FRAMEWORRS A CHARGES CONSTANTES

Soit (PI. X,) un frame aux nœuds duquel sont appliquées des forces quelconques, mais constantes. Nous reviendrons plus tard sur les différents systèmes de frames, et nous nous bornerons à faire remarquer, pour le moment, que les constructions de Gremona, que nous allons faire connaître, ne sont possibles que lorsque les forces sont toutes appliquées à des nœuds situés sur le contour du frame. Les forces doivent en outre être en équilibre. Par suite, si 012 ... 7 sont les forces données, nous les composons tout d'abord, et nous décomposons ensuite la résultante en deux composantes dirigées suivant les réactions des culées. Gela posé, nous construisons un nouveau polygone des forces, en suivant Tordre A1357B6420A;ce polygone est fermé. Sur la figure, nous avons désigné les nœuds du longeron comprimé par des chiffres impairs et ceux du longeron tendu par des chiff^res pairs, de telle façon que les tiges qui relient les deux longerons soient désignées par la série des chiffres consécutifs 01234567. Au moyen de ce polygone des forces, on peut construire un polygone funiculaire, puis, en suivant les règles données au numéro précédent, un contour fermé dans Tespace analogue à la fig. 141, et on projette sur ce contour les nœuds du frame. Gela fait, en reliant par des lignes droites les points correspondants aux nœuds qui sont réunis par des tiges dans le frame, on obtient un solide formé d'autant de faces que le frame contient de compartiments ou mailles, et qui est limité par la surface développable du contour polygonal. En comparant la figure que Ton obtient ainsi avec la fig. 141, on voit que sur cette figure la surface développable, qui dans ce cas est fermée, n'est pas limitée par un plan unique N, mais par la surface polyédrique qui correspond au frame.

Gonstruisons maintenant la forme réciproque dans le système focal. Elle se compose (comparez avec la fig. 141) d'un contour fermé gauche correspondant aux forces, d'un polygone dont les sommets sont les foyers des faces du polyèdre dont les sommets correspondent aux nœuds du frame, et enfin de droites correspondantes aux barres du longeron supérieur et du longeron inférieur du frame, droites qui remplacent les rayons issus du point 0 dans la fig. 140. A chaque nœud du frame correspond un polygone plan ayant autant de côtés qu'il y a de barres et de forces|passant par ce nœud,

896 COUPÛStTION DES FORCES.

La projection {PI. X,) de celle forme réciproque est le plan des forces cherché. Celte projection comprend les parties suivantes : l' un contour fermé qui est le polygone des forces; nous avons représenté par des traits de force les côtés de ce polygone, et nous leur avons donné les mêmes numéros qu'aux forces ; — 2' un polygone dont les sommets correspondent aux mailles du frame; ce frame peut être considéré comme un polyèdre, et à chaque étrésillon considéré comme l'intersection de deux faces consécutives de ce polyèdre correspond le côté qui joint deui sommets consécutifs du polygone; les droites de la PI. X, qui correspondent aux étrésillons du frame forment donc, comme ces étrésillons, un contour continu; — 3' enfin une série de droites correspondantes aux barres des longerons supérieur el inférieur; ces droites sont les intersections des plans qui correspondent aux estrémités de ces barres, el, par suite, chacune d'elles joint un sommet du polygone des forces & un sommet du polygone dont il vient d'Otre question.

A chaque maille du frame considéré comme face d'un polyèdre correspond un sommet du contour correspondant aux élrésillons. A chaque sommet du polygone des forces correspond un triangle, dont un côté esl une barre de l'un des longerons, et les deux autres côtés les forces appliquées aux extrémités de celte barre; ce triangle est par suite un élémenl de la surface développable. 11 résulte de là, el de ce que les mailles du frame sont des triangles, que, par chaque sommet de la PI. X,, il passe trois droites, et trois droites seulement ; l'une de ces droites correspond à une barre des longerons, el les deux autres aux deus forces extérieures agissant aux extrémités de cette barre, ou aux étrésillons passant par ces extrémités. Les deux forces sont désignées par les indices des nœuds que réunit la barre, et le sommet correspondant à la maille dont celte barre est un côté est désigné par l'indice du nœud opposé à la barre. A l'exception des barres extrêmes AO et 7B, l'indice du nœud opposé à une barre est compris entre les indices des nœuds situés aux extrémités de celle-ci. 11 esl facile, au moyen de ces remarques, de reconnaître les éléments correspondants de la PI. X, ,i i.

A chaque nœud de la fig. l correspond, sur la fit/. 2, un polygone fermé ayant autant de côtés qu'il y a de barres et de forces passant par ce nœud. Chaque force n'appartient qu'à un de ces polygones, tandis que chaque barre appartient à deux polygones. En ce qui concerne le signe de la surface de chaque polygone, signe qui est déterminé par celui de la force appartenant à ce polygone, on peuL remarquer que chaque barre du frame est parcourue une fois dans un sens el une fois en sens contraire. Chacune des barres des longerons sépare en elfet, sur la fig, 2. deux forces consécutives de mémo sens, el, par suite, doit avoir de-;

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signes différents par rapport à chacune de ces forces. Quant au contour correspondant aux étrésillons, il est parcouru dans le môme sens pour tous les polygones dont Tun des côtés est une des forces d'un môme longeron, et il est parcouru en sens contraire pour tous les polygones dont l'un des côtés est une des forces de l'autre longeron.

Par conséquent, si l'on considère ces polygones comme les polygones des forces agissant sur les différents nœuds, les forces correspondantes à chaque nœud sont en équilibre, puisque les polygones sont fermés. Si donc le frame est construit de telle façon que les forces extérieures ne puissent ôtre équilibrées que par un seul système de forces intérieures, la /?^. 2 est le plan des forces de ce système, et chaque barre n'aura qu'à résister aux deux forces égales et contraires qui agissent à ses extrémités. Sur Isifig. i, nous avons indiqué par un double trait les barres comprimées.

Si l'on fait la somme des aires des différents polygones qui représentent l'équilibre des nœuds, les côtés correspondants aux barres du frame sont parcourus une fois dans un sens et une fois dans un sens contraire, et par suite ces côtés n'ijifluent pas sur la somme des aires. Cette somme est donc équivalente à l'aire du polygone des forces. Cette proposition apparaît d'une manière plus claire encore, si l'on imagine que l'aire de la figure soit décrite au moyen d'un planimètre simple, comme celui qui est représenté par les fig, 76 et 77 (p. 115). L'un des crayons devra décrire alors une (ois dans un sens et une fois en sens contraire le contour correspondant aux étrésillons pour revenir à son point de départ, ce qui donne une aire nulle, et l'autre crayon décrit le contour fermé du polygone des forces.

Si Ton fait une section quelconque dans un frame, et qu'on applique aux barres coupées des forces égales aux tensions ou aux compressions de ces barres, l'équilibre du système ne sera pas altéré, car, dans ce cas, les forces qui agissent sur les différents nœuds et celles qui agissent sur les sections des barres coupées sont en équilibre. Quand la section est telle qu'elle laisse d'un côté un certain nombre de forces consécutives dans le polygone des forces, et de l'autre côté toutes les autres forces, le diagramme 2 montre immédiatement que l'équilibre subsiste en appliquant, comme nous venons de le dire, aux barres coupées des forces égales aux tensions ou aux compressions de ces barres, car, dans ce cas, le contour correspondant aux barres coupées forme le polygone des forces situées d'un môme côté de la section. Ainsi, pour la section indiquée sur la fig. i, l'équilibre est représenté par le côté correspondant àl'étrésilIon34, parles deux côtés correspondants aux barres 35 et 24 des longerons, dont l'une est tendue et l'autre comprimée, et enfin par le

398 COMPOSmOM DU PfmCBS.

polygone des forces 20A1^ nu 57B64, suivant qu'on considère l'équilibre à droite oa à gauche de la section. Qnand il n'y a, comme dans le cas actuel, que trois barres coupées, on peut, comme vérification, déterminer directement les forces qui agissent sur ces barres par la métbode du D* 56.

Il est facile de voir, d'après ce qui précède, qu'il n'est pas nécessaire, pour construire les diagrammes 1 el 2, de recourir à la considération du système focal. Il faut, au contraire, construire tout d'abord le polygone funiculaire pour obtenir le contour correspondant dans l'espace, et les deux polygones ne diffèrent des polygones funiculaires et des polygones des forces ordinaires que par l'ordre particulier des forces à composer; cet ordre conduit, comme nous venons do le voir, ft des fleures très élégantes. Mais cette métbode présente un désavantage, c'est qu'il faut avant tout construire un polygone funiculaire spécial et un polygone des forces, destinés à déterminer l'équilibre des forces extérieures, ce à qaoi ne peuvent servir les polygones funiculaires correspondants à un p6le déterminé, dont H. Gremona a fait usage dans ses %ures, parce que les réactions des culées, qu'il est nécessaire d'introduire dans le contour des forces, ne sont pas connues à priori. En général, on devra, ou bien construire deux polygones des forces, ou bien opérer comme nous l'avons fait pour la PI. XVI de la première édition du présent ouvrage. Mais, dans tous les cas, où les forces extérieures sont connues à priori, il n'y a aucune disposition du polygone des forces qui soit plus dtreclc et plus élégante. Aussi nous ferons exclusivement usage de celte méthode dans le cours de cet ouvrage, lorsque nous voudrons déterminer, pour des frames symétriques, les forces intérieures résultant ilii poids propre; nous en ferons aussi usage pour les constructions en forme de grues. La PI, X donne quelques exemples de l'application de celte méthode ; ces exemples sont tous tirés de l'ouvrage de M. Gremona, à l'exception de celui qui se rapporte à la poutre du système Pauli,

Les fig. 3 et 4 reprÉsenlent le plan des forces d'une poutre de ce dernier système. Les réactions des culées sont des forces verticales A el B, dirigées de bas en haut, et égales, comme on sait, à la moitié du poids propre de la poutre. Commençant par la force A, nous portons, h partir de l'extrémité supérieure de celte force, les charges 0, 2, 4, ,.., 12 du longeron inférieur, puis la réaction B, et enfin les charges 1 3, H, 9... I du longeron supéiieur. Gomme nous n'avons que des charges verticales, le polygoue des forces se réduit h une ligne droite. Par les points de division de celle ligne, nous menons des parallèles aux barres correspondantes des longerons, puis, partant du point 1 ou du point 1 3, nous des parallèles aux étrésillons, ce qui nous donne le contour

frâmewoiuls a charges constantes. 299

1 ... 13; les intersections de ce contour avec les parallèles aux barres du longeron déterminent les forces qui agissent suivant ces barres. Pour construire la figure, nous avons supposé les charges du longeron supérieur différentes de celles du longeron inférieur, afin de ne pas obtenir des forces infiniment petites pour les étrésillons. Dans les poutres du genre de celle que nous examinons, on adapte ordinairement descontreétrésillons ; on peut alors considérer la poutre comme formée par la superposition de deux poutres simples symétriques Tune de Tautre, et la fig, 4 suflSt pour déterminer toutes les forces qui agissent suivant les différents éléments de la construction.

Les fig, 5, 6 se rapportent à une poutre à suspension, qui ne diffère de la poutre du système Pauli que par la disposition symétrique des étrésillons. La construction, dans ce cas, n*exige aucune explication spéciale.

Les fig, 7, 8 se rapportent à un câble rendu rigide par des étrésillons. Les tensions aux extrémités du câble se déterminent par la condition que -la composante verticale de chacune d'elles soit égale à la moitié du poids mort total. On peut alors construire le polygone des forces, qui est un quadrilatère fermé, et Ton achève la construction comme dans les cas précédents.

La construction, dans le cas d*une grue, est encore plus simple [fig, 9 et 10). Le polygone des forces se réduit à une verticale et n'est pas fermé. En partant de la force appliquée à l'extrémité 0, on peut construire successivement toutes les forces, et la construction peut se prolonger indéfiniment jusqu'à ce que l'on soit arrivé à la base de la grue. Le polygone des forces se ferme quand on y ajoute les forces agissant sur les éléments de la construction limités par cette base.