AVEC LES COURBES DU SECOND DEGRÉ

Quand les directions de toutes les forces passent par un même point et que les deux polygones sont réciproques, si Tun de ces polygones est inscrit ou circonscrit à une courbe du second degré, il en sera de mémo de Tautre polygone. Ce dernier polygone est inscrit ou circonscrit à une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le pôle du premier polygone est situé à Tintérieur de la courbe, sur la courbe ou h Testérieur.

En effet, à chaque pôle d*un polygone correspond la droite à Tinfini de l'autre, et à tout point situé à Tintérieur d'une courbe correspond une droite située à Textérieur de l'autre. Par suite, si le pôle est situé à l'intérieur de la courbe, la droite à l'infini est située à l'extérieur de l'autre courbe qui est ainsi une ellipse ; si le pôle est situé sur l'une des courbes, l'autre est une parabole; enfin, si le pôle est situé en dehors d'une courbe, l'autre est une hyperbole.

Nous avons représenté ces relations sur la PI. YIII, où nous avons figuré deux ellipses, deux paraboles et deux hyperboles respectivement réciproques deux à deux. Nous avons considéré les polygones inscrits comme des polygones funiculaires et les polygones circonscrits comme des polygones des forces. Sur la^^. 1, nous avons pris successivement trois pôles 0^, 0^ et 0„ le premier à l'extérieur de l'hyperbole, le second sur la courbe, le troisième à Tintérieur; les courbes réciproques sont, dans le premier cas, l'hyperbole {fig, 2); dans le second, la parabole

168 CUKPUSITtON DES fOltCES.

{fig. i), et, dans le troisîËme, l'eUipse (fig. 3). Les pâles correspondants 0^ de ces trois courbes sont situés à l'cstérieor, puisque la courbe correspondante (fig. i) est une byperbole. Nous avons encore dessiné sur la même planche l'ellipse {/ig. o) correspondante au pûle 0, de la fig. 3, et la parabole (fig. 6) correspondante au pôle 0^ de la fig. i, de sorte que cette planche représente toutes les relations réciproques possibles des trois courbes du second degré, à l'exception de celles de l'ellipse et de la parabole.

Avant d'aller plus loin dans l'esplication des constructions représentées sur cette planche, nous devons encore appeler l'attention sur les relations réciproques suivantes des points et des droites qui y figurent.

Nous trouvons comme éléments correspondants :

A chaque élément d'une courbe, A chaque rayon mené par un pôle, Au.\ deux points de la courbe situés sur ce rayon,

Aux tangentes eu ces points.

Au point d'intersection de ces tangentes, A la polaire du pAIe d'un polygone,' A deux points conjugués de cette polaire.

Aux extrémités du diamètre passant par le pôle,

Aux extrémités de la corde passant par le pôle et conjuguée au diamètre,

Aux points à l'infini d'une corde quelconque.

Aux points à l'inflni sur les asymptotes.

Aux deux branches de la courbe séparées par les asymptotes,

l'élément suivant de l'autre:

le point h. l'inlini situé sur ce rayon ;

les deux tangentes menées par ce point, qui sont par suite parallèles au rayon;

les points de contact de tes tangentes ;

le diamètre reliant les deux points de contact;

le centre de la courbe ;

deux diamètres conjugués parallèles aux rayons qui projettent les points de la polaire du pùlc de l'autre courbe;

les tangentes parallèles au diamètre;

les tangentes parallèles à la corde ;

le rayon qui du pôle projette le point correspondant à la corde, et par suite qui est parallèle à cette corde ;

les tangentes menées par le pôle parallèlement aux asymptotes;

les deux parties de la courbe séparées par les points de contact de ces tangentes.