MULTIPLICATION ET DIVISION UËS LIGNES PAR DES RAPPORTS

Les analogies sont assez frappantes pour que nous puissions nous dispenser de toute explication.

Fig. 13.

n/ It / Il \ U \ U

F.jr. 14.

Toutes les contructions précédentes exigent remploi de parallèles. Pour éviter cet emploi, on a proposé de se servir de la parabole pour la multiplication par un rapport constant. Les ponctuelles déterminées par les points d'intersection des diverses tangentes à une parabole sont toutes semblables; les segments limités par les mêmes tangentes se correbpondent et Ton doit considérer le point de contact d'une tangente comme Tintersection de cette tangente avec elle-même. Par exemple, dans la fig. 14, les segments portant les mômes chiffres sur les trois droites A, B, G, se correspondent. Si Ton donne une de ces lignes, B (i, 2, 3, 4, 5), par exemple, ainsi que la parabole qui lui est tangente, et si Ton a à multiplier ces différents segments par le rapport IC : 1B, on peut, par tous les points de la ligne B, mener des tangentes à la parabole, puis déplacer la tangente G jusqu'à ce que les extrémités de IG viennent Tune sur A, l'autre sur la tangente 12; la série G (1, 2,

3, 4, 5) sera alors semblable à B (i, 2, 3, 4, 5). On pourrait, au lieu de la parabole, donner une deuxième série A semblable à 6, car alors toutes les droites joignant des points homologues seraient tangentes à une même parabole. Il faut naturellement encore déterminer la position de G, de manière que cette ligne passe par des points homologues de A et de B. Ainsi 6A et 6B doivent se correspondre. Cette construction générale se simpliiie un peu quand tous les segments ont la môme grandeur, car alors il suffit de rendre les segments 6 sur A et sur B égaux à Tun quelconque des segments déjà marqués sur ces droites. Toutefois cette multiplication est toujours plus compliquée que celle indiquée dans les fig, 12 et 13; nous ne l'avons indiquée que pour mémoire, et nous ne nous arrêterons pas davantage à toutes les solutions pratiques que peut fournir la parabole.

Les diverses méthodes que nous venons d'exposer sont toutes également satisfaisantes au point de vue théorique ; mais, dans la pratique, nous recommanderons surtout la construction suivante {fig, 15). Son

avantage consiste en ce que n Qi x se mesurent directement avec le compas sans qu'on ait besoin de tracer les lignes qui leur correspondent, et l'on sait que les constructions qui ne se \ font qu'avec le compas sont de beau-

coup les plus exactes. Pour construire

Fig. 15.

nt'

X = Z — , on décrit de l'extrémité de n

comme centre une circonférence de rayon m, puis de l'origine 0 on mène une tangente à cette circonférence (on voit par la figure qu'on peut commencer l'opération sur l'un quelconque des côtés de l'angle). La distance de l'extrémité de / à cette tangente est la grandeur cherchée, et cette distance peut se mesurer directement avec le compas sans qu'il soit nécessaire de la tracer elle-même.

Cette construction est surtout avantageuse lorsqu'il s'agit de multi-

plier plusieurs longueurs / par le même rapport — . On prend la lon-

gueur / avec le compas, on la porte à partir de l'origine et l'on mesure directement x.

Si Ton pose n=l, m sera le sinus de l'angle formé à l'origine. On voit qu'en se servant du sinus la construction est plus pratique qu'avec la tangente trigonométrique que l'on emploie si souvent.

Nous avons supposé dans la construction précédente que n était plus grand que m. Dans le cas contraire, on peut tourner la difficulté de deux

MCLTIPUCATION ET DIVISION D£S LIGNES PAR DES RAPPORTS. ii

manières. Lorsque la position de x est indifférente pour Tépure, on permute simplement m et n, a? et /. Le sinus de Tangle 0 ainsi formé sera —

et X sera la longueur de la portion de la tangente comprise entre l'origine et le point dont l'ordonnée est /.

S'il était avantageux d'obtenir x = — l sur des verticales, on con-

struirait l'angle 0 au moyen du rapport — = où x est un

n fi

nombre entier choisi de manière que l'on ait m < n. On l'obtient en

retranchant autant de fois que possible n de m\ la grandeur m est le

reste de cette opération.

Gela posé, on a :

.r'= — /=— / + aL n n

ni On construira — / comme nous l'avons indiqué, et il suffira d'ajouter x/

à la longueur trouvée, ce qui peut se faire sur l'ordonnée elle-même.

, ^ -^ , . . . .. wi w4-w

Dans la fig, lo, nous avons supposé x = 1, c est-à-dire — = .

Pour diviser une ligne par un rapport, il suffit de la multiplier par le rapport inverse. On emploie, en outre, souvent le mot de division au lieu de multiplication lorsque, dans les fig. 12, 13, 14, ce ne sont pas les divers segments, mais la longueur entière d'une ligne qui est donnée et qu'il s'agit de la partager en divers segments proportionnels à ceux d'une autre droite. Les longueurs totales des deux droites données remplacent alors m et n. Dans la fig, 12, la parallèle extrême est déterminée par les extrémités des deux lignes données, et dans la fig, 13 l'on obtient le centre 0 de projection en prolongeant jusqu'à leur point de rencontre les droites de jonction des extrémités des lignes données, ces lignes étant tracées parallèlement.

Si l'on veut diviser une longueur / en 2 parties proportionnelles à

— ni ni , ,. . , ii^i

ou — , on porte les lignes «, m ou — m sur deux parallèles passant

par les extrémités de / {fig, 16). La ligne qui joint les extrémités de ces longueurs détermine sur / les segments cherchés, comme on le voit par la figure, sans qu'il soit nécessaire d'une démonstration spéciale.

Pour l'exactitude de la construction, il faut que la ligne de jonction ne coupe pas / sous un angle trop aigu. Cet angle est maximum quand la ligne de jonction est normale aux parallèles, c'est-à-dire tangente

DU CALCUL GAiM^HIQUE.

commune aux deux cercles décrits des extrémités de / comme centres

Pig. f6.

avec m et n comme rayons. Si Tangle ainsi obtenu est encore trop petit, on fait la construction avec des multiples de m et n.

Ces dernières constructions nous fournissent les solutions des équations du premier degré :

nx^ + mx^ = 0 tix^ — mx9 = 0,

où m, n, Xi sont connus.

Nous pourrions énumérer ici toutes les méthodes employées pour traduire graphiquement les résultats de Tanalyse; nous pourrions aussi parler des constructions qui se rapportent aux systèmes anharmoniques et en involution, mais nous ne voulons pas aborder ce chapitre qui appartient tout entier à la géométrie de position. Nous nous contenterons de faire remarquer que lorsque m'=x~m, la construction de la fig. 16 nous permet de déterminer d^une manière très simple les pomts harmoniquement conjugués à deux points donnés.

1'* Application. Soit à construire la longueur F =

Fig. 17.

En mettant cette expression sous la l'orme s = =r -+■ ^1 on voit que si l'on porte