RELATIONS COLLINÉAIRES ET RÉCIPROQUES

0 A k On a donc -r^ = - ou 0, A. x A = 0|B. X A, c'est-à-dire que : U,D, h

Dans deux systèmes reliés réciproquement comme nous Vavons indiqué^ le produit des distances de deux éléments correspondants à leurs pôles respectifs est constant.

Soit c* la valeur constante de ce produit; au moyen de cette valeur et des pôles 0 et 0', on peut construire les éléments d*un système qui correspondent à des éléments donnés de Tautre. Soit, par exemple, a une droite donnée du premier système (%. 134). Abaissons du pôle 0 la perpendiculaire h sur a, et portons la longueur c sur a à partir du pied de cette perpendiculaire ; en construisant un triangle rectangle dont c soit la hauteur, nous obtiendrons sur le prolongement de h la distance 0,A du point correspondant au pôle Oj. Le point A sera situé sur une parai-

Pig. 134.

Ilg. 135.

'^<()iA) y

»^ll

lèle à a menée par 0^ . et de façon que O^A forme avec h un angle droit de sens constant. Nous avons indiqué sur la fig. 135 la solution du problème inverse.

A des points situés sur un même rayon dans un système, par exemple AB,/î^. 135, correspondent des droites parallèles dans l'autre, aô, A^ 134. Si, du pôle 0, on mène un rayon quelconque, la forme Oba sera semblable à la forme O^AB. La relation O^A X A = OjB X K donne

en effet

0,k k Ob

OiB""Â""Oa'

Cette propriété est utile pour la construction des polygones réciproques.

On pourrait déduire de là que, si un polygone des forces et un polygone funiculaire correspondants à un système de forces donné sont réciproques, tous les polygones funiculaires correspondants à ce môme système sont des flgures semblables. Mais cette propriété résulte immé-

aefi CÛMPOSITrON l>E8 FOnCES.

diHtemenl de ce que oes polygones ont tous la droite à l'infini commiiiie.

m l'on considère le polygone des Torces et le polygone Tuakulaire au point de vue purement géométrique, c'est-à-dire comme des figures ré- (■[[iroques, tous les éléments du plan peuvent (Mre considérés comme li'« éléments des deui polygones. Mais, si l'on considère ces polygones au point de vue statique, c'esl-à-dire comme correspondants à un syslâme de forces réel, aucun côté du polygone funiculaire ne peut, dans ce '■(H, passer par le pôle de '.-e polyijttne, pourvu lûulefots que les deux pôles siiient uitués à distance finie. Si on elfet un côté du polygone funiculaire passait par le pôle, tous les autres eûtes devraient aussi passer par ce p61e comme intersection commune de co cûté avec toutes les autres forces. Si donc on relie par un polygone funiculaire un système Je forces passant par un tâeroe point, aucun côté ne peut passer par le pôle. 11 n'en est pas de même du polygone des forces, car les directions des forces ne sont assujetties à aucune condition.

Nous avons démontré d'une manière générale au n* U, p. 161, que la résultante d'un nombre quelconque de forces passe par l'intersection des côtés extrêmes du polygone funiculaire. Cette propriété peut, dans le cas spécial qui fait l'objet du présent numéro, se dédiùre directement de la réciprocité des deux polygones. La résultante 9 1 2 est représentée, dans le polygone des forces, PI. VIII,, par la droite indiquée en-pointillé. Aux extrémités de celte droite, qui sont les intersections des côlos 8 9 d'une part et 2 3 de l'autre, correspondent les côtés 8 9 et 2 3 du polygone funiculaire, et par suite A celte droite correspond dans le dernier polygone l'intersection (9 I 2) de ces côtés. Au point à l'infini de la droite 9 1 2 du polygone des forces correspond la droite qui joint le point 0, avec (912), PI. VIII,. Cette dernière droite est donc parallèle i\ 912, PI. Vlll,, c'est-à-dire qu'elle est en direction et en position la résultante 912, et elle passe par l'intersection des côtés 89 et 23 du pulygone funiculaire.

Écrivons l'équation d'un côtf^ du polyj^oue funiculaire: et celle du point correspondant du polygone dos forces :

(tn voit r|uo le point c^t silui' Mir lo oiMi' i:un-cspondaut quand on fail j-=— i), y — i, et nue le coelllcieiit ^^A - de f or Jonuce constante 1 reste aussi conatanL