ELLIPSOÏDE D*INERTIE ET ELLIPSOÏDE CENTRAL

à ces deux droiles sont conjugués, et il en est de même des diamètres parallèles de toutes les ellipses d'inertie, dont les centres sont situés sur un de ces diamètre^s de Tellipse centrale.

Si toutes les forces peuvent être groupées, de telle façon que les centres des ellipses centrales de chaque groupe isolé, soient situés sur une même droite et que les diamètres conjugués à cette droite dans toutes les ellipses soient parallèles, le diamètre parallèle à cette direction dans Tellipse centrale de tous les systèmes est conjugué à la ligne des centres.

Tout ce que nous venons de dire s'applique naturellement aussi au cas^ où les diamètres conjugués sont perpendiculaires les uns aux autres et sont par suite des axes principaux du système.

i02. ELLIPSOÏDE d'inertie ET ELLIPSOÏDE CENTRAL

Gomme JlxyàP ne contient que le produit de deux coordonnées, on peut étendre immédiatement à l'espace les résultats que nous venons d'obtenir. Si l'on projette parallèlement à l'axe des z sur le plan xy, les points d'application de tous les aP, on pourra construire dans ce plan une ellipse centrale et des ellipses d'inertie quelconques. Si l'on considère toutes ces courbes comme les directrices de surfaces cylindriques, ayant pour génératrices des parallèles à'I'axe des z, on pourra appliquer à l'espace ce que nous avons dit dans les trois numéros précédents au sujet des moments 2a:yAP (expression dans laquelle on peut supposer X = y), en remplaçant les ellipses par les cylindres dont nous venons de parler. Comme nous n'avons fait aucune hypothèse spéciale au sujet de la position et de la direction des plans xz eiyXj nous pouvons énoncer d'une manière générale la proposition suivante : Si l'on forme, par rapport à tous les plans d'un faisceau de premier ordre, les S/>*aP, et si Ton mène deux plans parallèles à chaque plan du faisceau aux distances

±l/^2l/>*Ap, tous ces plans enveloppent un cylindre elliptique, dont

Taxe coïncide avec celui du faisceau de plans. Si l'on détermine les deux génératrices situées dans le plan diamétral qui est conjugué au plan par rapport auquel les p sont mesurés, YlpqiP sera égal au produit p^q^ des distances de ces génératrices aux plans p et q, multiplié par P. Si l'intersection des deux plans décrit un Yaisceau dans le plan des xy, autour de l'origine des coordonnées, toutes ces surfaces cylindriques ont deux plans tangents communs, savoir ceux qui sont parallèles au plan des ^cy.' De plus, chacun de ces cylindres a deux plans tangents

c le premier cylindre qui a pour ase Taxe «les ;. Par suilt. toutes ces surfaces cylindriques enveloppent on ellipsoïde. Si, parmi leplans qui passent par les axes des cylindres, on en choisit un quelconque ;>, et si l'on détermine la génératrice située dans le plan diamétral conjugué a ce plan, cette géDératrice sera tangente à l'ellipsoïde à l'extrémité du diamètre qui est conjugué h ce même plan dans l'ellipsoïde. Si l'on prend un second plan quelconque à partir duquel on mesurera les ç. S/i^iP sera égal .'i P fois le produit p,ifi des disUnc«.« à nés mi^mes plans de l'nne des extrémités du diamètre, qui est conjnjEin' il l'un de ces planii'.

Si l'un des plans contient le diamètre ronjugué à l'autre, l'une de,deux distances p,q, csl nulle, et par suite on a S/wyiP = 0. De cette manière on peut, au moyen de l'ellipsoïde d'inertie, déterminer les moments S/jyaP par rapport à deux plans quelconques passant par lorigine.

L'ellipsoïde d'inertie relatif au centre de gravité s'appelle ellipsoïde cent]'a!. Si cet ellipsoïde est donné, il est facile do passer, de deus plans contenant le centre de gravité, à deux plans parallèles passant par un point quelconque. Les formules du n" !I9 s'appliquent, sans aucune modilication, à cette transformation, et il en est de mi'me des résultats que nous en avons déduits au n" 101. Il nous parait Inutile de répéter ces formules; par contre, nous croyons utile d'i^noncer les résultats auxquels on arrive, en les étendant aux Hgnres de l'espace et en y opérant les modiUcalions nécessaires. Par analogie avec ce qui précède. nous entendrons par antipôle d'un plan, le pôle du plan symétrique du premier, par rapport au centre de l'ellipsoïde.

/^ mnmenl SsyiP d'un si/siéme de ùP par rapport à deux plans quflront/ues X7. et yz es/ égal A P fois le produit de la dislance X^ du rentre a\gravité à l'un de ces plans par la dislance y^ de l'antipi'ile de re plan à l'atiiv plan; en d'autres termes, on a SxyaP ^ s^y^P, e( = Xpy,P, en désignant par y, la distante du rentre de grat'ilé au plan des xz et par Xp relie de fatitipôle de re plan au plan des. yz. Cette somme esl égale ô 0 pour des dianù-- Ires conjugués.

On obtient également Sx'aP et SxyiP, en supposant une force - P concentrée à chaque extrémité du diamètre qui est conjugué au plan, à partir duquel les x sont mesurés.

L'elliptoîde central et un ellipsoïde d'inertie quelconque peuvent toujoun' être enveloppés par une surface ci/tindrique.

Les plans diamétraux conjugués au diamètre commun des deux ellipsoîde> sont jyarallèles et coupent les ellipsoïdes el les surfaces cylindi-iques suicani les deux ellipses de contact qui sont congruentes.

ELLIPSOÏDE d'inertie ET ELLIPSOÏDE CENTRAL. 3^3

La différence des carrés des longueurs du diamètre commun à V ellipsoïde d'inertie et à Fellipsoide central est égale au carré de la distance des centres des ellipsoïdes.

Le centre de gravité est à Vintérieur de tous les ellipsoïdes. Les AP ne peuvent être tous situés dans le même angle de deux plans diamétraux ^ conjugués dans un ellipsoïde d'inertie^ et, sur deux de ces plans, il y en a au moins un qui coupe T ellipsoïde central.

Nous entendons ici par plans diamétraux conjugués deux plans tels que chacun d'eux passe par le diamètre conjugué à l'autre plan.

Si Ton suppose que le centre 0 coïncide d'abord avec le centre de gravité S et s'en éloigne ensuite, suivant une direction quelconque SO, l'ellipse conjuguée à cette direction se meut avec lui ; deux diamètres conjugués quelconques de cette ellipse restent parallèles, conjugués entre eux et ne changent pas de grandeur; le diamètre situé suivant la direction OS est le seul qui varie ; la longueur de ce diamètre doit toujours être égale à ^x* + *'•

Bien que ce diamètre aille toujours en grandissant, son extrémité se rapproche de plus en plus du centre de gravité S, car ^jr/-f-*' — x^ diminue lorsque Xc croît.

Les plans tangents aux extrémités de ce diamètre coupent le cylindre qui enveloppe toutes ces ellipses parallèles, suivant une ellipse, qui appartient à la fois à la série des ellipses qui ne changent pas de grandeur et à la série des ellipses qui engendrent le cylindre. Si l'on projette cette ellipse du centre de l'ellipsoïde, l'angle solide que l'on forme ainsi renferme toujours l'un des diamètres de tous les groupes possibles de trois diamètres conjugués; deux de ces diamètres peuvent même être situés sur la surface conique qui enveloppe cet angle solide; comme cette surface conique coupe l'ellipsoïde central, suivant deux ellipses semblables et le pénètre entièrement, il en résulte que, sur trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde d'inertie, il y en a toujours au moins un qui rencontre l'ellipsoïde central.

Si trois diamètres conjugués doivent être déterminés par la condition r[ue l'un passe par le centre de gravité, centre de l'ellipsoïde central, et que les deux autres soient situés dans un plan donné, le premier de ces diamètres est le diamètre conjugué dans l'ellipsoïtle central à la direction du plan donné, et les deux autres sont parallèles à deux diamètres conjugués dans ce plan.

Si les forces aP peuvent être groupées, de telle manière que tous les points d'application d'un même groupe soient en ligne droite, que loutes ces lignes droites soient parallèles, et qu'enfln les points d'application des résultantes de chaque groupe soient situés dans un même

plan, la directiun des parallèles et la position de ce plan sont conju^éei dans tous les ettipsoïties d'inertie, dnnt les centres sont situés sur une parallèle aux droites de direction constante, contenant les points d'application et menée par le centre de gravité de tout le système. Il suffit de démontrer cette propriété pour l'ellipsoïde central, car, d'après ce qui a été dit plus haut, il en sera de mËmc pour tout ellipsoïde dont le cenlw est situé sur la parallèle dont nous venons de parler.

Prenons pour plan des xy le plan dans lequel sont situés les points d'application des résultantes de chaque groupe, et pour ase des z celle paralU-le menée par le centre de gravité \ x ci y seront constants pour toutes les forces d'un mBme groupe. En outre, dans chaque groupe, SïP est égal à 0, puisque, par hypothèse, le point d'application de la résultante est situé dans le plan des xy: par suite, SriP et Sy=P sont nuls pour un même groupe, et par conséquent aussi pour l'ensemble du système. 11 en résulte, d'après ce qui a été dit plus haut, que l'ordonnéee :. commune à ces deux sommes, est conjuguée au pl^n des xy.

Si toutes les forces peuvent être groupées de telle manière, que les points d'application d'un même groupe soient situés dans un même plan ayant une direction constante, et que les points d'application des résultantes de chaque groupe soient situés sur une même droite, cette droite est, dans l'ellipsoïde central, le diamètre conjugué à la direction des plans parallèles. Si, en effet, on choisit cette ligne comme axe des:, et si l'on prend pour plan des xy un plan parallèle à la direction des plans parallèles, on a, par hypothèse, pour chaque groupe, SarP et SyP = 0: par suite, l'axe des ;, qui passe également par le centre de,gravité fn* 59, p. 200], est dans l'ellipsoïde central le diamètre conjugué à la direction du plan des xy.

Enlin, si les forces peuvent 6tre groupées, de telle manière que les centres des ellipsoïdes centraux de tous les groupes soient situés sur une même droite, et que les diamètres parallèles à deux diamètres conjugués à cette droite dans l'un des groupes soient aussi conjugués dans les autres groupes, les deux diamètres parallèles à ceux-ci, dans l'ellipsoïde central de tout le système, seront aussi conjugués par rapport à la droite qui réunit les centres. Celle proposition se démontre comme la précédente.

Tout ce que nous venons de dire est général, quelles que soient la position et la direction des plans et des lignes dont il a été question; par suite, les diverses propositions que nous venons d'énoncer s'apphquent encore lorsque ces plans et ces lignes sont perpendiculaires les uns aux autres. Les trois diamètres rectangulaires de l'ellipsoïde d'inertie s'appellent les axes principaux. Les directions des axes principaux de