MOMBNT D UN TRAIN DE LOCOMOTIVES, ETC

réunissons deux points par une droite, dont la longueur, mesurée horizontalement, c*est-à-dire parallèlement à la tension horizontale, soit égale à une portée déterminée, les ordonnées du polygone, par rapport à cette ligne^ seront, diaprés le n* 85 (p. 309), proportionnelles aux moments des forces agissant en dehors des sections correspondantes à ces ordonnées. Pour obtenir ces moments, il faut multiplier les ordonnées par la tension horizontale considérée comme force. On peut les mesurer directement sur la figure, en multipliant Téchelle adoptée par la tension horizontale. Ainsi, sur les fig, 1 et 2 de la PI. XI, une longueur de 0*,003 représentera un moment de 200 tonnes avec un bras de levier de 1 mëtre; sur la fig. 2, une longueur de CjOûG ne représentera qu'un moment de 50 tonnes.

Si Ton déplace une même travée par rapport au polygone funiculaire, c'est-à-dire si Ton déplace une corde BB' de ce polygone (PI. XI,), de telle façon que la distance horizontale de ses extrémités reste constante, ces cordes envelopperont une parabole TT^OT tant qu'elles s'appuieront sur les deux mêmes côtés du polygone, parce que leurs extrémités décrivent sur ces côtés des ponctuelles semblables. De plus , un point quelconque T" de ces cordes correspondant à un point fixe de la travée se déplacera sur une tangente BB' à la parabole, parce que toutes les tangentes se coupent réciproquement suivant des ponctuelles semblables. Les ordonnées verticales ET'' comprises entre la parabole et le polygone représentent les moments maximum qui peuvent se produire en un point E du polygone, car, puisque la parabole est l'enveloppe des cordes, aucune de celles-ci ne peut couper l'ordonnée ET" qui représente le moment, plus hant que T". L'ordonnée maxima E\ correspondant à la position BB' de la corde, représentera le moment maximum qui peut se produire au point T"" de la corde, qui décrit, comme nous venons de le dire, lorsque la travée se déplace, la tangente BB'.

Enfin, l'ordonnée maxima comprise entre la parabole et le polygone représente le moment maximum qui peut se produire pour une portée déterminée BB'. Il est à peine nécessaire de rappeler que les deux derniers maximums correspondent toujours à un sommet du polygone.

Ces diflérents maximums apparaissent clairement lorsque la parabole est construite, mais, comme il est assez difiicile de la tracer, il est bon de chercher à les déterminer directement.

Pour une portée donnée BB', mesurée horizontalement, on obtient facilement le point T'' de la parabole correspondant à une verticale déterminée E, ainsi que la position correspondante BB' de la corde. Il suflSt de remarquer, en effet, que le milieu 0' de celte cordé se trouve toujours

Mgale distance de la verticale donnée E et de la verticale passant par

396 H<IMENTS DES FIIHCES PAIIALL^LEf.

le point de rencontre S des cbtés directeurs de la parabole. Car si l'on mène la tangente AA' qui a son milieu en 0, cette tangente coupen toutes le.s autres tangentes h la parabole en leur milieu, et par suite BH' en son luiliou 0'. Le point 0' étant l'interseclion des deux tangentes :i la parabole se trouve à égale distance des diamèli'es passant par leun points de contact, c'est-à-dire des verticales S et B,

Si les distances horizontales T'B et T'B' sont données, la proposilion que nous venons de démontrer |>ermet de déterminer la position de U tangente BB' sur laquelle se meut le point itxe T", car, comme BU' et OT" sont divisés l'un et l'antre en deux parties égales par 0 , on obtient la position des points B et B' en prenant des distances horizontales Bu et OB' égales aux distances TB' et BT. .

La plus grande ordonnée de la oorde BB', ordonnée qui correspond au iDBimet E', représente le moment maximum qui peut se produire dam la secUon T'; mais il est daîr qne oe moment ne se produit pas dans la position BB', mais bien qu«ad le point T" se troew sur la vertioale de E*.

Gntn, quand on donne la position d'une extrémité B st de S, ce qui correspond au cas où de nouveaux essieux entrent dans la travée, on obtient la position de l'autre exb^mité, en prenant la distance boriiontale 8B' = BB.

Nous serions maintenant en mesure de construire directement les moments maximums si le sommet E' pour lequel ces moments se produisent était connu. Nous ne pouvons pas le déterminer a pri'uri. Cependant, dans le cas d'une charge uniformément répartie, produite pinun train de locomotives de poids égaux, ce sommet sera généralement un des sommets voisins de la résultante de la charge, c'est-à-dire de S, H n'y aura d'exception ù celte règle que lorsque la charge sera inégalement répartie, lorsque, par exemple, à une série d'essieux de locomotives succédera une série d'essieux de wagons moins chargés; il serait alorpossihle que les plus loiii'ds essieux de locomotives se maintinssent plu-j longtemps que la verticale de la résultante sur l'ordonnée du monieni maximum. Car tant que la charge est uniforme, tous les côtés qui se trouvent compris entre les mêmes essieux des différentes locQmotive^ enveloppent des paraboles, et le polygone se rapproche alors de la formi' parabolique; dans ce cas, l'angle E' du polygone voisin de la résultante S, contiendra toujours les directions (mais non la position) des langentes moyennes, et par suite aussi les directions des cordes qui leur sont parallèles et par rapport auxquelles les moments sont pris ; le sommet E' détermine par suite la position de l'ordonnée maxima. Si. au contraire, U charge est inégalement répartie, le polygone corrcspondaul

MOMENT d'us THilN PS LOCO|IOTiVS9, ITC. 3SI7

paraîtra déplacé par rapport à une parabole inscrite dans Tangle des côtés extrêmes. La moitié correspondante à la charge la plus faible sera plus déprimée que la parabole, et la moitié correspondante à la charge la plus forte, plus renflée. Par suite, la parabole et le polygone se coupent et leurs sommets sont éloignés l'un de l'autre. Le sommet de la parabole étant sur la verticale de la résultante des charges, et celui du polygone correspondant à l'ordonnée maxima, il est donc possible que le sommet correspondant au moment maximum ne soit pas le plus rapproché de la verticale de la résultante.

Ce cas ne se présente du reste pour aucun des polygones de la PI. XI, bien que les essieux des locomotives soient plus chargés et plus rapprochés que ceux des tenders qui les suivent.

Mais si ce cas se présentait pour une charge donnée, le sommet correspondant au moment maximum ne pourrait être déterminé que par t&tonnement, ce qui se fait du reste si facilement et si rapidement que nous n'avons pas besoin d'insister davantage.

Nous pouvons traduire de la manière suivante en langage ordinaiFe les résultats auxquels nous sommes parvenus par des considérations graphiques :

Lorsqu'une poutre est chargée par des essieux [charges concentrées mr des pomts)y la section de moment maximum de la poutre se trouve toujours sous un essieu.

En général j c'est sous l'essieu le plus voisin de la résultante des charges que ie trouve la section de moment maximum.

Lorsque la charge occupe la position la plus défavorable^ cette résultante et cet essieu sont à égale distance du milieu de la poutre.

Dans le cas de la charge la plus défavorable pour une section donnée^ un mieu se trouve également sur cette section. Cet essieu peut être déterminé par cette condition que le train soit placé de telle sorte que la section considérée et la direction de la résultante des charges soient à égale distance du milieu ie lapout9*e; t essieu sous lequel se produit le moment maximum est celui qut doit passer sur la section donnée pow* que le moment soit maximum dons cette section. Il est bien entendu d'ailleurs qu'aucun des essieux ne doit sortir de la travée.

Les théorèmes que nous venons d'énoncer peuvent être copsidérés comme le complément de ce que nous avons dit au n' 66, p. 317. Nous n'avons rien à ajouter à ce que nous avons dit dans ce numéro au sujet du maximum produit par des forces agissant en dehors d'une 8«clîpi| déterminée.

i DES KOnCES t