POSITION LA PLUS DÉFAVORABLE D*UN TRAIN DE LOCOMOTIVES, ETC

éloigné de Tessieu, et au-dessus de laquelle le centre de la travée sera pris sur le milieu le plus rapproché.

En opérant comme nous venons de l'indiquer, il sera facile de déterminer sur une épure les différentes positions que peut occuper le milieu d'une travée, suivant son ouverture, et les limites de l'ouverture auxquelles correspond chaque milieu. Cette épure peut être utile dans le cas de poutres de petites portées ayant une section constante, et l'usage en est très simple. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de déterminer la section à donner à une poutre de 8 mètres l'ouverture, de façon qu'elle puisse résister à la charge d'un train formé de locomotives Engerth. Sur la PI. XI,, on inscrira dans le polygone funiculaire une corde de 8 mètres de longueur mesurée horizontalement, dont le milieu soit sur la verticale m dont les limites comprennent entre elles l'ouverture de 8 mètres. L'ordonnée /* correspondante est celle qui passe par le sommet 2; cette ordonnée représente soit i4'^,2, soit l'',42. Gomme la distance polaire représente un bras de levier de 5 mètres ou une force de 50"^, le moment maximum sera égal à 71. De ce moment maximum on déduira aisément la section qu'il convient de donner à la poutre.

Si l'on mène par le pôle du polygone des forces une parallèle à la corde de 8 mètres (cette corde est la ligne qui ferme le polygone funiculaire), cette parallèle partage la charge totale 1234 en deux segments

de 22* - et 25*-, qui représentent les réactions des appuis. 4 4

Fréquemment on compare le moment maximum à celui d'une poutre

uniformément chargée ; on opère ainsi surtout pour déterminer facilement

ce moment par la formule ^pP- Lorsqu'on emploie les procédés graphi-

ques, cette comparaison devient inutile, parce qu'il est bien plus rapide de construire ce moment que de le calculer. Nous avons cependant représenté cette comparaison sur la PI. XI,. Comme la parabole est, d après ce qui a été dit au n*" 79, p. 284, la courbe de la charge uniforme, cl que, dans la parabole, la sous-tangente est égale au double de l'abscisse, on obtient facilement la direction des tangentes pp d'une parabole ^us-tendue par une corde dont la projection horizontale est égale à B mètres, et dont l'ordonnée maximum est égale à l'ordonnée du sommet 2 du polygone. Il suffit d'élever, sur le milieu m de la portée de B mètres, une verticale ayant le double de cette ordonnée pour longueur, et de joindre l'extrémité de cette ordonnée aux deux extrémités de la corde par les lignes />/>. Si l'on mène par le pôle du polygone des forces deux parallèles à ces tangentes extrêmes, ces parallèles déterminent sur la verticale des forces la charge qui , uniformément répartie sur ces

IM MOHKNTS DBS FI)ltr:KS ftllAI.L^LEK.

B mètres, prodairait un moment maxiruum égal à celui que prodnil l;i locomotive. En augmcnlanLfeUts charge dans le rapport de 10 à 8 ou de 0",0S h 0*',04, aini^i que nous l'avons indiqué sur la fijinire. nous obtien drons 88 tonnes comme charge équivalente pour 10 mètres. La charp' uniformément répartie est par suite, suivant l'expression habituellemi^nl employée, de8'',8 par métro couranl. Coinuie vérification, cette charpunirormément répartie donne, d'après le ii' HR. p. 313, un moment maximum do -j x8,8x i' = 70,4. alors que nous avons trouvé 71.

Dans tes poutres formées do matériaux lourds, tels que le fer on l'acier, et pour lesquelles chaque section doit être en rapport avec les forces qui agissent en dehors de cette section, il ne sufHl plus de connaître seulement le moment maximum, mais il faut encore le déterminer pour diverses sections. C'est ce que nous avons fait sur la PI. XI,, où les courbes des moments ont été tracées au moyen des ordonnées de la PI. Xl„ pour des ouvertures de â à 10 mètres. Nous verrons, par les calculs du numéro suivant (dont les résultats pour les petites ouvertures rie 2, a, 4 mètres ont été figurés sur la Pi. XI, en exagérant l'échelle des hauteurs), que l'on ne peut rien dire de général sur la forme de ces courbes; les unes sont tenHées vers le sommet, les autres sont au contraire aplaties.

Dans les frameworks, on n'a besoin des momeats qu'aux qœuds. Pour montrer comment ces moments varient d'un nœud à l'autre, nous a\o]i> figuré sur la PI. XI, les trajectoires que décrivent les 11 nœuds équidi>- Innts lorsqu'on les fait glisser t^ur le polygone correspondant au train de locomotives.

A gauche du vingliènio essieu nous avons tracé les lignes brisées que décrivent les cinq premiers nœuds, et à droite celles que décrivent le? cinq derniers. La ligne moyenne est décrite par le milieu de la poutii'. La position de la poutre est elle-même figurée trois fois.

Les distances verticales de ces lignes au polygone funiculaire donucjil les moments pour les diverses positions du train.

Un coup d'œil jeté sur cette figure montre que les maximums ili'> moments se produisent sur l'un des Irois premiers essieux des locomotives qui vont ù la rencontre l'une de l'autre, par suite sur l'un de-; essieux 18 à 2a, parce que chacune des trajectoires des nœuds est rendétdans la partie correspondante à ces essieujc. Au moyen d'essais avec le l'ompus, on détermine facilement les moments maximums, que nous avons désignés sur chaque trajectoire par la lettre »i. On remarque également, ce qui s'accorde avec ce que nous avons dit plus haut, que les maximums ne peuvent en Rénéral se produire que sous l'nn des essieux

les plus chargés des locomotives. Gomme les irrégularités dans la courbure des diverses trajectoires diminuent en allant de la trajectoire d'un nœud extrême à celle du nœud central, il en résulte que le maximum de la distance verticale entre Tune quelconque de ces trajectoires et le polygone funiculaire ne peut pas correspondre à un sommet de la trajectoire, mais seulement à un sommet de ce dernier polygone. Comme d'ailleurs l'augmentation du poids d'un essieu abaisse le sommet correspondant du polygone funiculaire, le maximum devra correspondre à Tun des essieux les plus chargés.

En portant, sur une horizontale représentant la portée de la poutre, les maximums trouvés pour chaque nœud, on obtient la courbe des moments maximums, qui est le but de notre construction.

Afin de montrer comment les moments pour une locomotive Engertb se modifient dans le cas d'une locomotive légère pour trains de voyageurs, nous avons, sur la PI. XI,, répété la construction pour une portée de 40 mètres.

D'après le n* 84, p. 306, les polygones de la PI. XI peuvent aussi servir à déterminer les efforts tranchants qui résultent de la charge accidentelle. Si Ton considère une portée dont la longueur soit égale à la distance polaire mesurée sur l'échelle des longueurs, c'est-à-dire à 20 mètres dans le cas de la- PI. XIi et s» et qu'on déplace cette portée de telle façon que le nœud 2, pour lequel on veut déterminer le maximum de l'effort tranchant, corresponde au premier essieu du train, c'est-à-dire à l'essieu 20, et que les extrémités soient situées l'une en y sur le polygone funiculaire^ l'autre en 8 sur le dernier côté de ce polygone, l'ordonnée Sy mesurée à l'échelle des forces représentera le maximum de l'effort tranchant que le passage du train peut produire sur le nœud s. Pour une portée différente de la distance polaire, il faudrait diminuer la force S, qui résulterait d'une construction analogue, dans le rapport de la distance polaire à la portée. Les efforts tranchants sont donc, dans tous les cas, proportionnels aux ordonnées S.

Comme application des formules développées au n* 87, nous alloiis calculer les moments et les forces que nous avons déterminés graphiquement dans le précédent numéro. Nous nous bornerons par suite au calcul des efforts et des moments produits par une locomotive Engerth sur des poutres de différentes portées. Nous commencerons par des travées de faible ouverture.

Paos le pas d*u^e travée de 1 m^tre de portée ç^tre les points d'»ppUç|itiP^ «teq

réactioaa des appuis, ou n'a à coosidérev, pour détennioar le rooment maiinmin dans UQQ section, igue l'efTet d'un seul essieu de 13 T., puïsi^ue l'écartemont ininimum des essieux est de 1~,10. Le moment pour l» section considérée e«t donc, d'aprôa le □' 86, donné par 1' 4^ nation

.JJ = £i^.,3.f-(i-.J.,3.

Ce moment est maximum pour x=: -, et sa voleur est alora -^^3,25, le momenl

étant eiprimé en tonnes et en mâtres. En portant, au-dei8u> de chaque section i, ce moment comme ordonna, oa obtient une parabole dont le Hommet correspond au milieu in la portt-o. Noua avons d^A vu ce résultat au n" 56, p. 316.

Si maÎDlcnaat nous considérons une ouverture de 2 mètres, la poutre pourra t'tie charirêe à la Fois de deux essieux écartés de 1*,10: il suffira pour cela que l'un des deux essieux noit distant de plus de U',10 du milieu de la travée. Ainsi, tant qua / est compris entre 0' et 0*,90, la pouti'e est chai'gée de deux essieux placés l'un ea j-, l'autre en j-+ 1",10, el, pour j compris enfi'a (i-,90 et 1",00, la poutre n'est chargée que d'un seul esxieu. Les moments, dans ces deux cas, soot :

ÎPJ^ = g . 13 (2 - « + ï — X — 1,1) « = 13 a.45 — *) * = «,8331 — 13 (0,7S6 — »)«,

!p;, = |.13(2 i)x = 6,5-(Wi(l-«)».

n réaulte de cm équations qae le moment commence par croître Jnaqn'i l'abecîMe «=:0,TS5, qui correspond au sommet de U parabole rapréMatant Isa moments entra 0 et 0,9 et que le moment, en ce point, est 6,B331. Le moment décroît ensuite Jnaqu'A l'atMciase 0,9 pour laquelle les deux équations donnent 1& même valeur do moment, aoil 6,435, et il augmente de nouveau Jusqu'au milieu deU pontre. Sa valeur, en ce derniei' point, est 6,5.

Nous avons représenté, sur la l'I. W^. celte disposition particulière au moveu des paraboles coirespondaut aui équations ci-dessus, et en eiagér.int l'échelle des moments. <)□ voit que, dans le cas qui vient d'tïtre examiné, le moment maximum ne correspond pas au iiiilicu, mais à l'abscisse 0,72^. Kn employant l'échelle des moments dont nous nous sommes sen'is dans les précédents numéros, la déformation de la courbe ne serait pas sensible; toutefois, pour les petites portées, les court»es des moments ont plutôt l'apparence de segments de cercles que de segments de paraboles.

Ko procédant d'une manière analogue, on obtient les équations des moments jK>ur une portée de 3 mètres, «avoir :

»4,lJ'' = ?;.l.()'3-x-f3-x-l,l+3-ï-2,2)J- = 13(l,9-i).T= 11,7325— 13(0,K-a:]'.

= 14,95— 13 ll,5-.r)*.

On obtient pour les limites .t ^ 0,8 et .t — 1,1

*Po^ = U.44 et f,,, = '

Cette portée de 3 mètreH n'offi'e rien de parliculio e intéresaante à considérer. Pour x compris

peuvent être disposés de deux manières différentes, savoir :

des essieux de 13^ en {x — 1,1), a;, et a? + 1,1, et un essieu de 8^,5 en a: + 2,3; ou bien

des essieux de 13t en x, x + 1,1 et a: + 2^2,

Au commencement, c'est la première disposition qui donne les plus grands moments, et ensuite la seconde. Pour déterminer la limite entre les deux dispositions^ il faut chercher la valeur de x pour laquelle les moments correspondants sont égaux, et on trouve x= 1,2168. Cette abscisse est celle du point dHntersection des paraboles qui correspondent aux deux modes de charge indiqués. Les équations des moments seront, en ayant égard à cette particularité :

^^ =j[(4— a: + 2,9— a:-f- 1,8-a;) 13-t-(0,6-:r)8,5Ja:= i(118,2-47,5a;)a;

= 18,383- 11,875(1,244— a;)«; ^J;f^ = ^.13(2,9-a:)x=:20,499— 9,75(1,45— ar)«;

^Î!«68 = ^[13(a:-l,l)(4-x) + 13(4-x)a:+13(2,9-ar)a:+8,5(l,7-x)a:]

= 1 (-57,2+170,45 a:— 47,5a;«)=23,928—ll,875(l,794-«)«;

^1,7 =j-13[(a?-l,l)(4-a;)4-(4-ar)j: + (2,9-x)ar]=î.l3(-4,4+12aî-3a:«) = 24,7-9,75(2-a:)«.

Ces équations donnent deux à deux les mêmes valeurs 'pour les limites des abscisses, savoir:

pour a: = 0,6, ^4^= 13,455,

Nous avons aussi représenté ces paraboles PL XI4; il résulte de la comparaison de ces courbes qu*il n*y a pas de règle générale pour la disposition qu'affectent les courbes des moments. Dans le cas de travées assez petites pour ne comporter qu*un seul essieu, comme dans la travée de 1 mètre, la courbe de moment maximum est une courbe parabolique régulière, tandis que, pour une portée de 2 mètres, la partie supérieure de la courbe des moments est déprimée dans l'espace auquel ne correspond qu*une seule charge d*essieu. Au contraire, dans le pas d'une portée de

3 mètres, la courbe est exhaussée; il n*y a Jamais que trois essieux à la fois sur la poutre, mais dans la partie médiane, ce sont les essieux les plus lourds, et de là le relèvement de la courbe au milieu. Il y a en outre, dans les parlies rentrantes formées par les paraboles, des points correspondants à des minimums relatifs des moments, et d'autres correspondants à des maximums relatif. Avec une portée de

4 mètres, ces irrégularités commencent à devenir peu apparentes sur la figure, et, pour des portées plus considérables, on ne peut les distinguer que par le calcul.

Pour terminer, nous calculerons encore les moments correspondants aux nœuds d'une frame d'une portée de 40 mètres, moments que nous avons déterminés graphiquement (Pi. XI))« Dans cette détermination, nous nous sommes servis du compas pour rechercher sous quel essieu se produit le moment maximum. L'emploi du calcul permet de déterminer, d*une manière assez simple, si le moment correspondant à un essieu AP^ est un maximum ou non, sans avoir à calculer ce moment lui-

33i HUHEMB UKS H'IK^KN PjtlIALI.dl.Kit.

même. Désignons tiAr 1', U ^(iiuina dm cUftrKM <li! tous len easienx pr^ctrtsut l'essioa aP„ et par P, la «omnie de» charges du tous les essioun qui sDivent ■?* dernier: pur l>, et 6', les dintances de l'essieu AP, sus deus estr^mit^s de !» poutre, par 6, et 6',. '/, et 6', les distanceg A ces nnâmeB eïli'^mit^s de centres Af Rravilé des groupes d'essieui P, et P,. D'après le n° 87. p. 3Ï1. le moment rt-sulunl de CBS dilTéi'entes charges par rapport à la section h,, b\ aern :

% = 1 (fc,i',P, + V'iAP, + *^',P.l.

Si maintenaDt nous TaisoiiB avancer tnul le Bystëme d'esBieni d'une quantité A''. sans chanRer la position de 1b Hcctîon considÉr*» K. 6, aujtniente do AA, tandU qmft", et 6',, qui entrent reepectivement comme ftcteiirs de âP, et de P, de CBtl« m^ma quantité i,b. On a par suite :

Si, an contraire, on fait reculer tout le eystème de &S, ft, et 6|, q«i sont flutenr^ de P, et de AP, diminuant, tandis que b\ augmente de Ah. On a donc anari :

— ^-fc'rfPt + iPO + M**

Si le moment $ eit un masittinm, il devra diminuer dans eha^bs daa BtoQTements considérés, et par suite lee deux dilTérencea de momenta doivent être négativee. ce que l'on peut exprimer par les inégalités

P. + tf., ftt ^ P.

P, 6', aP, + P,'

Eu général, la règle à calcul suffira ponr vérifler ces inégalités. On n'a qu'A mettre en regard l'un de l'autre tes nombres 6, et fiV '^ premier eur la rècle, 1? second sur la rf Rlette; la distance entre le nombre P, lu sur la règle et le nOTtiVre P, lu sur la réglette devra être plus pelîle que iP,, cequ'un simple coup-d'oM. permet de coofitater. Si cette distance est plus grande que aP,, il faut faire avancci tout le système vers celle des charges P, et P, qui est la plus petite.

Le maximum ainsi déterminé n'est pas uu maximum absolu, et plusieurs essieii^i consécutifs peuvent satisfaire à la condition résultant des inégalités ci-dessus. Dan? ce cas, la direction des côtés du polygone funiculaire et celle des cAtés du conloiii' du noeud considéré (Pt. XI,) sont aensiblemont parallèles eu passant d'un essieu ;i Tautre, de telle sorte que la distance verticale comprise entre ces deux po1rpon<>diminue en allant de chacun des deui essieu.t vers le sommet du polygone du nœud qu'ils comprennent entre fiuï, et qui correspond à un minimum du moment. Lorsque cette circonstance se présente, il est nécessaire de calculer les moments pour les deux positions de la charge et de prendre le plus ^rand de ces moments Quant aux roinima des moments, nous ne nous en occuperons pas. parce qu'ils sont sans utilité. Nous ferons seulement remarquer la dualité qui existe entre lemaxime et les minima des moments : les premiers correspondent anx sommets du polygone funiculaire, les seconds aux sommets de chaque polygone des nœuds.

Après avoir déterminé quels sont les essieux sous lesquels se produisent le;* moments maxima, il faut déterminer la valeur de ces moiiients. Pour cela, il convient de calculer les moments de tous les essieux d'un train par rapport à un cerlnin point, par exemple par rapport au premier essieu, et en même temps de faire l:i somme des poids et des moments des essieux. C'est ce que nous avons fait pour \» table ci-après, La 1" colonne de cette table contient les numéros d'ordre des es-

POIDS ET MOMENTS PRODUITS PAR VS TRAIN DE LOGOVOTtVBS ENGËKtH.