnée de la question ; celle des troisièmes éléments est une conséquence de la réciprocité, et enfin celles des quatrièmes éléments résulte de la correspondance des seconds et des troisièmes.

Si nous prenons le point U sur la direction d'une force quelconque, 3 par exemple, le rayon 0, correspondant devra, par suite de la réciprocité des deux figures, passer par le point d'application de la force 3 qui, dans le polygone funiculaire, correspond au côté 3 du polygone des forces. Donc les lignes d'applicatiop des différentes forces, dans le poly-

gone funiculaire, passent toutes par un même point 0,, qui est le point

correspondant à la droite A l'inlini du polygone des forces. Donc aussi ;

Quand tnutes les forre* d'un /tulyi/one funiculaire panent par un niéme point, le polygone des forces el le polygone funiculaire peuvent être mit ea relation réciproque.

Si les pûlea 0, 0, des deux systèmes, fig. 132 et 133, sont donnés el qne l'on prenne, dans l'un des systèmes, une droite quelconque a, fig. 132, le point correspondant A, de l'autre système devra se trouver sur le rayon parallèle Si a mené par 0, , et l'on peut prendre ce point arbitrairement sur ce rayon. Mais, une fois ce point choisi, les deux systèmes sont complètement déterminés. Traçons en elTet uoe seconde droite b, fig. 132 ; le point correspondant B[ est déterminé, car il se trouve à l'intersection du rayon 0,B, parallèle à 6 et de la droite A,B, parallèle au rayon qui de 0 projette le point (né). Inversement, si on se donne le point B, , on construira par le même procédé la droite correspondante /', et enGn on pourra construire la droite qui, dans la fig. 133, correspond à un point quelconque de la fig. 132, au moyen du point

FiR. m.

(ab) et de la droite correspondante A,B| . Ainsi, au point C pris sur li. correspond la droite C, menée par le pointB, parallèlement au rayon UC. Les trois droites passant par le point (ai) sont parallèles aux côtés du triangle 0,A,B, . Par suite, si l'on déplace une de ces lignes, a par exemple, parallèlement à elle-même jusqu'à ce qu'elle passe par le pôle 0 en a, .cette nouvelle droite a, formera avec les deux autres un triangle 0{afi){f>a^) semblable au triangle 0,Â,B. Abaissons maintenant du pôle 0 deux perpendiculaires k et k sur a et i ; l'aire du triangle 0 [ab) {ba,)

iF = la,h

bk; d'où -

D'un autre côté, la similitude des triangles donne a, 0,A,