RELATION DU POLYGONE DES FORGES ET DU POLYGONE FUNICULAIRE, ETC

Il résulte en outre des propriétés démontrées précédemment, que les directions des deux diamètres passant par 0^ et 0 sont des directions conjuguées dans chaque courbe. Appelons rayons conjugués deux rayons menés par le pôle d'une courbe parallèlement à deux diamètres conjugués de l'autre courbe, et considérons chacun de ces rayons comme correspondant au diamètre qui ne lui est pas parallèle. Les deux faisceaux formés par ces rayons et ces diamètres sont projectifs, c'est-à-dire que le faisceau de rayons projetant, du pôle d'une courbe, les points de cette courbe est perspectif avec le faisceau de diamètres de l'autre courbe projetant les points de contact des tangentes correspondantes aux points de la première. En coupant ces deux faisceaux par deux directions conjuguées, on obtient deux ponctuelles semblables, car les points à l'infini de ces deux ponctuelles sont des points correspondants.

Gomme application de ces propriétés, nous avons, sur la PL VIII, construit cinq couples de courbes réciproques. En commençant par la fig. i, nous avons construit l'hyperbole {fig. 2) qui correspond au pôle Ot, situé en dehors de la première courbe. Pour cela, nous avons d'abord mené le diamètre u passant par 0/^, la corde t; conjuguée à ce diamètre, le diamètre n conjugué de u et la polaire m de 0^^. Gela fait, nous avons pris, pour former le polygone des forces, les tangentes aux six points de la courbe situés sur les droites mnv, les deux asymptotes et une tangente arbitraire 4, soit en tout 9 tangentes, dont 8 passent deux à deux par les points d'intersection de u avec les droites vnm oo.

Prenons maintenant le pôle 0;^ sur la fig. 2; aux quatre parallèles vrmi<y> correspondent les quatre points oo NMO^^ situés sur les parallèles menées par 0^^, et de telle façon que la ponctuelle NMO/^ soit semblable au faisceau de parallèles u)mnv (n* 74, p. 265). Nous avons pris comme

rapport de similitude - , c'est-à-dire que les distances NMO^^ sont les

moitiés des distances u)mnv. Les quatre droites 59mu {fig. i) se coupant en un même point, les quatre points correspondants 5 9 MU de la fig. 2 seront sur une même ligne droite, qui est la parallèle à u menée par le point M. La position des points 5 et 9 sera maintenant complètement déterminée en menant les rayons 0;^5 et 0/^9 {fig. 2) parallèles aux tangentes aux points 5 et 9 {fig. 1). Réciproquement, les deux tangentes N)38 {fig. 2) doivent être parallèles aux rayons 0^)38 {fig. i), ce qui détermine les points 3 et 8 sur O^^U. Enfin les tangentes Of,)iQ{fig. 2) sont parallèles aux asymptotes de la fig. 1, et les asymptotes de la fig. 2, qui passent par M, sont parallèles aux tangentes 0^^)27. En opérant comme nous venons de l'indiquer, on voit que nous avons obtenu des éléments disposés d'une manière analogue sur les deux courbes, savoir : trois

couples de points situés sur des cordes purallëles, Igs tangentes en ces points elles asymptotes. Le résumé ci-après permet d'embrasser d'un coup d'œil ces relations :

ALâMBNTS C01lRB8T>riNDA.NTS.

Asymptotes.

Mondes par lo pftle.

Aux commets

AuxextrémJtéBdelacorde pansant par le p&le

Lea quatre droites d'nne ra^me ligne cidouuB se coupent an un mâtne point.

A l'espitce lii(> limita' par les asymptutea et clont loa rayons coupent la courbe,

Ds coDtaot des tauRentat

meoées par le pAle. . • De COQ tact dos asymptotes Aux axtréiuttésdela corde

pasaant par le p41( SommstR

Les quatre pointa d'une m^me lign* cid9ssus aaai RituËs eur une mdmG droito.

correspond le segment INQ, duquel on peut mener des tangentes à la courbe.

Il résulte de cette dernièi-e relation réciproque qu'aucune partie de la droite à i'inBni de l'hyperbnle {^g. \) ne peut coïncider avec une partie de la droite ft rinflni de l'hyperbole (/îjr. 2) ; les deux points conjugués V,

et U, appartiennent l'un V^ il la raiirbe (fij/. 1), l'iutre U, h la courhi'

(As- 2)-

Pour déterminer le point 4 et sa tangente {ft(/. 2), nous avons, d'après ce que nous avons vu au n° 74, p. 265, mené le rayon O^i {fig. 2) parallèle à la tangente {fig. \), et la droite M4 parallèle au rayon qui projette de 0« l'intersection de la tangente 4 avec m {fig. 1 ). L'intersection de l i,,\ et de M4 nous donne le point 4, et la tangente en ce point est parallèle au rayon 0,4 {/ig. i).

Après avoir tracé les côtés du polygone, nous avons indiqué, sur la fig. 2, les directions des forces qui passent toutes par 0^, el nous avons montré en outre quel est le sens des efforts produits par ces forces sur l'hyperbole. On voit qu'une branche est comprimée et l'autre tendue.

En prenant le pAle sur la courbe en 0, (fig. i], on obtient la parabole {fig. 4), Nous avons choisi ce pôle 0^ sur h alln d'obtenir les mêmes directions conjuguées. Par le pôle 0^ de la fig. 4, nous menons une parallèle à la tangente en 3 (fig. 1), et par suite k la tangente en 8: nous prenons arbitrairement sur cette parallèle le point 3 correspondant a la tangente 3. La parallèle à n menée par ce point 3 est la tangente au sommet; les parallèles 0^)16 aux asymptotes sont des tangentes, dont

RELATION DU POLYGONE DES FORCES ET DU POLYGONE FUNICULAIRE, ETC. STi!

on détermine les points de contact en prenant une abscisse égale à la moitié de la sous-tangente. Les points correspondants aux tangentes 2457 ont été obtenus directement par l'intersection des rayons projetant chacun de ces points de 0^ et de 3 ; le premier de ces rayons est parallèle à la tangente correspondante, et le second est parallèle au rayon qui de 0^ [fig. \) projette le point d'intersection de cette tangente avec la tangente 3. Quant aux tangentes en ces points 2457 de la fig. 4, elles sont parallèles aux rayons projetant de 0^ les points de contact correspondants de la fig, i. Nous ne les avons pas tracées sur la fig. 4; les flèches indiquées sur cette figure se rapportent au polygone des forces de la fig. 6 et non de la fig. i.

Pour obtenir une ellipse, nous prenons [fig. 1) le pôle 0, à l'intérieur de rhyperbole sur n, et nous construisons la corde 0^9 conjuguée de n, ^nsi que le pôle (nm^ de cette corde. Nous construisons ensuite [fig. 3), une figure 0^38 semblable à 0.83, en prenant comme rapport de similitude 2 à 1. Les points d'intersection des tangentes 3 et 8 [fig. 4) avec les tangentes 9 et 9' sont projetés de Of, par des rayons qui sont respectivement parallèles aux cordes 98, 93, 9'8, 9'3 de la fig. 1. Les points de contact des tangentes 9 et 9' sont situés au milieu des segments interceptés sur ces tangentes par les tangentes 3 et 8. Les parallèles 0^)16 aux asymptotes sont des tangentes, dont les points de contact se projettent des points 3 et 8 d'après les règles ordinaires.

Nous prenons maintenant sur la fig. 3 un pôle 0« à l'intérieur de la courbe, et nous construisons l'ellipse correspondante [fig. 5). Pour cela, nous prenons la figure 80,3 égale à 30,8, c'est-à-dire un rapport de similitude égal à 1; les rayons qui, de 0, [fig. 5), projettent les intersections des tangentes aux cordes consécutives ^ 3 6 8 1 , sont parallèles aux cordes de la fig. 3 désignées par les mêmes numéros que les tangentes. La propriété inverse donne la longueur de la corde 0,9 (fig. 5), la tangente 9 et la polaire wi, de 0^. Les tangentes 2457 ont été construites directement.

Enfin nous avons pris, sur la parabole [fig. 4), le pôle 0^ au point 3, et construit la parabole correspondante [fig, 6). Après les eiplications que nous avons données, cette construction n'exige aucune indication nouvelle.

Au point de vue des propriétés projectives, il convient de remarquer que, lorsque le pôle est situé sur une courbe, ce pôle est perspectif à toutes les formes géométriques qui engendrent la courbe. Par suite, les différents points de la courbe forment un système projectif avec : Les tangentes en ces points, Le faisceau qui projette ces points du pôle,

272 i;0>IPOaiTION DUS FORCES.

Les intersections des tanfçentes en ces points et d'une tangente quelconque,

Le faisceau qui projette ces intersections d'un point quelconque eti>ar conséquent do pôle,

Les points correspondants et les tangentes de la parabole réciproque, et les formes géométriques qui leur sont perspectives.

En particulier, des formes semblables sont engendrées par :

L'intersection de toutes les tangentes avec une parallèle à la tangente menée parle pôle;

L'intersection avec la mfime tangente du faisceau qui, du pôle, projette les points de contact;

Les intersections des tangentes parallèles correspondantes avec une quelconque de ces tangentes ;

I^e faisceau de rayons parallèles, qui projette les points correspondants de la parabole réciproque ;

Le faisceau de rayons, qui, d'un point quelconque de la parabole, projette ces mêmes points sur une droite parallèle à la tangente menée par le pôle.

Comme cas particuliers de la position du pôle, nous étudierons encore celui où le pôle est au centre d'une courbe, et le cas où il est à l'infini.