CENTRE DE GRAVITÉ DES FIGURES LIMITÉES PAR DES LIGNES COURBES

pour z = 0 on obtient Tordonnée moyenne 2/*+ - ^, et, pour z r=d= 1, les ordonnées Zf—g'àzd des extrémités, ainsi que cela doit être. Cela posé, nous avons :

Désignons par /z<* et ye les coordonnées du centre de gravité; nous aurons :

Mtf d^ g% 1 , y^

Pour construire le centre de gravité au moyen de ces coordonnées, joignons le pied de Tordonnée médiane 2f au milieu de la longueur d portée sur la plus grande des deux ordonnées extrêmes à partir du côté inférieur, et menons à partir du milieu de l'ordonnée 2f une parallèle à cette ligne. Portons ensuite sur cette même

ordonnée, à partir de son milieu f, la longueur - (/, et menons, par le point obtenu,

une parallèle à la droite qui Joint l'extrémité supérieure de Tordonnée 2f au milieu de </. Uabscisse du point d'intersection de ces deux parallèles est égale à /ze, car on a :

Izc l d

= — • ou Ze=— .

id 2f* 6f

L'ordonnée de ce même point est ^ + - dze comme on le voit immédiatement sur la figure. Le centre de gravité est donc situé sur cette ordonnée, à une hauteur

^ au-dessus de ce point. On construit cette longueur ^ au moyen d'un triangle

rectangle dont la hauteur est - g, soit le tiers de la flèche, et dont Tun des segments

de Thypoténuse est hf, comme l'indique la figure. Dans la plupart des cas, la

quantité -^r-, est si petite qu'on ne peut la construire, et, si Ton peut la négliger, la Vif

détermination du centre de gravité, d'après la construction précédente, est très

L'expression du moment My permet de déterminer aussi d'une façon très simple leyolume d'un rase, engendré par la révolution d'un arc de parabole {fig, 164). D'après la règle de Guldin, ce volume est :

3 = 2nbiy = [(2/*)» 4- î rf» -1- 1 ^t j 2/^.

En général - g^ est négligeable par rapport aux autres quantités, et si d = 0,

IIOIIE^TS DES FORCES PAIttLLËLES.

loràiiu'il B"agit d'un tonneau, on peut coneidérer 2f comme le

cODime c'est l rayOD moïen

Lorequ'oD donne la ««ction lODgituditiak du vi ment eur le de' Dans le cas

et mo^en. Soient

on peut mesurer immédiatelea longueurs S/, Sd, f et j.

est obligé de les cbIon supérieur, inférieur ces trois r&yocis, od i :

12/-= a + id=a- Sg = 2b-

flont susceptibles d'une appli

tution lia ïBleurs particulières de «, i et i

terminiïs jusqu'à présent, a l'exception de

Cm formules peuvent être utilisées pour le cubage exact dee bois non équarris.

Lca fonnule» que noua avons trouvées pour h surface et les moments du titipèze pnraboHque n très étenilue: on peut en dHuii-e. par la buIiïIl-

a lii-

:e rapportent au cercle.

e] Centre de gravité de figures iirégnUèreB.

Pour dfterminer le centre de gravité de figures irri^gulières, on les divise par des lignes parallèles en bandes trapézoïdales assex étroites pour que leurs centres de gravité puissent être considérés comme situés au milieu de la largeur; puis on détermine l'aire de ces bandes, qui, d'après le n" 2< (p. i03), peut Pire regardée comme proportionnelle à la bauLeur moyenne pour les bandes dont la largeur est constante. Pour les bandes dont la largeur n'est pas constante, ce qui a lieu, par exemple, pour les bandes extrêmes ou pour celles qui correspondent à des irrégularités particulières de la figure, on détermine les aires en les réduisant il une base commune. Cela fait, on considère ces aires comme des forces parallèles qui agissent au centre de gravité de chaque bande, on les réunit pour former un polygone des forces, et on construit, à l'aide de ce polygone des forces, un polygone funiculaire, dont les sommets sont situés sur des parallèles à la direction des forces, menées par les centres de gravité des bandes ; l'intersection des côtés extrêmes de ce polygone détermine la parallèle sur laquelle le centre de gravité est situé.

Ces opérations ont été effectuées sur la PI. XII, pour le profil d'un rail.

Le profil du rail est symétrique par rapport à la verticale qui divise en deux parties égales les lignes horizontales. Le centre de gravité de la section est par suite situé, d'après le n* 93 (p, 315), sur cette verticale, à une certaine bauteur qu'il s'agit de déterminer. Décomposons, par des