MOMENTS D*ORDRE SUPÉRIEUR EN GÉNÉRAL

Souvent on exprime 2y^P au moyen du produit de £? par le carré d'une longueur k. Pour obtenir la valeur de k^ on n*a qu'à prendre une des deux longueurs A et H égale à 2P; A: est alors évidemment égal à

v(p,A, car on a :

Si, au lieu d'exécuter, par rapport à un plan E, avec une direction y, la deuxième opération indiquée ci -dessus et consistant à traiter les yP comme on a traité les P, on exécute cette opération par rapport à un autre plan E avec une direction z, on obtient, au lieu de £y*P,

En répétant de la même manière cette opération dans l'espace au moyen du polygone funiculaire , comme nous l'avons montré au n* 58 (p. 499), on peut former d'une manière générale l'expression

Nous avons suppo.sé jusqu'à présent que la direction des forces P était constante, et que les différents plans E, E^ ..., à partir desquels on mesure les y, z, étaient aussi constants. Mais cette condition ne s'impose nullement pour la construction : on peut, si le problème à résoudre l'exige, par exemple quand les P représentent des masses de différentes grandeurs, qui doivent suivre dans toutes les directions les forces agissant sur elles, changer la direction des forces P, en même temps que la position du plan E, qui doit d'ailleurs être toujours parallèle à P.

Lorsqu'on détermine des moments d'ordre supérieur, on peut remplacer le tracé du dernier polygone par une transformation de surface du polygone précédent, transformation pour laquelle on peut utiliser le planimètre, car la surface limitée par le polygone funiculaire, par les côtés extrêmes de ce polygone et par une parallèle aux forces, est proportionnelle au moment d'ordre suivant. Décomposons en effet cette surface, que nous désignerons, pour simplifier, par l'expression de surface de nwmenly en triangles ayant pour côtés deux côtés consécutifs du polygone et le troisième côté sur la parallèle aux forces (voir fig. 24, p. 21) ; la surface du premier triangle sera

gC^»— ^,)-(^n — ^l) jj- = 2(^n — ^l)' -g^-

Ainsi, pendant que les deux premiers côtés consécutifs du polygone fu-

AP

niculaire interceptent sur la verticale de droite, le moment {x^ — ^ililH

370 HOMCNTS IIF.S FOnCRS P*n*U.ËLES.

la surface du triangle r^ompris entre ces deux côtés est égale â la moiW (lu moment d'ordre suivant. La somme de tous les triangles sera pai suite égale £t la demi-somme des moments d'ordre suivants de ton! les àP.

Poncelet a déjà eu l'idée de déterminer les moments par des surfaces; mais le procédé qu'il a employé n'est plus en harmonie avec l'état actuel des méthodes graphiques. Le tracé d'un nouveau polygone funiculaire est pins rapide et plus général que la transformation des surfaces, et, si on veut employer un planimètre, il est préférable de recourir au plauimétre des moments, que nous décrirons plus loin , au n" ) 14. Cet insirument n'exige en effet aucun dessin.

au. VAKUTIOS nES MOMENTS n'iHEBTlK POUH DHS nfePIACKHEHTS PARALLÈLE!

DES pr.ABS coonnoNNfis

nLs du second degré ou momenls d'inertie ont une importance spéciale. Nous les appellerons moments d'inertie, même quand les distances des points d'application des dilférenles forces ne sont pas mesurées par rapport à un axe, mais par rapport à un plan parallèle à li direction des forces. Nous allons indiquer quelques propriétés de ce: moments.

La recherche des moments d'inertie serait très compliquée si on voulait déterminer ces moments pour un systtme ponctuel quelconqui dans l'espace, dont chaque point serait considéré comme le point d'ap plicalion d'une force paralJtle. Mais, dans la pr.itique, celte recherchi se simplilie beaucoup, quand on peut disposer de la position et de la di rection des axes, par exemple quand on peut choisir des axes de symé trie. Pour pouvoir opérer ainsi, il faut que l'on sache passer, des mo ments déterminés par rapports h ces axes particuliers, aux moment; pour un système d'axes quelconques. Dans ce numéro, nous nous hor nerons à étudier les variations des moments d'inertie pour des déplace' menis parallèles des axes; plus tard, nous étudierons aussi ces change' menls, pour des rotations des axes autour de l'origine.

Soient 3^1 , y, les coordonnées de la nouvelle origine, {x y), [x y'] les coordonnées du point d'application d'une forme quelconque 4P parrap port aux deux systèmes d'axes. On aura ;

x=x +x,, !/ = !/■ + .'/,, ri

Sti/aP = Sj-'v'iP + .r,£y AP -j- yfiraP-j-T,!/,]'

en posant Ï4p = P.

VARIATION DES MOMENTS d'INRRTIE POUR DES DÉPLAC£|PENTS PARALLÈLES. 371

Cette expression se simplifie, quand la nouvelle origine coïncide avec le centre de gravité du système, car, dans ce cas, S^/AP et £^'aP sont nuls, et, si on désigne par GjP le moment Sx'yAP par rapport au centre de gravité, on obtient :

Cette équation donne aussi la valeur de C^P, quand le moment lay^V et les coordonnées x, y, de l'origine sont connus.

On peut traduire cette équation en langage ordinaire en disant :

La différence entre le moment du second degrés par rapport à des axes quelconques et le moment du second degrés par rapport à des axes parallèles passant par le centre de gravité, est égale au produit des coordonnées du centre de gravité et de la somme de toutes les forces.

Il est d'usage de représenter les moments quadratiques par la racine carrée de ces moments, préalablement divisés par la somme des forces. Cette manière d'opérer est souvent avantageuse, comme nous le verrons dans le numéro suivant. On pose pour cela :

Sx^aP =. a'P, Ixy^P = CP , ïy*ûP = é»P, Ix «aP =k'P , SxyAPrzzGjP, 2:y'*AP=A'P.

En adoptant ces notations, l'équation à laquelle nous sommes parvenus plus haut, se réduit à la forme simple:

Kn faisant x^ = y, , ou y^ •= x, , on a aussi :

et

On a souvent à'composer des groupes entiers de A?. Nous pouvons effectuer cette opération en tenant compte des résultats précédents. Désignons par ar^y, les ordonnées du centre de gravité du groupe i, par P, la somme des AP^et enfin affectons de l'indice i les A, C, h correspondants à ce groupe. Nous aurons, en effectuant la sommation par groupes :

Ez« AP = a*P = S(a:,* + Â:<*)Pi SxyAP=CP = S(x,y, + G,)P, Sy« AP = 6»P = S(y.» + A,«)P,.

Nous devons enfin déterminer les moments par rapport au centre de gravité de l'ensemble des diff'érents groupes. Désignons par x^ y, les coordonnées de ce centre de gravité, et les moments correspondant# par

372 MOHENTS DES rORCES PARitl.LËI.ES.

d'.P, C,P el 6',P. Nous aurons pour l'expression de ce second momenl, en ayant égard aux relations précédentes :

= 2C,P, + ^ [(S^c.y.P,) (SP,) - (Sx.PJISy.P.)].

En effectuant les opérations indiquées, on voit que tous les produits qui ont les mômes indices, c'est-à-dire qui sont de la forme x,y^P,', se détruisent réciproquement Quant aux produits qui ont des indices différents I et k, le coefficient de P^Pj est :

On a par suite :

On peut aussi mettre cette équation sous la forme suivante, qui est cependant moins simple :

CP = i |SC,P,' + S[C+0, + (1,-1.»,- .V,)1P,P. j .

En disant coïncider les deux axes des x et des y, comme précédemment, on obtient les valeurs de (j%P et de iVP, savoir :

a\P =SA;.'p,. -f 1 2(37, — 3r»)'P,P.

= ^ isVP.' + ï:[A-,'-|-AV + (3r,- x,r|P,P.f , C,P = C,P, + ^ 2(:c. X,) {y.- y.)P,-P,

= ^|sC,P', + S(G,+ C, + (x.-a;.)(y*~yOlP.PW.

= 1 l2ft.»p,' + 2[V-i-V-l-(i/,-yJ']P,P.(.

Dans ces expressions, lorsqu'il n'y a qu'un seul indice, le signe S s'étend à tous les groupes, tandis que, lorsqu'il y a deux indices t e\ k.

le signe 2 s'étend aux - « (n — t) combinaisons possibles de deux indice* différents.

ELLIPSE D*UfBRTl£. 373

Quand SA<*P< peut être négligé, le moment d'inertie a^P se réduit à la somme

Si Ton n'a que deux groupes P, et P„ l'expression devient, à cause deP=P, + P, :

où d représente la distance des centres de gravité) des deux groupes. Enfin, en réduisant le moment à la distance d, on obtient la résultante

Toir n* 2 (p. 12).