ELLIPSOÏDE D'INEKTIE ET ELLIPSOÏDE CENTRAL

l'ellipsoïde central sont conjugués dans chaque ellipsoïde, dont le centre est situé sur Tun des axes principaux.

Si les forces peuvent êtie groupées deux à deux, de telle façon que les lignes qui réunissent leurs points d'application soient perpendiculaires à un plan donné, et que le point d'application de leur résultante soit situé dans ce plan, la perpendiculaire à ce plan, passant par le centre de gravité, est un axe principal du système.

Si les forces peuvent être groupées de telle façon, que les points d'application de toutes les forces appartenant à un même groupe, soient situés dans des plans normaux à une même droite, contenant également les points d'application de la résultante de chaque groupe, cette droite est un axe principal de l'ellipsoïde central.

Enfin, si les forces peuvent être groupées de telle façon, que la ligne qui réunit les centres soit un axe principal, dans les ellipsoïdes centraux de tous les groupes, elle est également un axe principal de l'ellipsoïde central de tout le système ; si les deux autres axes principaux sont respectivement parallèles dans tous les ellipsoïdes partiels, ceux de l'ellipsoïde leur sont également parallèles.

Les théorèmes énoncés en dernier lieu se réduisent aux suivants, quand les point» d'application de tous les AP sont dans un même plan d'ellipsoïde d'inertie et l'ellipsoïde central étant alors remplacés par des ellipses).

Si toutes les forces aP peuvent être groupées de telle façon, que les centres de gravité de tous les groupes soient situés sur une même droite et que les diamètres conjugués à cette droite, considérée comme diamètre commun de tous les groupes, soient parallèles, le diamètre conjugué de ce diamètre commun, dans l'ellipse centrale, sera aussi parallèle aux premiers, et il en sera de même dans toutes les ellipses d'inertie dont les centres sont situés soit sur le diamètre commun, soit sur le diamètre conjugué à ce diamètre commun dans l'ellipse centrale.

Dans le cas particulier où toutes les forces aP peuvent être groupées deux à deux, de telle façon que les droites joignant les points d'application des forces soient parallèles et que les points d*application des résultantes de chaque groupe, soient situés sur une môme droite, les diamètres parallèles à ces droites sont conjugués dans toutes les ellipses d'inertie, dont les centres sont situés sur l'une des deux parallèles passant par le centre de gravité. Rien n'est changé dans ces propositions, quand les deux directions sont normales entre elles ; les diamètres conjugués sont alors les axes.

8W MOHRKTS DES FORCES PAnALLËLES.

103. SYSTÈME ne pohces parallèles, mut les intensités sort phopoi-

TIONNËLLES AUX DlSTAnCGS DE LEURS fOINXS d' APPLICATION A UN FLAN

Nous nous proposons d'appliquer les théories que nous venons de développer au système de forces défini dans le titre de ce paragraphe.

Soient iP des conslanles, qu'il suffira de multiplier par les distances respectives des points d'application à un plan, mesurées suivant une direction quelconque, pour qu'on puisse los considérer comme des forces. 11 est clair que la résultante de tout le système est égale su moment de ces constantes, considérées comme des forces, par rapport au plan donné. Par suite, si l'on détermine le centre de gravité de ces constantes, d'après la mélhode du n' 97, p. 363, l'intensité de la résultante du système sera égale à x,P, x, étant la distance de ce centre de gravité au plan donné Ë, mesurée suivant la direction donnée. La direction des forces est d'ailleurs arbitraire, mais doit rester la même poor toutes les forces.

Pour déterminer le point d'application de la résultante, supposons ce point d'application relié au centre do gravité des iP, centre que nou? venons de déterminer. Prenons la droite qui réunit' ces deux points comme axe des z. et le plan donné Ë comme plan des ary. L'intensité de chaque force est proportionnelle au produit :4P, alors môme que i n'est pas parallèle à la distance qui détermine l'intensité de chaque force. Gomme le point d'application de la résultante est situé par hypothèse sur l'axe des :, et par suite tout à la fois dans les plans xz et y;, 2y.:JP et Sr.ïAP seront nuls. Par suite, d'après le n* 102, p. 384, la direction des 3 est conjuguée, dans l'ellipsoïde d'inertie ayant son centre & l'origine des coordonnées, à la direction du plan E; elle est, par suite, complètement déterminée. Comme z passe par le centre de gra\ité, il en est de même dans l'ellipsoïde central.

Il nous reste à déterminer la position du point d'application sur le diamètre de l'ellipsoïde central, conjugué à la direction du plan Ë.

Comme le moment de la résultante est égal à la somme des moments de toutes les différentes forces par rapport au plan E, nous obtiendrons cette distance, en divisant cette somme des moments par la résultante.

La somme des moments est

2;'aP = 3. 3^P ;

en désignant, comme au n* 101 (p. 378), par i, et z^ les distances au plan Ë du centre de gravité et de l'antipôle de ce plan dans l'ellipsoïde central.

NOYAU d'un corps. 387

Nous supposons z^ et z^ mesurés suivant la direction des z.

Nous ne diminuons ainsi en rien la généralité de la proposition, puisque ces distances restent proportionnelles aux distances mesurées suivant des directions quelconques.

L'intensité de la résultante est représentée par

ïzAP = z;sp.

Par suite, la distance de son point d'application à l'origine des coordonnées est

c'est-à-dire égale à la distance du plan E à son antipôle, dans le système polaire dont l'ellipsoïde central est la surface directrice.

Par suite, nous pourrons dire :

Quand^ dans un système de forces parallèles^ agissant suivant une direc^ tion d'ailleurs quelconque^ chaque force isolée est égale au produit dune constante AP, par la distance de son point dapplication à un plan E, me* surée suivant une direction quelconque, et quand, traitant ces constantes comme des forces, on détermine leur centre de gravité et leur ellipsoïde central, V intensité de la résultante de ce système est égale à la somme P de toutes ces constantes, multipliée par la distance de leur centre de gravité au plan E, et son point d'application est Vantipôle du plan E dans le système polaire dont Vellipsoide central est la surface directrice.

Comme les moments statiques et les moments d'inertie ont pris la place des forces et des moments, nous pourrons également les composer par groupes, d'après les règles données dans les numéros précédents, au moyen des ellipsoïdes centraux des difTérents groupes.