MOMENTS d'ordre SUPÉRIEUR EN GÉNÉRAL

Nous avons montré au n* 4 (p. 26) comment on peut former graphiquement des sommes de la forme Sar^y^z^P, que Ton rencontre quelquefois en mécanique, et où les P représentent des forces parallèles, x, y, z les distances des points d'application de ces forces à trois plans coordonnés quelconques et mesurées suivant des directions arbitraires.

Bien que, dans la statique, on n'ait jamais à faire la somme des produits de dififérentes forces par plus de deux longueurs, nous croyons utile d'indiquer d'une 'façon plus complète comment ces sommes peuvent être construites.

D'après le n* 59 (p. 200), le moment statique simple de diverses forces parallèles, par rapport à un plan projetant la direction de ces forces, est proportionnel au segment intercepté, sur l'intersection de ce plan et du plan de projection, par les côtés extrêmes du polygone funiculaire construit dans ce dernier plan. Le moment lui-même est égal au produit du segment et de la base H du polygone des forces.

Si l'on veut obtenir un moment du second degré de ces forces, on n'a qu'à construire un nouveau polygone funiculaire, avec une nouvelle base A, en considérant les moments précédents comme des forces. Les segments que l'on obtient alors sont évidemment proportionnels aux moments des premiers segments considérés comme des forces, c'est-à-dire aux produits de ces segments par leurs distances au plan, par rapport auquel on prend les moments. Pour obtenir ces produits eux-mêmes, on n'a qu'à multiplier les segments par h. Ces seconds segments sont donc proportionnels au produit des forces par le carré des distances au plan. D'ailleurs ces seconds segments jouent par rapport aux premiers le

niËme rôle que ceux-ci par rapport aux forces : il en résalte que leur somme est, en ayant égard aux signes, proportionnelle à ta somme tlv^ produits des différentes Torccs par leurs distances respectives au plan projetant. Il faut multiplier celte somme de segments par HA pour obtenir Ît/'P.

Pour fixer les idées, nous répéterons brièvement les opérations précédentes en nous aidant de notations. Supposons que l'on se donne le plan E, par rapport auquel on prend les moments du second degré, et la direction des ordonnées y, dont le caiTé doit multiplier chaque force P. Si on prend arbitrairement la direction des forces P, la direction du plan de projection S, dans lequel on doit construire le polygone funiculaire, se trouvera par là déterminée, car ce plan est parallèle h la fois à P et à !l. inversement, on peut choisir arbitrairement la position du plan S, et les forces P devront être prises parallèles à l'intersection des plans S el B. Gela posé, si l'on construit dans le plan S un polygone des forces avec une distance polaire H, et ensuite un polygone funiculaire, les côtés de ce polygone funiculaire interceptent sur l'intersection (ES) des segments qui, multipliés par H, sont égaux à P^. Eu désignant par/) la somme de ces segments, c'est-à-dire la longueur interceptée sur (ES) entre les côtés eitrômes du polygone funiculaire, on aura :

Ce que nous venons de dire n'est que la répétition du procédé indiqué au n* 38 (p. 199). Nous pouvons continuer de la môme manière.

Considérant les longueurs/* comme des forces, construisons avec ces longueurs un second polygone des forces, dont la dislance polaire mesurée parallèlement à y soit h, et avec ce polygone un second polygone funiculaire. Les dilférents segments interceptés sur la droite (ES) par le premier polygone remplaceront complètement tes forces P dans l'équation précédente, et les segments du second polygone, multipliés par A

Pu* seront égaux aux segments du premier multipliés par y, soit ii -— . Désignons par p^ leur somme, c'est-à-dire le segment de la ligne (ES) intercepté par les côtés extrêmes du second polygone funiculaire; nous aurons :

p,hH = Zy'P.

Chaque terme de la somme se composant du produit d'une force i);u' deux dimensions linéaires, on devra, d'après le n' 49 (p. 174), mesurer Tune quelconque des trois longueurs/),, h, H sur l'échelle des forces, et les deux autres sur l'échelle des longueurs.