COMPOSITION OÈ PLUSIEURS FORCES PARALLÈLES DANS LE PLAN

interceptent sur une parallèle aux forces menées à Une distance H des points de rencontre de ces deut côtés. Cette construction est indiquée sur la fig. 144 pour les forces 2 et 3. Le triangle formé par les côtés extrêmes 1 2 et 3 4 du polygone funiculaire et la verticale 2 3 indiquée par un trait fort est égal au triangle correspondant 0 (2 3) du polygone des forces [fig, 145).

En outre, la somme des segments y',8 + y%8 [fiQ- **^) Q^® ^®"x cftlft du polygone Interceptent sur les verticales menées par les points d'appui, est proportionnelle à la somme 2 + 3 des forces qui agissent entre ces côtés. En effet, si par le point d'intersection d'un côté du polygone avec Tune des verticales, nous menons une parallèle à Tautre côté du polygone, ces deux lignes et la verticale menée par le deuxième point d'appui, sur laquelle le segment intercepté est égal ày',3+y"„, forment un trianglet semblable au triangle correspondant du polygone des forces; ces deux triangles sont égaux si l'on preUd pour distance polaire la distance 2/ des points d'appui. Ainsi Ton a :

On déduit de cette égalité que cette somme se chati)i;e en diffifence, lorsque les côtés du polygone se coupent en dehors des poiAtft d'appui, comme c'est ie cas, par exemple, pour la ligne qui f^rme le polygone.

Si Ton prend 2/ pour distance polaire, la somme des segments est, ainsi que nous l'avons déjà fait observer, égale à la somme des forces agissant entre les côtés du polygone. Gomme cas particulier, les deox c6tés extrêmes du polygone déterminent sur chacune des verticales des points d'appui, des segments égaux à la réaction de l'antre appui, car l« segments compris entre la ligne qui ferme le contour polygonal et l'ua des côtés sont nuls.

Si la distance polaire, au lieu d'être égale à 81, est un multiple ou nn sous-multiple de cette longueur, on peut encore considérer les segments déterminés sur les verticales des appuis comme représentant les réactions ; seulement il faut avoir soin de les mesurer avec une échelle cor^ i^spondante au rapport renversé.

Nous devons faire remarquer que la somme des forces agissant en dehors d'une section déterminée change de signe pour la force qui cor-^ fespond au rayon 0 Afi) du polygone des forcesi c'est-à-diré la force 2 dans le cas de la figure. Ainsi, les forces (Al) ôi(A12) ont des signes contraires et sont situées de part et d'autre de la ligne 0(AB). Si l'on

30B HOHENTH UKtt tUltCtÎ! l'A HALLE LCS.

pt'oitd la ligue AB qui ferme le polygone comme axe des abscisses, r'c»^ au point 2 que l'ordonnée du polygone funiculaire passe par un maiimuni. En ce poinL, la tangente au polygone funiculaire est parallèle i AB et la résultante des forces agissant en dehors de ce point est uor force inSniment petite située i. l'intlni.

Le polygone funiculaire et le polygone des forces, teU que nous k' iivons construits dans les fig. iU et 145, donnent immédiatement les ronilîlion>i d'équilibre d'un arc chargé {fig. 146) ou d'un cible de poni suspendu {fig. H7j. Les rayons menés par le pôle 0 représentent les

compressions ou les tensions des sections correspondantes de l'ai-c ou du càhle.

La proposition tout à fait générale que nous avons démontrée, à savoir que le changement dans l'ordre des forces h composer n'a pas d'inlluence sur le résultat final, s'applique également aux forces parallèles. On peut donc, ainsi que nous le verrons par la suite, lorsqu'il s'agira de calculer des ponts, construire d'abord le polygone constant qui correspond au poids propre du pont, et y ajonter ensuite la charge accidentelle et variable.

Il convient de remarquer enfin que, dans le cas de charges uniformément réparties, ces deux polygones ont, ainsi que nous l'avons démontri; au n° 79, p. 284, des paraboles pour enveloppes.

- 1>KS FOnCKS rARALLKLKS DASS LE PLAN

Pour appliquer ta méthode exposée au n* 49 (p. 171} à la détermination du moment d'un nombre quelconque de forces parallèles, remplaijous ces forces par les tensions P et P, des eûtes extrêmes du polygone

Ai2,

funiculaire. Gela posé, si on prend, pour la longueur H, qui, dans la fig. i05 (p. 173), représente la force ou le bras de levier auquel on réduit tous les moments, la distance du pôle 0 au polygone des forces (qui est une ligne droite), les composantes Q etQ, de la fig. 105 deviendront perpendiculaires à H et les lignes OA et OA^ de la fig, 104 seront parallèles à h -|-A,. Par suite, le moment A + A, des forces P et P, , ou des forces parallèles qui leur sont équivalentes, sera égal au segment que les côtés extrêmes du polygone funiculaire par rapport aux forces considérées interceptent sur une parallèle à ces forces menée par le pôle des moments. Ainsi, sur la fig. 144 (p. 305),

le moment des forces A 1 , par rapport aux sections y,, est égal aux produits y, H,

Tun quelconque des deux facteurs de ces produits pouvant être pris comme force et l'autre comme bras de levier.

Le sens de rotation des moments est naturellement déterminé par la direction et la position de la résultante par rapport à la section considérée. Il est à peine nécessaire de rappeler que ce procédé est identique avec la multiplication du n* 4 (p. 23, PI. III).

On peut démontrer cette même proposition en décomposant chacune des deux forces qui agissent suivant les côtés extrêmes du polygone funiculaire, à leurs points d'intersection avec la verticale par rapport à laqueliè on prend les moments, en deux composantes. Tune horizontale et l'autre verticale. Le moment des deux composantes verticales est nul. Chaque composante horizontale est égale à H, et la somme de leurs moments est égale au produit de H par le segment intercepté sur la verticale.

Si Ton veut introduire un moment dans le polygone funiculaire pour composer ce moment avec les forces considérées, il faut, d'après ce qui a été dit au n' 52 (p. 178), déplacer, parallèlement à lui-même, le côté du polygone funiculaire qui relie les deux forces entre lesquelles on veut introduire le moment, d'une quantité telle, que le produit de la tension de ce côté par la longueur du déplacement, ou, ce qui revient au même dans le cas de forces parallèles, que le produit de la distance polaire par le segment intercepté sur une parallèle aux forces par les deux positions du côté déplacé soit égal au moment donné. Cette dernière partie de la proposition résulte de la relation

InHENTS rtES FORCES PAIULLLLCK,

fournie par les lieux triangles semblables désignés par ces lettres dans les /îy, 149 Pl 130. On a inlercHlé sur ces ligures, entre les réactions dos

appuis et les ciiléû exlràmes du polygone funiculaire, les moments ïi et '4t;+i . La fig, I48reprpsunte la travée d'une poutre onntinue, comprise entro les appuis i et i'4-l- L.» nioioeot '^, sur

,,i l'appui l'a été supposé négatif (^; la longueur -r-'

doit par suite 6lre portée, sur la ^g. 14!), de toile façon que , lorsque le premier cûté S du p<jIyf;one funiculaire, sur lequel la direction de la force a été indiquée par imc flèche, aura été déplacé, cette force tourne dans

le sens (^autour d'un point de sa direction primiliie; —doit donc être

porté vers le haut. Nous traçons ensuite le polygoni> funiculaire comme h l'ordinaire jusqu'à l'appui l'+l enB;à partirdece point, le polygone doit 6tre déplacé d'une quantité correspondante au moment 'jj,^, et qui, mesurée parallèlement à la direction des forces, sera égale à $,^, : h. En B. le moment a été pris positivement ^, comme l'indique la fiff. 148; le sens de la rotation est par suite inverse de celui du moment correspondant à l'appui A, et le dernier cOté du polygone funiculaire doit être déplacé de haut en bas.

Les côtés extrêmes du polygone funiculaire coupent les réactions de-^ appuis aux points A et B, et la ligne qui réunit ces points ferme le polygone; en menant par le pôle une parallËle à cette hgne {fig. I'>0), ou ili'termine dans le polv^'unc des forces les réarlions des appuis P, cl

)IOMENT 0«9 FORCES ?AUAl«Ll^lf&S UA^IS I4E PLAN. 3^i

Tout ce qui a été dit dans ce paragraphe ^t dansi le paragraphe précédent du polygone de la fig. U4 (p. 303), s'applique au ca^ actuel. Si l'on considère une section faite dans la poutre, les côtés eji^térieurs du poly* gone funici^laire se coupent sur la résultante de^ forces qui agissent sur la portion de la poutre qui a été séparée par la section. Si Ton mène une sécante quelconque parallèle aux forces, le produit du segQ^ent intercepté sur cette sécante par le polygone funiculaire et de la distance polaire est égal au moment, par rapport à un point quelconque de cette sécante, des forces situées d'un môme côté de celle-ci, Sur la fiq. 149, la ligne qui ferme le polygone funiculaire coupe ce polygone en d^ux points. On reconnaît facilement qu'en ces points le moment change de signe, car ce moment passe alors par zéro sans qu'il en soit de môme pour les forces. Si Ton fait deux sections. Tune ^ droite, Tautre à gauche de Tun de ces points, les résultantes des forces agissant en dehors de ces sections se trouvent entre ces sections ; par suite, elles tournent en sens opposé, si la force n'a pas changé de signe dans Tintervalle. Inversement, pour qu'un moment change de signe, il faut qu'il passe par zéro, parce que, dans les constructions, on ne rencontre pas de moments infiniment grands. En outre, comme les surfaces (voir fig. 76, p. 113) ne changent de signe que lorsque leur contour se croise entre la surface positive et la surface négative, on peut dire d'une manière générale en parlant des polygones funiculaires correspondants à des forces parallèles en équilibre :

Si Von coupe une portion d'un polygone funiêulaire fermé, reliant des forces parallèles en équilibre, par une sécante parallèle aux forces^ le momefit, par rapport à cette sécante, des forces situées d'un mime côté d^ la ieciion sera positif nu négatif suivant que la surface ainsi détachée du polyfirme pourra être déc7*ile dans un sens positif ou négatif par un mobile gui (Htrcourrait le polygone funiculaire suivant h direction des tensions opi des pressions des côtés extrêmes de la partie considérée. Pour les points situés en dehors de la section, le moment a le même signe ou un signe contraire, suimnt que ce point se trouve situé du même côté ou d'un côté opposé par rapport à la résultante des forces séparées par la section, c'est-à-dire par rapport à une parallèle aux forces, menée par le point d'intersection des côtés du polygone funiculaire coupés par la sécante.

C'est dans ce sens qu'on peut appeler surface de moment la surface d'un polygone funiculaire fermé, correspondant à des forces parallèles. Ces propositions ne s'appliquent pas d'une manière générale aux polygones ^iniculaires, parce que la direction de la résultante est variable.

Si les forces en équilibre, qui ont été composées dans la fig. 149, sont appliquées à une poutre (fig. 148), le sens de la courbure de la poutre

:)IS MilMEMS «ES FORCES PARALLÈLES.

supposée primilivfmenl rectiligne s'accortJera toujours avec le siptedu moment ou de la surface de moment. Les portions de poutre, qui corre^pondent nui parties du polygone situées au-<t£ssus de la ligni- qui li> Terme , ont leur concavité tournée vers le bas, et rédproque«ieul, nin« que l'indiquent les fi^tures. Aux pointïi aix les moments sont niiU l*o^ respondent par suite des sections pour lesquelles la courbure chanKP de sens ; dans ces sections elles-mêmes la courbure est nulle.

Ces points s'appellent points d'infl'xiun; en ces pointai, ou pourrait rouper la poutre sans troubler réquilibre. mais à la condition d'empêcher le glissement des sections, nerésulliil pourrait Ptre obtenu soit an moyen d'un étai, soit eu suspendant la partie de la poutre comprise entre les points d'inllexiuii, aux portions qui reposent sur les points d'appui: c'est iC qu'indique clairement Va (ig. I5i, Nous avons sup-

iTt=/T^=.Tc^

posé, dans cette figure, un fragment de poutre iT-posant sur chaque appui, et la partie médiane de chaque poutre suspendue par s{>s Rxtrémités aux parties latérales.

Si l'on considère d'une part les forces agissant d'un côté d'une section, et d'autre part les forces qui agissent de l'autre cùté de cette section, on I ibticnt, d'apr^s lu n" ti'A (p, 180), des signes opposés pour la résultante el pour son moment. Pour les forces situées dans un même plan, il est indilf'érent de considérer un oûté ou l'autre comme retranché. Oependani il est utile, dans les conditions ordinaires, de considérer toujours le mi'mc côté comme retranché; on se rappellera ainsi plus facilemcnl comment agissent les forces et les réactions des parties supprimées, l'ar suite, à moins d'indications spéciales, inni-i considérerons toujour^

e supprimée la partie de la construction située du côt^ de — .x^ , el nous remplai^erons celte partie par les Forces qui agissent sur elle, Comme nous prenons Eénéralement +j'„ situé à droite, la /îy. \^2 tcprésenlera les notations que nous emploierons. La partie de poutre re-

VARIATION DE LA SOMME ET DU MOMENT (F ET ^^^j.

86. VABIATION DE LA SOMME *ET DU MOMENT (P ET 5P) DES FORCES PARAL- LÈLES AGISSANT SUR UNE POUTRE, EN DEHORS D*UNE SECTION DÉTERMINÉE, QUAND d'autres FORCES VIENNENT S' AJOUTER A CELLES QUE L'oN CONSI- DÈRE.

Comme les forces parallèles et leurs moments se composent par une simple addition, nous pourrons traiter séparément chaque force venant s'ajouter aux quatre forces de la fig, 144 (p. 305), rechercher ses effets par rapport à une section donnée, et les ajouter à une des forces précédemment considérées. Si nous effectuons sur la fig, 153, pour une force

^supplémentaire aP, les constructions que nous avons faites sur les fig. 144 et 145 (p. 305), et si nous supposons que aP entre en ligne de «'ompte, les pressions sur les appuis A et B s'accroîtront des pressions ^A et 4B de la fig. 153; les ordonnées représentatives des moments varieront de quantités égales à y,, ;/, et ^,4, et les ordonnées correspondantes de la fig, 144 se trouveront augmentées de ces différences d'ordonnées.

Comme nous pouvons choisir arbitrairement la distance polaire H du polygone des forces, nous prendrons, pour simplifier, cette distance polaire égale à la portée AB. D'après le n' 84 (p. 307), les côtés extrêmes du polygone funiculaire interceptent dans ce cas, sur les verticales A et B, des longueurs représentant les réactions AB et AA des appuis. Si donc nous portons sur ces verticales ces réactions dont la somme est égale à AP, les rayons issus de A et B formeront deux côtés du polygone funiculaire,

311 ot^uENTS DES FOnr.ES p.tuaUi4b,

Enfin, il sufBt de jeter un coup il'œil liur la fig. 145, p. SOa, pour nconnaître que la résultante des Torces agissant en dehors d'une section quelconque, par exemple y,, est égale et contraire k celle des Torcfs agissant entre cette section et celle de moment maximum. Lorsque l'un considère des charges isolées, il faut supposer la force qui correspond nu moment maximum, c'est-à-dire la force Q dans le cas actuel, pah tagée par la ligne 0(AB) du polygone des forces en deux parties, dont l'une agit sur la portion de poutre située à K^iicbe de la section de aïoment maximum, et l'aiilre sur la portion de poutre située à droite du cette section- La force 1, ajoutée à la partie correspondante de la force 3, formera la somme A, des forces agissant on dehors de la kqcIÎod y,. Si l'on déplace la section y,, sans toutefois dépasser te point d'application d'une des forces,! un déplacement ir (voir fig. 144, p. 305) correspondra un accroissement du moment des forces agissant en dehors de la sectiuu égal à Aï.' (Al), car, quelle que soit la position de Al par rapport à y,. son bras de levier prend un accroissement J>a:, si aucune nouvelle forfp ne vient s'ajouter à celles qui agissent en dehors de la section. Si, pour une section quelconque, nous désignons par P la somme des force» agissant en dehors de cette section, et par ^ leur moment (chacune de ces lettres étant affectée des indices correspondants aux sections et aux forces), nous pourrons poser d'une manière générale, en remarquant que l'accroissement du moment peut aussi s'exprimer par HAy,,

L'égalité

résulte d'ailleurs aussi de la >^imilitude des figures formées <par ces longueurs dans le polygone des forces et dans le polygone funiculaire, d elle est identique avec les relations établies au n" 4 (p. 21). Il résulte de Ifi que ^ sera maximum quand on aura

c'est-à-dire quand la somme des forces agissant en dehors de la section sera égale à 0, ou, pour employer une expression à laquelle nous avons déjà eu recours, quand elle se réduit à un couple. Ce résultat concorde

aver ce que nous avons dit plus h;nit.