ÉLÉVATION AUX PUISSANCES

/ — , le nouveau segment projeté sur A parallèlement à l'autre direction n

nous

donnera m — ) » et ainsi de suite.

Toutes les longueurs ainsi formées sur A et B, mesurées depuis Torigine, donnent sur chaque côté une progression géométrique dont la

raison est

Sur A : /, l(-\ , l C^j ,...,

SurB: /-, /(-), /(-),..,

Les antiparallèles forment aussi une progression géométrique dont la

raison est — .

tn Si Ton continuait la progression /, , /, — , dans Tanglc 0. formé par

deux antiparallèles consécutives, on formerait dans une figure G(yD analogue à AOB', sur ces deux antiparallèles les progressions

Dans cette nouvelle ligure, les directions projetantes sont parallèles à OA et OB, et les nouvelles antiparallèles forment la progression géométrique

On voit donc que les segments déterminés sur OA et sur OB par la série des transversales forment ainsi sur ces deux lignes des progressions géométriques, ce que Ton peut d'ailleurs démontrer directement au moyen des triangles semblables dont se compose la figure.

Nous traiterons, dans le chapitre v, le cas où l'exposant est fractionnaire à l'occasion de Textraction des racines. Auparavant nous dirons quelques mots des travaux de trois mathématiciens qui ont essayé de construire, par un procédé graphique et d'après les règles précédentes, dès expressions purement analytiques.

16 DU CALCUL GRAPHIQUK

Nous citerons les trois ouvrages suivants :

1* Sul calcolo grafico deî Polinomt inieri e razionali délia foi^nn ar*' + ar'"-'+... +ç'jr + /. Nota deir Ingegnere E. Stamm (Rendi conti de! Reale Instituto Lombardo. Milano, 1864.)

2* Grundzûge einer graphischen Ariihmetkik von D' Egger. Schaffouse,

3* Das graphische Rechnen, Promotions-Dissertation von Eug. Jâger. Spire, 1867.

Dans ces trois ouvrages, les constructions de polynômes algébriques ne diffèrent pas essentiellement. Les recherches de Stamm sont les plus anciennes; celles d'Egger sont de beaucoup les plus générales, et le livre de Jâger s'appuie sur des constructions plus connues.

Nous allons construire, au moyen de la méthode d'Egger, le polynôme

.y = «,«, .•• ^/>. + *i«t ••• «t-i/vi + ••• + «is;^t + «i/^i +/>o

m oh Pi représente des longueurs et « le rapport toujours positif - de deux

lignes m et n.

Notre construction ne diffère de celle du D' Egger qu'en ce que nous nous sommes servis de la méthode du sinus indiquée n* 2, p. 10, tandis que M. Egger s'est servi de la tangente, parce qu'il est parti dans ses recherches de l'équation d'une droite y=:ax -|- 6 où le rapport tangentiel est en évidence.

Écrivons le polynôme de la manière suivante :

y = \ {[(^iPi + Pi-x)^i^x + ;^<-i]«.-f + • • • +Pi)^t + />! } «I + />o

et remplaçons successivement les quantités entre parenthèses par ^,,, y,„ de manière que :

Le problème est ramené à construire les différents y.

Prenons {fig. 22) deux axes Ox, Oy, et menons parTorigine 0, des droites faisant avec Ox des angles dont les sinus soient a, , a,j , «,, , etc. Pour traiter la question d'une manière générale, nous avons supposé a<.j plus grand que 1 et nous en avons retranché l'unité pour avoir un sinus réel, c'est-à-dire <1; au lieu de. porter «..^ , nous avons donc porté «,, — 1. Si ce dernier résultat avait encore été plus grand que 1 , nous aurions retranché 2, 3, etc., jusqu'à ce que nous ayons obtenu un sinus réel.

KLEVATIOX Al'X PUISSANCES.

Fig. iî.

Wi-i

> ««.tc«x3

Cela fait, portons les différents p comme ordonnées sur l'axe des y,

les positifs vers le bas et les négatifs vers le haut, et menons par leurs extrémités des parallèles à Taxe des X. Si nous portons maintenant, au moyen du compas, Pf sur «, à partir de Torigine, Tordonnée du point ainsi obtenu sera f/^ a,; et la distance verticale entre ce point et Thorizontale de />,., sera y,,, =/>,a,. +/>,.,.

Cette longueur y,, se mesure sans qu'il soit nécessaire de tracer aucune autre ligne. On la porte une première fois sur «,, ; puis, à partir du point ainsi obtenu sur a^^ , on la porte, une deuxième fois, sur l'ordonnée de ce point, vers le haut puisque a^, est > 1). La distance entre ce point et Thorizontale de —pi-i est égale à — y,,. Dans la ûgure, y<., est négatif; il faut donc, pour continuer la construction, la. porter sur «,, dans le sens négatif, c'est-à-dire vers la gauche. On mesure de nouveau l'ordonnée comprise entre son extrémité et l'horizontale de />,3, on la porte sur a,^, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait trouvé la valeur de y.

Lorsque tous les rapports a ont la même valeur, le polynôme devient

Il suffit, dans ce cas, de construire un seul «; la construction reste la même que la précédente.

Si s est inconnu et s'il doit être déterminé par la condition que y = 0, notre construction nous permet de résoudre, d'une manière analogue à celle fournie par la méthode des essais, l'équation

On ne peut toutefois obtenir directement que les racines comprises

entre — 1 et -f-1 ; pour obtenir les autres, il faudrait changer dans l'équa-

tionar en ~, et recommencer les opérations pour cette nouvelle équa-

tien.

Exemple. Soit, par exemple, à résoudre l'équation :

L*équation n*a pas de racines comprises entre +1 et — 1 . Nous chan-

gérons donc a: en —^ et nous aurons une nouvelle équation

dont les y, ont été construits (fig, 23) pour différents x à Téchelle de 1 = 0",003 = 1 ligne suisse.

Si nous portons successivement la longueur 23 sur des rayons correspondant à diflérents x, le lieu de son extrémité sera le cercle pointillé concentrique à Torigine, et y, = 23a: — i sera égal à la hauteur de Tune quelconque de ces extrémités au-dessous de Thorizontale — 1.

En portant ces longueurs y, à partir de 0 sur les rayons qui leur correspondent, on obtiendra comme lieu des extrémités des y,, la ligne semi-pointillée.

Les grandeurs y^ = 23a?' — x — 6 sont, de môme que précédemment, égales aux hauteurs des extrémités de y, au-dessus de Thorizontale — 6.

Portant enfin ces y,, à partir de 0, sur leurs rayons respectifs, on obtient, comme lieu de leurs extrémités, la courbe figurée par un trait plein, et les grandeurs y = 23x' — x — 6-j-l sont égales aux hauteurs des diff'érents points de cette courbe au-dessus de l'horizontale -f- \ .

L'intersection de cette courbe avec l'horizontale -f-l détermine les