ELLIPSE d'inertie

Après avoir étudié les variations que subissent les moments de second ordre pour des déplacements parallèles des axes, nous allons étudier ces changements pour des rotations autour de l'origine.

Cherchons d'abord à exprimer le moment Sy'AP = A'P, par rapport à un axe q passant par l'origine, au moyen des moments Sx'AP =a*P, IxyAPs CP etI!^*AP=6'P. Gela fait, nous mènerons, de part et d'autre de l'origine , des parallèles à l'axe y à une distance A, mesurée suivant la direction des nouvelles coordonnées ;, et nous chercherons l'enveloppe de toutes ces parallèles lorsque l'axe q tourne autour de l'origine.

Avant tout, nous ferons remarquer que la position de ces parallèles est indépendante de la direction suivant laquelle on mesure les coordonnées q. Si en effet on change cette direction, les deux membres de Tégalité Sy'AP = A'P sont multipliés par le même facteur, et l'égalité n'est pas modifiée.

Nous pouvons par suite mesurer les distances des points d'application des forces élémentaires AP à l'axe ;, c'est-à-dire les coordonnées ;, suivant une direction quelconque. Si nous supposons que l'axe q soit l'axe des X déplacé autour de l'origine, nous conserverons l'axe des y fixe, et nous aurons simplement :

Tli UOHEKTS DES rORCES

T i^lant le coefficient angulaire de l'axe g [ftij. 166). En substituant cptle valeur de y dans Ey'AP. on obtient :

Sç'AP = i'ïa:'4p — itSa-yAR + ïy'Ap U

Pour construire cette valeur de h, meauus des parallèles aux axesde*

,1- et des y aux distances ± u el ± 6 ; l'axe des x et l'axe q intercepLenl sur les'^ parallèles à Taxe des y la longueur ot. Portons sur ces même-

parallèles, à partir do l'axe des x, une longueur - , et élevons à l'extrémité de cette longueur une perpendiculaire à l'axe des y. En décrivanl. du point x = a, y = o comme centre, avec b comme rayon, une denjicirconférence, cette demi-circonférence interceptera sur la perpcn

diculaire la longueur

sj-^

. La distance de l'extrémité de veUr

perpendiculaire, au point d'intersection de l'axe </ avec la droite j: = a. est égale h h. Nous rabattons cette longueur h mi x=^a, au muycii d'une demi-circonférence, et, par les deux points ainsi obtenus, nous menons les parallèles à q, dont nous voulons chercher l'enveloppe.

Cette enveloppe est une ellipse, appelée ellipse rf'i'nwde; elle a pour centre l'origine 0, est tangente aux parallèles x^±a, aux poinl»

y = ± - . et par suite aux parallèles y = ± 6, aux points r = zt j- . e1

ELLIPSE d'inertie. 375

coupe les axes des x et des y aux points y = \l à* j- et jr= W a* — — .

Ces conditions sont plus que suffisantes pour déterminer Tellipse.

En effet, les différents couples de tangentes parallèles déterminent sur la tangente j: = a une involution de points, dont le centre est au

point de contact y = - de cette tangente, et dont la puissance est égale

G* au carré du diamère conjugué 6' ^ . Or, comme le diamètre parallèle

aux tangentes considérées coïncide avec q, il en résulte que ces tangentes enveloppent une ellipse, satisfaisant aux conditions indiquées plus haut.

Le produit des coordonnées des points de contact sur les parallèles

x = zta et y = dié est égal à6.r=a.- = C. Gomme d'ailleurs