DU CENTRE DE GRAVITÉ DES FIGURES

Il n'est pas nécessaire que, dans cette formule, Tordonnée soit mesurée à partir de Taxe des abscisses; y peut être la longueur interceptée sur Tordonnée par le contour de la courbe qui limite la surface. Il n'en est plus de même quand on recherche l'ordonnée yc du centre de gravité. On a alors :

ou, ce qui revient au même, pour le contour entier de la surface :

aR»=Py.= iJy«dx.

Dans le premier cas, les limites d'à? sont les abscisses des extrémités de la projection de la figure sur Taxe des x. Dans le second cas, les limites de l'intégrale ne diffèrent pas Tune de l'autre, mais à chaque valeur de x correspondent deux va^ leurs de y ; la série de l'une de ces valeurs de y correspond aux valeurs croissantes de X, l'autre aux valeurs décroissantes. En multipliant ^y par Src, on obtient :

22»» it = it C (y"« - j^)d«.

c'est l'expression du volume engendré par la rotation de la figure autour de Taxe des X, ainsi que cela résulte du n<* 30, p. 127.

Si Ton remplace les ordonnées parallèles par des rayons vecteurs issus de Torigine, le moment par rapport à Paxe des x sera en coordonnées cartésiennes :

3R» = Fy« = - \ y(xdy — ydx).

L'intégrale doit être prise pour le contour entier. Mais cette expression n*a pas ^n^nde utilité ; cette méthode n'est pratique qu'en coordonnées polaires. Dans ce cas, l'expression du moment par rapport à une droite 9 = a est :

3Ra = - \ r« sin (ç — 0)^9.

Les formules pour la détermination des moments des volumes ne diffèrent de celles que nous venons d'indiquer que par le remplacement de Pordonnée y par l'aire de la section faite parallèlement à un plan coordonné. Le moment par rapport à l'axe des xy est :

JH = ^ÇÇ «terfyrft = KV(5"«- z'«)rfxrfy = ^ zFx»rfz= \aR./te= \ SW.xrfy.

La première de ces intégrales est l'expression générale du moment ; la seconde représente la somme des moments de tous les éléments prismatiques ayant pour base l'élément superficiel dxdy\ la troisième, la somme des produits des volumes des tranches élémentaires xy par la distance de ces tranches au plan des xy; la quatrième, la somme des moments des tranches zy, et la cinquième, la somme des moments des tranches zx. On obtient des formules analogues pour les moments par rapport aux autres plans coordonnés.

L'emploi des déterminants permet d'obtenir l'expression des moments des éléments polaires; mais les résultats auxquels on arrive sont si compliqués qu'ils Dont aucune utilité pratique.