MULTIPLICATION ET DIVISION DES LIGNES PAR DES RAPPORTS

â' La multiplication des lignes par des lignes, ce qui donne des sur- Taces, des surfaces par des lignes, ce qui donne des volumes, etc. ; et inversement la division des volumes par des lignes, ce qui reproduit dés surfaces, et ainsi de suite. Dans ce cas il y a changement dans le degré.

Ce dernier cas est étudié dans le chapitre de la réduction des surfaces et des yolumes, et nous ne nous occuperons pour le moment que du premier, c'est-à-dire de la multiplication et de la division des lignes par des rapports.

Dans plusieurs ouvrages, on considère le cas où le rapport est donné par un nombre, et Ton dit que pour multiplier une longueur par i, 2, 3..., », on la porte 1, 2..., n fois do suite sur une droite. Cette méthode, quoique très simple, ne correspond pas entièrement à Tesprit de la statique grapBique. Les constructions graphiques ne peuvent donner que des lignes et non des nombres; de plus, on ne peut les effectuer que sur des lignes. Porter n fois de suite une même longueur sur une droite retient à représenter par une ligne le résultat d'une opération numérique. Cette opération fait aussi peu partie de la construction graphique que celle qui consiste à mesurer la ligne obtenue comme résultat de la con slniciion pour l'exprimer numériquement. Nous supposerons donc toujours que le rapport qui sert de facteur est exprimé par celui de deux lignes 171 et 7».

La méthode la plus simple pour multiplier une longueur / par un rapport—, c'est-à-dire pour déterminer a:=/—, nous est fournie par les

propriétés des triangles semblables. Les triangles peuvent avoir une po-

j.,j„ ,^ sition quelconque et un troi-

sième côté quelconque. Il suffît de grouper les trois longueurs /, m et n de manière que / et w, lignes qui se multiplient, n'appartiennent pas au même triangle et ne soient pas homologues dans deux triangles différents. Si l'épure ne conduit pas au choix d'une position particulière de deux triangles, le plus simple sera toujours de les former en menant deux parallèles liniilées aux côtés d'un môme angle,

'^e qui donne lieu à deux arrangements indiqués par les fig. 10 et 11,

Kig i».

Toutes les longueurs sont portées à partir de 0; mais m ne doit pas être porté, comme on Ta vu, sur le même côté que /, ni joint à / par Tune des parallèles. Si n est porté sur le même côté que /, on obtient la fig. 10, s*il est porté sur Tautre côté de Fangle, on obtient la fig.ii\ dans le premier cas, x ne se trouve pas sur le même côté que /, dans le second, il s'y trouve. La fig. iO fournit non seulement la réduction, dans

le rapport —, des longueurs entières portées à partir de Torigine, mais n

encore des segments tels que / — n, ce que nous exprimerons en disant

que la direction mn projette entre les côtés de Tangle le rapport—.

Enfin, dans la fig, il, non-seulement toutes les parallèles partant des extrémités de m et n déterminent sur Tautre côté des longueurs proportionnelles à m et à n, mais encore les longueurs de ces parallèles ellesmêmes sont dans le rapport — et Ton a, par exemple, Xj = /j — .

ExEBiPLE. Quelle est la hauteur d'un prisme de pierre de même poids et de même base qu'un prisme de terre de hauteur hl Les poids spécifiques de la terre et de la pierre sont entre eux comme m est à r». Les hauteurs des deux prismes seront en rapport inverse de leurs poids spé-

in cifiques, et celle du prisme de pierre sera h — . Les fig, 10 et i 1 donnent

la solution de la question.

Kig. 12.

Si Ton a plusieurs longueurs /,, /,, /, à réduire dans un rapport donné, on peut faire ime construction [fig, 12) analogue à la fig. 10, ou une autre (fig. 13) analogue à la fig, 11.