CBHTBK DB GRAVITÉ DES VOLUMES
a) Centre de graTité de* polyèdres.
Nous commencerons par déterminer le centre de gravité du tétraèdre. Si l'on coupe le tétraèdre par une série de plans parallèles jl deux arêtes opposées AC et BD {fig, 165), on obtient une série de parallélogrammes dont les angles sont constants.
Fig. les.
Les centres de gravité de ces parallélogrammes sont tous situés sur la ligne qui joint les milieux E et F des deux arêtes, car le plan AEG partage en parties égales tous les cAtés des parallélogrammes parallèles à BD, et EF partage en deux parties égales toutes les lignes qui réunissent deux à deux les points d'intersection du plan AEG avec les cAtés parallèles à BD. Gomme les surfaces des parallélogrammes sont entre elles dans le même rapport que les produits de leurs cAtés HG et GJ, et que ces derniers cAtés sont respectivement dans le même rapport que les segments correspondants DG et GG de la ligne CD, puisque
^DG GJ GC
H,G, ~ DG, ^ G,Jj ~ G,G'
les produits de ces cAtés, c'est-à-dire les surfaces des parallélogrammes HJ etH,J,, sont aussi dans le même rapport que les produits correspondants des segments de DC, savoir :
(HJ) HGXGJ DGxGG y* (H,J J ~ H.G, X G,J, ~ DG, X G,C ~ y,"
en désignant par 1/ et y, les ordonnées du cercle décrit sur DG CD|:][| me
36i HOMENTS DES FORCES FAItALLËLES.
diamëlre, élevées en G et G,. Mais, comme deux uidunnées également éloignées du milieu de DC sont égales, les surfaces de deux parallclngrammes également distants du milieu S de la ligne EE sont aussi égales.
Par suite, on peut grouper les éléments du tétraèdre deux à deui, par rapport au milieu S de BF, de telle Taçon que tous ces groupes aient leurs centres de grarilé en S. S est, par suite, le centre de gravité du tétraèdre. Si l'on considère ABC comme la base du tétraèdre, E correspond au milieu de la hauteur et S au milieu de cetto demi-haut«!ir, soit au quart de la hauteur totale du tétraèdre.
Si l'on désigne par abcds les ordonnées du sommet du tétraèdre et de son centre de gravité par rapport à un plan quelconque, l'ordonnée de F sera représentée par- (a -{• c), et celle de D par- (b-\-d); par suite, celle de S. qui est au milieu de E et de F, sera représentée piir
S = 1 (a + 6 + e + rf).
Si l'on mène par le centre de gravité S du tétraèdre un plan parallèle aux arêtes opposées AC et BD. et qu'on le considère comme un plan diamétral d'un ellipsoïde dans lequel les longueurs parallèles à AC et àBD seraient des diamètres conjugués, et dans lequel la ligne EF qui réunit le milieu des arêtes serait le troisième diamètre conjugué, les sections du tétraèdre résultant de l'intersection de ce corps par des plans parallcles à AC el ji BD seront aux sections correspondantes de l'ellipsoïde comme 1 : jt. En effet, celte relation a lieu pour la section faite par le plan qui passe par le point S, et comme toutes les section^ de l'ellipsoïde sont entre elles dans le rapport des carrés des ordonnées d'une ellipse ou d'un demi-cercle décrit sur CD comme diamètre, et qu'il en est de môme des sections du tétraèdre, ta proposition que nous venons d'énoncer est démontrée.
Comme toutes les sections parallèles du tétraèdre et de l'ellipsoïde sonldans le rapport 1 ; ^, il en est de même de la portion du volume de chacun de ces deux corps comprise entre deux plans parallèles, el du volume total des deux corps. Par suite, les centres de gravité des volumes compris entre deux mêmes plans parallèles coïncident.
Si un corps est limité par des surfaces planes, on le décomposera en tétraèdres et Ton supposera menées par chacun des centres de graviié de ces tétraèdres des forces parallèles et proportionnelles à leurs volumes. Leur résultante pourra être déterminée par la méthode dé*oloppée au n* 58 ^p. lOS.j
CENTHR DK GRAVITÉ DRS VOLiM^ES.
L*expre8sion analytique du moment VK d*un tétraèdre par rapport à ûh plan coordonné, celui des yz, par exemple, est
ar, y, z, 1 ^» Vk H 1
(X| + arj -+- arj + JC4) =
^1 Vx H ^>»
•^1 Vi H ^itk ^ ys ^8 ^11»
^4 y* '4 ^ijs
en désignant par x^j^i la somme a;, + x^ + xi. Le déterminant est égal à six fois le volume du tétraèdre, et Texpression entre parenthèses à quatre fois Tabscisse du centre de gravité. La deuxième expression se déduit immédiatement de la première.
Comme un polyèdre quelconque peut être décomposé en tétraèdres^ les formules qui précèdent permettent de calculer le volume^ le moment et le centre de gravité d'un polyèdre quelconque.
Si le polyèdre est convexe, c*est-à-diré Si sa surface ne peut être rencontrée par une ligne droite qu'en deux points, et que Ton prenne pour la décomposition en tétraèdres un point fixe à Pintérieur ou sur la surface du polyèdre, tous les tétraèdres sont pleins; ils s'ajoutent les uns aux autres pour former le polyèdre, et l'on D*a À s'occuper que de la valeur absolue des volumes et des moments. Dans le cas contraire, on devra avoir soin de donner le même signe aux tétraèdres pleins et le même signe aux tétraèdres à jour.
Lorsqu'on a écrit le déterminant d'un tétraèdre, le signe de tous les autres tétraèdres se ti*ouve par là même déterminé. Si on prend un point unique comme sommet de tous les tétraèdres, le côté commun des deux bases adjacentes devra paraître être parcouru dans des sens différents pour les deux tétraèdres auxquels ce côté commun appartient, par exemple : 0234, 0543, 0564.
Lorsque^ pour éviter, dans la décomposition d'un polyèdre non convexe, d'avoir des tétraèdres à jour et des tétraèdres se pénétrant^ on ne prend pas un pôle unique, les sommets de deux tétraèdres qui ont une base commune devront être situés de part et d'autre de cette base ; celle-ci devra, par suite, paraître parcourue dans des sens différents pour chacun des deux tétraèdres, exemple: 1234, 3215.
6) Centre de gravité d*nn prisme tronqué à base triangnlaire.
Pour déterminer le moment statique d'un solide terminé par des faces planes, on peut aussi décomposer ce solide en prismes tronqués ayant pour bases les différents triangles suivant lesquels on peut décomposer la surface du solide et terminés à un même plan. Nous allons rechercher, en employant cette méthode, l'expression du
moment.
Prenons les arêtes du prisme parallèles à l'axe des z et limitons-le au plan des xy. L'expression du volume du prisme pourra être mise sous la forme de la somme des Tolumes de trois pyramides :
^i Vi «1 i ariv, 0 1
^1 Vi 0 1
2;ty,0 1
Xi y, 0 1^ ajfyiO 1
eo désignant par x^yx^x les coordonnées des sommets de la base du prisme et
par F le double de la surface de la projection de la base du prisme sur le plan des ^, soit
^lyil «syai
3M HOHBKTS HES FunCES PARALLËUR.
On en déduit :
24 SÙL = KgJ-, + J-. + ij .-. + {i, + Èi, + ^,) =, + |x, + r, + 2rJ i,l P. 24 ïïî, = [(aji, + tfi + ï() =1 + (!/i + Sj, + !/») ^ + (ïi + !/ï + 8tfi) H] P. 24 3)t, = |(r. + :, + I,) !, + (i, + t,l :i + Vl F-
Enfla, en désignant par St la somme dea trois abscUse» Zi^^^t. et divisant le« luomeota ci-dessus par 3, oa oblieat les coordonnées da centra de gravité, savoir:
Il rémilte de la foime de ces èquationa que les coordonnées x^y^Zz-- Batisfont i, l'équation du plan de la base du prisme, et i|ue par suite le rentre de gravité est situé dana le plan médian des arêtes.
Ce résultat est d'ailleurs érideut de lui-nié meatâ pria mat iqu es, les centres de gravité de plan.
c) Centre de gravité des volumes limités par des faces courbes.
Si un corps est limiLé par des faces courbes, on le partagera par des plans parallèles, en prismes de même hauteur, celte hauteur étant prise suffisamment petite pour qu'on puisse admettre que le centre de gravité d'un quelconque de ces prismes coïncide avec le centre de gravité de la section moyenne et que son volume soit proportionnel à cette section. On pourra alors supposer qu'en ces centres de gravité on fasse agir des forces parallèles, proportionnelles à ces sections, et déterminer leurs résultantes par la méthode du n" 58 (p. 197).
En opérant ainsi, on obtient ordinairement une calotte, au lieu d'un prisme, à chaque extrémité du corps. Si l'on admet que la section de chaque calotte, par un plan perpendiculaire à sa base, soit une parabole, on peut admettre aussi que le centre de gravité est situé dans la section menée au tiers de la hauteur. Le volume de la calotte peut alors être considéré, ainsi que nous l'avons fait remarquer au n* 31 (p. 131). comme égal au produit de sa base par sa demi-hauteur.
