REUTIONS ENTRE LE POLYGONE FUNICULAIRE ET LE POLYGONE DES FORCES

ceau 0 seront les tensions des côtés de ce polygone funiculaire, car ces projections passent toutes par le pôle 0' et sont parallèles aux côtés du polygone funiculaire.

Il est clair qu*étant donnés un polygone funiculaire et un polygone des forces dans un plan, on peut construire une infinité de polygones réciproques correspondants dans Tespace. On peut tout d*abord prendre arbitrairement le plan N, et, en projetant le polygone des forces et le pôle 0' sur ce plan, on obtient les points de rencontre avec ce plan des côtés du contour polygonal de la fig, 141, et le pôle 0 de la/î^. 142. Dans cette dernière figure, les points de rencontre 2', 3' du polygone des forces avec le plan N sont maintenant complètement déterminés, car ils sont situés sur les rayons qui, de 0, projettent les points de rencontre correspondants de la fig. 141. Ces rayons étant en effet des directrices du système, puisqu'ils sont situés dans le plan focal* et passent par le foyer, rencontrent les côtés du contour polygonal de la fig. 142. Par guite, les intersections des rayons du faisceau 0' avec les côtés du polygone des forces sont les projections des points de rencontre 2', 3' dans , l'espace. Il suflSt donc, pour obtenir ces points, de projeter de nouveau sur les rayons 0 les intersections des rayons 0'. Après avoir construit ainsi les diff'érents points d'intersection des deux contours polygonaux dans l'espace avec le plan N, on peut encore prendre arbitrairement un point du contour de la fig. 141 dans le plan projetant Tune des forces. En joignant ce point au point de rencontre correspondant, on obtient un côté du contour. L'intersection de ce côté avec le plan projetant la force suivante détermine un second côté du contour, et ainsi de suite.

La projection de la droite qui réunit, sur la fig. 142, le point 01 au point 34, est la résultante 123 du polygone des forces. A cette résultante correspond, sur la fig. 141, l'intersection des plans 01 et 34. Nous avons indiqué la construction de cette intersection, qui passe par le point de rencontre des côtés extrêmes du polygone funiculaire. Par suite, la résultante d^un nombre quelconque de forces situées dans un plan passe par l'intersection des côtés extrêmes de tout polygone funiculaire reliant ces forces.

Si on change le sens de la résultante 123, les forces sont en équilibre, et les deux polygones sont fermés. Donc, quand des forces sont en équilibre, le polygone des forces et tous les polygones funiculaires sont fermés.

Si, en partant du point 01, on change, dans la fig. 142, l'ordre des différents côtés du contour, on arrive toujours, d'après le n* 38, p. 151, aa même point final 34. Par suite, dans la fig. 141, le premier et le dernier plan 01 et 34, et par conséquent aussi leur intersection, ne cban-

S9i COMPOSITION DES FORCES.

gent pas. La résultante d'un nombre quelconque de forces est donc indépendante de l'ordre dans lequel s'opère la composition', elle est 11 résultai d'uue addition.

Si on prend un autre plan N, on obtient, dans la projection, un auln p61e 0', du polygone des forces et un autre polygone funiculaire. Deir côtés correspondants quelconques des polygones situés dans les plans f et N, ae rencontrent, car ces côtés sont situés dans le plan de deux côlé consécutifs du polygone dans l'espace. L'intersection de ces côtés doi Être située sur l'intersection des plans N et N,. Ces intersections son donc situées en ligne droite, et il en sera de même des intersections de projections de ces côtés. De là résulte le théorème démontré au n' 46 p. 164. que les côtés correspondants de deuï polygones funiculaires re liant la même série de forces se coupent sur une même ligne droite. I est clair que cette ligne droite, qui est parallëlb à la droite joignant le^ deux pôles du polygone des forces, est la ligne d'action de la résultante àe: forces agissant suivant deux côtés correspondants quelconques des deu; ■ polygones funiculaires, l'une de ces forces étant prise en sens contraire

A une droite à l'infini, correspond, dans un système focal, une parai lèle à l'axe central. Par suite, si le plan N se déplace parallèlement; lui-même, son foyer décrit une parallèle à l'axe central, et, comme nou avons projeté les polygones par le point à l'infini de l'axe central, la pro jecliou du contour polygonal de la fig. 141, c'est-à-dire le polygone de forces, n'est pas modifiée. Quant aux côtés correspondants des deux po lygones funiculaires, ils sont parallèles, puisqu'ils se coupent à l'infini on obtient ainsi tous les polygones funiculaires qui peuvent être con struils avec un seul et même polygone des forces. La résultante de forces égales agissant suivant les côtés correspondants de deux de ce polygones funiculaires, et dont l'une a été changée de signe, est con stante ; c'est une force à rinfinl, c'est-à-dire un moment.

La considération du système focal permet donc de démontrer facile ment et simplement les diverses propriétés du polygone funiculaire e du polygone des forces, et nous a.urions pu substituer ces démonstra tions à celles données dans les n" 41, 42, 44, 45, si le systèni focal était plus généralement connu. Mais, au point de vue graphiqu( la considération du système focal n'est d'aucune utilité, car il faiil comme nous l'avons vu, construire d'abord les polygones pour ohteiii un contour possible dans le système focal. Toutefois, cette considéralio conduil, pour la composition des forces agissant sur un framework [*

1") Voir, pour le terme p-nw^ritrk. 1; eini)loierons ft'dquemmoiit le terme fem