FORMULES DES COURBES RÉCIPROQUES DU SECOND DEGRÉ

clioisir les échelles des longueurs et des forces de telle façon que le polygone des forces et le polygone funiculaire soient Tun inscrit, l'autre circonscrit à la même ellipse.

On peut arriver au même résultat pour Thyperbole en plaçant les deux "hyperboles dans le même angle des asymptotes.

Nous supposerons, dans les deux cas, que le polygone des forces soit \e polygone inscrit, et le polygone funiculaire le polygone circonscrit. La tension dans un côté quelconque du polygone funiculaire sera représentée par la longueur du demi-diamètre parallèle à ce côté, et chaque force sera représentée en grandeur par la corde de Tellipse qui joint les extrémités des diamètres parallèles aux côtés du polygone funiculaire. La/î^. 136 met ces relations en évidence; elle représente l'équilibre

Fig 436.

mu.

d'un système de forces agissant sur une enveloppe elliptique et passant par le centre de cette enveloppe.

Divisons le contour de Tellipse, qui est la courbe intérieure de la figure, 6n arcs tels que, mesurés normalement à la direction correspondante des forces, c'est-à-dire suivant les petits arcs indiqués en pointillé, ils soient tous égaux les uns aux autres. Représentons l'intensité des forces agissant sur Tellipse par Taire de trapèzes ayant pour bases les arcs et pour côtés latéraux les diamètres correspondants aux extrémités de chaque arc. La hauteur moyenne i, 2, 3, ... de chaque petit trapèze devra être proportionnelle (sur la figure nous Tavons prise égale) à la corde 1, 2, 3, ... qui joint les extrémités des deux diamètres conjugués aux diamètres limitant le trapèze. A la rigueur, nous aurions dû porter ces hauteurs moitié au-dessus et moitié au-dessous de Tare représentant ïa largeur moyenne; mais la figure eût été disgracieuse.

La tension de Tenveloppe elliptique à Textrémité d'un diamètre quelconque est représentée par la longueur du demi-diamètre conjugué.

SiTellipse est un cercle, la hauteur de chaque trapèze devient égale à ^ base, et la tension en un point quelconque de Tenveloppe circulaire est constante. Dans ce cas, qui se présente fréquemment, par exemple

tri

quand on étudie les pressions d'un lluide sur un vase à paroi rirculm, le i-apporl entre la pression exercée sur «n élément de l'enveloppe el I» leusion dans cet élémenl est égal au rapport entre la longueur de lé!*ment considéré et le rayon.

lE courbes rectpruHut^^ >'i soi^ad <itg>'i'

S = Ui,i' + ÏO|,j^ + n.,f,t + &,,,! +2tt,,s + n„ = ll

l'AquaUon d'une courba <la aecood deifeé ea coordonDtes i?arUsieunee. L'éi]uaiiuii

ï = oiin" — 2oi,tn + «jiS* — ïoiil + &«„ï + «,, = 0

repréimatbt*., eu eooràoaaéea Ungentietlss, une courbe du BeMaddc^ri^, enveloppe de la droite fii.

Si l'on écrit la discriminant (') «la chaouna des forme» 8 at S, on reconnaît que « discriminant est te mâme dans les deux cas.

La courbe S eat uns hyp«rbot», une parabole ou une ellipse, suivant «jue le coefficient Aj, da a„ dans te (li»criniiaaiit de S est < 0, = 0 ou > 0, c'est-à-dire, puisque ce coefHcient est le mi^me que celui du discriminant de Z. suivantque l'oriffine de 1 est située à l'extérieur de la courbe, sur la courbe, ou à l'ioténour.

Kéciproquemaat, la court>e I eat une hyperbole, une paratwle ou uue ellipse, ^uiïiiTit 'luc le i.'oetfli'ieiit de o,,-, dans li; diaiTiniiriiint île I est < ", — l* ou > i\ c'est-à-dire suivant que l'origine de S eat située i Testérienr de la courbe, sur la courbe, on à L'ivtérieur.

On peut démonti'er trte facilement les propriétés réciproques indiquées au n' 7!i, p. 368 ; on n'a qu'à écrire d'un aôlé tes équations des formes géométriques ( polaires, dtamètres, etc.), considérées par rapport â S, et de rautre ces mA»ee fqnatiuM dana lesquelles on aura remplacé xetypar— qetl. Ces denùM-ea équMMae représenteront les formes Réométriques réciproques de 1. On peut, de cette fa^n, transformer réciproquement presque toutes les formes ou propriétés de la giéométrie analytique, et auf^enter beaucoup le nombre des propositions réciproques que noua avons données.

Si le ptMe d'une des deux sections coniques coïncide avdc son centre, les coeUicientg a,j, o,, des puissances impairus de i et y deviennent nuls dans l'équation de cette conique, et )l en e^t de mAne par conséquent pour Téquatiou de l'autre courbe. Done : j>i h pAit lit Cuitt éts romhes cuiaciite acte ton eenliv, le pute lie i'aatn •:axirbv comàile aussi avei: luu amli-e. L'équation du faisceau du second degré qui enveloppe S est alors :

I nui [ooclKm hiiaiDKCi>s i* 1^ luiibln, par lappoct i cIucud lions r|ue J'on obliîDt tu êgabul 1 0 In f Ait'n ■( da )• toDetwD aa t*nw dossée. Li lUactiM

FORMULES» DES COURBES RÉCIPROQUES DU t»COND DEGRÉ.

= asf

a,, Oj, 0 71

«il «iS T^

= «S»! - «1 1 V -f 2fl, i^fï - ûjsÇ» - —1 = 0.

Les coefficients de cette dernière équation Mut les mêmes que ceux de 1, mu terme constant près. Donc, dans ce cas, les deux courbes sont semblables et semOtablement placées. Enfin, en faisant ^i i = ajs, et, en coordonnées rectangulaires, «P| « = 0, <ri obtient les twàsiona dans des enveloppes circulaires.

Si, dans les équations des polaires des deux courbes, on fait Xj et ^i d'une part, ^1 , vii diantre part, égata à oo , c6t équations se rédttisest A

P = S^i -f Syy, = 0, et n = Sç Çj — l^Ti, = 0,

ou

d^ 2dx'

,. dl

•Ti —

2dii

Si l'on fait jc =— ti , x, =. — tj, , y = 5, y, «s Ç, , Téquation P devient Téciuation il ; par suite, les deux systèmes polaires se correspondent. I>es coordonnées

Au

As 3

du eeatre de la courbe S, Â^* représentant les détennlAanto mineurs ds dimrimi^ nant, satisfont à Téquation P, car elles rendent S« et Sy nuls. Uéqoalion P est par

suite Téquation générale d'un diamètre. De même les coordonnées — ti = •-^ et

^ = 7^ de la polaire de Forigine annulant simultanément S^ et £ , satisfont à Té-

qoation 0. Donc : ^éux différents diamètres (Tune courbe correspondent, datis Vautre «sourie, des points de la polaire de Forigine des coordonnées, et à des diamètres conju- V^ d'une courbe correspondent, dans foutre courbe ^ des rayonJt conjugués parallèles à '^diamètres.

Poar démontrer la proposition de la page 269, consistant en ce que les sections de ^ deux faisceaux en involution par des droites parallèles à des diamètres coi\jugués ^ des ponctuelles semblables^ mettons les équations P et ff sotrs la fbrrae

=-..(x-^;)..+4(.-^;)..+(.-^-;^jx,]+<,4-^;)..=«, =-.(-xr;>'-''"^-^è:K+(*-îr;W^""(^-A-!;>'="-

Coupons les deux faisceaux par des droites parallèles à des diamètres conjugués, ^t supposons, en outre, qti*on aiit pris ponr axes des coordonnées «feux directions ^«gaéts, d« tell* aorte (|iie a^^ devienne égal à 0. Nous aurons :

Cluiqne valeur piartieulière du rapport -^ » ^ peut être considérée comme le rap-

port des coordonnées d'un point à l'infini du système plan arflqifèf âpi[>afti€irt la

COMPOSITION DUS FOKCEB.

promiôra courbe ; et la même valeur i dn rapport ^ comme le rapport des coor-

duUDâefl du rayon pasEaut par ce point à l'intlni et par l'origine. Le rapport

eat le rapport des coordonnéM du diamètre de la première c«nrl>e qui est cobju-

gué au point A l'infloi — . Dans cette espraaBÎon, j; et y peuvent 9tre les «wr-

données d'un point f|ualconque du diamètre, et par suite les coordonnées de Un des points de la courbe «ilués sur ce diamètre, L'dquation

oet celle d'un point de la polaire de l'origine par rapport à la eeconde courbe, iin

les coordonaéea ^ = — •— et ( = ^ de la polaire sstisTont ftcette équation t<l<>^'

que floit ?i. Le rayon qui, de l'origine, projette ce point, e«t parallèle au diamMn correspondant, cap, pour .1: j, 11, E = « , le rapport dee coordonnées des deiu

droites est —.

Si maintenant nous coapona les deux premiers faiaceauic pai' une pareUUe ^

l'axe dee ordonnées, en (SiHant — — ^ a, := une constante H, l'ordonnée du poin*

d'intersection correspondante à chaque valeur de X sera :

Coupons les deux derniers faisceaux par une parallèle à l'axe des ubscisses. à 1.'^ distance c du centre, en faisant y = — — ^' = — ■= c; nous aurons :

e faisceaux, et en particulier —.s — '—^, forment donc, par leurs ir

tersections avec des parallèles aux axes, des ponctuelles semblables, ce qui démontre la proposition i^noncée.

Les relations indiquées subsistent encore lorsque le pôle d'un polygone, du polygone [les forces par exemple, s'éloigne à l'inlini, c'esl-à-dire quand toutes les forces qui agissent sur l'une des courbes sont parallèles. Nous n'avons qu'à imaginer, dans ce cas, le polygone comme transporli't à TinSni, et l'intersection de ta parallèle à l'axe des 1/ avec le troisième faisceau ;,yii peut être considérée comme une partie de ce polygone à l'infini réduite à une échelle plua petite que le polygone des forces réel.