DU CENTRE DE GRAVITÉ EN GÉNÉRAL

Comme, dans tout ce qui précède, nous n*avons fait aucune hypothèse sur le nombre et Técartement des différentes forces , nos propositions s'appliqueront encore si nous supposons le nombre des forces infiniment grand et leur écartement infiniment petit. Tel est le cas de tous les corps ou de toutes les masses matérielles, qui. sous Tinfluence de Tattraction terrestre ou d'autres actions parallèles, déterminent des pressions; le centre de ces pressions, de ces poids ou de ces forces, s'appelle centre de gravité.

Pour déterminer le centre de gravité, on suppose le corps décomposé en éléments finis ou infiniment petits, dont les centres de gravité sont connus et dont les poids peuvent être composés d'après les règles que nous avons indiquées précédemment.

U arrive fréquemment qu'on peut grouper les éléments des corps de telle façon que leurs centres de gravité se trouvent tous situés dans un même plan ou sur une même ligne droite : les opérations à effectuer se réduisent alors à des opérations dans ce plan ou sur cette ligne. S*agitil, par exemple, de déterminer le centre de gravité d'un rail de voie ferrée ou de toute autre construction à section constante, on peut supposer le corps décomposé en éléments prismatiques, dont les centres de gravité sont tous situés dans la section placée à égale distance des extrémités, et dont les poids sont proportionnels aux bases des prismes, c'est-à-dire aux surfaces interceptées dans la section moyenne par ces éléments prismatiques.

Cette section moyenne peut être considérée comme le lieu des centres

de gravité de tous les éléments prismatiques et comme uniformément chargés par le poids de tous les éléments ; pour obtenir le centre de gravité, on décomposera la section moyenne en surfaces élémentaires et Ton appliquera à chacune de ces surfaces une force proportionnelle à son étendue. C'est dans ce sens qu*il peut être question de déterminer les centres de gravité de surfaces et de lignes; on les considère les lieux des centres de gravité de corps. Les lignes et les surfaces peuvent être chargées^ soit uniformément, soit inégalement par les éléments des corps. Dans la détermination des centres de gravité d'un certain nombre de lignes ou de surfaces, nous supposerons toujours la charge uniformément répartie.

Dans tout ce chapitre il ne sera question que de forces parallèles.

Pour obtenir les expressions analytiques des coordonnées du centre des forces paraUèles et du centre de. gravité, prenons un plan arbitraire ^^, qui soit paraUèle À la direction des forces. Des points d*application des forces, abaissons des perpen diculaires sur ce plan :

— =:(aÇ + ôn + c; + l)7.

Dans cette formule, abcl désignent les coordonnées des points d^pplication« ta' le sinus de Tangle solide, et p la fonction du n" 64, p. 220, Soit en outre P la grandeur d'une quelconque des forces parallèles. Le moment de ces forces, par rapport au plan, dans le sens indiqué au n" 59, p. 200, est :

Pour que ce moment soit nul, il suffît que les coordonnées du plan ^ri^l satisfassent à la condition

0 = ÇlrtP -h -nUP 4- !;icP + SP.

Cette équation étant du 1*' degré en ^tiCI, est celle d'un point qui est le centre des forces parallèles. Les coordonnées de ce point sont :

laP i:6P IcP

XP ' vp ' vp *

11 est facile d'étendre immédiatement ces formules aux lignes, aux surfaces et aux solides; on n'a qu'à remplacer P par les éléments des lignes A*-, les éléments des surfaces AF et les éléments des solides AV; puis, passant aux limites, ces élémeuU'i deviennent des différentielles et les sommes des intégrales.

On peut obtenir ainsi l'ordonnée i/c du centre de gravité d'une courbe quelconque par rapport à un plan coordonné. On aura :

My = sye = \^ yds.

L'aljscisse du centre de gravité du no suilace plane F est :

5Jljc = Fjv = U xdxdy = \ xydx.