S^=:^AP
En portant, à une échelle quelconque, sur Tordonnée correspondante à la position <1e la charge AP, cette force P et le moment $, on obtient une ligne droite pour le lien de Textrémité de P, et une parabole pour le lieu de Textrémité de $, comme au n« 86, p, 316.
Bans le cas des poutres symétriques, et en vue de certaines déductions analytitiques, il est commode de prendre Torigine des abscisses au milieu de la portée if^9' 154, p. 317). Les formules deviennent alors :
A =- i^ (1 - P)AP, A, = - -2] (1 + MAP.
p= A +2] ^p = - Al -2] ^^=2^ a-p)AP+ ^2] (^ + w^P'
=^(/ -x)2] (1 + P)AP + I (/ + i)2]n - P)AP.
^i la charge est continue, et que p soit une fonction de p représentant la charge P&r unité de longueur, on n^a qu'à poser AP = Ipdf^ et à intégrer au lieu de faire la
^i la charge est uniformément répartie, on peut la supposer concentrée au milieu
323 MOMENTS DES FnItCES PARALLËLEA.
As la poutre, et on n'a pnr suite qu'A remplacer, dans les formnim précédentes, iP par la charge totale, ^l par l'alisciâse du milieu, puis & Taira U somme.
Quand la charge uniformément répartie n'ocRUpe gu'una portion do la poutre. dont les extrémités sont à et b,, oa pi et ?,l, on de^ra remplacer AP par [b, — tlp
Ow(Pl-Mp;*iP. 0 + W'AP«t (l-p]/4P par ^(i, - %, [n- ^ (?+ P,l]{P,-?/f et 1 — - (P + p,) (p, — ^)Pp, et sommer lei différenta poids et les moments.
Le cas «gui ee présente le plus frAijusmroent dans ta pratiqua est celui où U hclion considérée i sépare des charges dilTérentes p et 7 par unité de loDgiisar. «t 011 U traïi^e entière e^t chargée.
Dans ce cas, le nombre des AP se réduit i, deux, et si l'on dMgne par 4 et f 1« distancM reapedÏTei de la section i aux appnla, lei deux &P sdht ip et b'q, et Isun
momenta par rapport aux appuis voisina sont- 6*^ et - b''q. On a alors :
j; et >' désiffuant les distances aux appuis du point par rapport auquel on prend les moments.
Si l'on place l'origine des abscisseâ au milieu de la portée, et qo*on désif^ne par p/ l'abaetsse de la section i, par i celle du c«itn des moments, et par I la demiportée, c'est-à-dtre par ± J les abscisses des appuie, las deux AP sont (1 + P)lp et
(1 p)tq, et leurs moments par n^tport aux appuis nitlns sont ~{l + p^f^ cl
^(l + p)'/«7. Ona.danaceca.:
A, = - i (1 + mp - 5 (3 + PKI - m- I' = j {1 + mp - J (> - ?:'''/:
%^=\ II-.-XI -t- Pi'';, + ^-{I + j-Ai - P,V'/,
gii:md la cliarne est uniforme sur toute la longueur du la poutre, on a /. = 7. ICn prenant, dans ce cas, l'un îles appuis pour origine, et appelant /-.l'abscisse d? la section considérée, t l'abscisse du centre des moments, / la longueur de la tiav.^.
i prend l'orifnne an milieu de la porMe et qu'on désigne par ?/
CENTRE DE PRESSION DES ESSIEUX D*UN TRAIN rORMÉ DE LOCOMOTIVES. 3t3
labscisse de la section, par x celle du centre des moments, par ±z l celle des appuis, on obtient :
^4J = (l + p*-2fi^]l/V
88. CENTRE DE PRESSION DES ESSIEUX d'UN TRAIN FORMÉ DE LOCOMOTIVES
Les trains de locomotives forment le mode de chargement le plus important, et nous pourrions presque ajouter celui qui se présente le plus fréquemment pour le calcul des ponts à construire de nos jours; souvent même on considère la charge résultant du passage d*un train de locomotives comme la charge maxima qu'un pont puisse avoir à supporter. La première question à résoudre consiste à rechercher où se troiive le point d'application du centre de pression, ou bien où passe la verticale du centre de gravité d'un certain nombre d'essieux situés d'un côté ou de l'autre d'une section déterminée.
Gomme les opérations nécessaires à la détermination de ce point d'application sont connues, il nous suffira de les appliquer à un exemple^
Sur la PI. XI,, nous avons déterminé les verticales passant par les centres de pression d'un nombre arbitraire d'essieux consécutifs d'un train formé par des locomotives Engerth. Sur une horizontale tracée près du bord supérieur de la feuille, nous avons porté, à l'échelle de 0",003 par mètre, une série de longueurs de 40",60, représentant chacune une locomotive avec son tender; nous avons figuré la position des essieux de chaque locomotive, et nous les avons numérotés de i à 35; la dimension de la feuille nous a permis de placer sept locomotives. Les quatre premières sont dirigées vers la droite et les trois dernières vers la gauche, en sorte qu'entre le vingtième et le vingt et unième essieu, les locomotives sont placées cheminée contre cheminée. C'est entre ces essieux et les essieux voisins que nous trouverons plus tard les moments maxima. Les sommets du polygone funiculaire sont situés sur les verticales correspondantes aux points de contact des roues. Nous n'avons pas figuré ces verticales.
Sur une verticale tracée à gauche de la planche, nous avons porté à l'échelle de 0",003 par 10 tonnes les charges correspondantes à chaque essieu, savoir 13 tonnes pour chacun des trois essieux de la locomotive, et 8*,5 pour chaque essieu de tender. Nous avons naturellement donné aux charges les numéros des essieux correspondants.
tu [moments des forces parallèles.
Nous avons pris pour distance du pôle à la verticale des forces une longueur de 0,0G rcprésonlant soit uan longueur de 20 mètres, soit un poids de âOO tenues, suivant qut; l'on prendra pour base de réduction des moments un poids ou un bras de levier.
En prolongeant deux côtép quelconques du polygone Tuniculaire, on obtient par leur intersecLiou un point de la résultante des pressions produites par les essieux compris entre ces côtés. Le plus souvent on déllnit la positiau de cette résultante par sa distance au premier essieu. Dans la PI. XI,, c'est l'essieu n' SO qui est le premier, et cette plancbe indique comment les distances des centres de pression de tous les essieux qui précèdent ou qui suivent le vingtième peuvent ôtre mesorées.
Gomme, sur cette figure, le point d'intersection des côtés du polygone funiculaire qui sont voisins les uns des autres ne sont pus obtenus avec précision, nous avons répété la construction sur la PI. Xl„ k une échelle double, en ne considérant que la partie du polygone relative à deux locomotives, et en prenant pour distance polaire une longueur de 5 mètres convspondante à 50 tonnes seulement.
Enfin, comme exemple, nous avons reprcdaitles mêmes coostructiotts sur la PI. XI,, pour un train léger formé de locomotives à voyageurs. Les chaînes sur les essieux sont seulement de 4*,S, Wfi, T,l, 4',4 et 4 tuones, et la longueur totale de la locomotive et de son tender est de i2-,60.
aO. moment k'uN train DlC locomotives par RAri<ORr A UNE SBCTIOH
r'unf: poutre cuargëe
Les polygones de la Pi. XI servent principalement à metti'e en évidence les moments résultant de la surcharge accidentelle, et à déterminer, pour une portée donnée, le mode de chargement le plus défavorable résultant du déplacement du train.
Tant que ies charges ne sont pas représentées d'une façon régulière par une loi, il n'est pas possible de donner des règles précises sur le mode de déplacement de ces charges. Nous ne serons pas en état de dire n jiriori : à telle ou telle portée correspond telle ou telle position la plus défavorable pour le train; nous ne pouvons procéder que par tâtonnement. Néanmoins les considérations suivantes pourront être de quelque utihté, spécialement pour les petites portées. Si, sur un quelconque des polygones funiculaires de la PI. XI, nou^
