Noyau d'un corps

Gomme nous n'avons fait aucune hypothèse sur le nombre et la grandeur des aP, nous pouvons supposer le nombre infini, et les aP eux-mêmes infiniment petits ; les propositions développées dans les numéros précédents seront encore exactes. Ces propositions peuvent donc s'appliquer immédiatement à des corps, dont les divers éléments sont soumis à des forces proportionnelles au produit du volume de chaque élément par sa distance au planE. On pourra déterminer l'ellipsoïde central, comme on a déterminé celui de la somme des aP.

Si, au lieu de supposer fixe le plan E des numéros précédents, on le

3SS HOMIIITS DU FOBCU PAULLtUS.

suppose variable, le point d'application de la résultante des forces se déplacera également, suivant les lois de la retalioD réciproque, dans le système aulipolaire ayant pour surface directiice lellipsoïde central des constantes P, et le point d'application restera toujours le pôle du plan symétrique à E.

Par suite, si le plan E décrit un le point d'application de la résul-

faisceau de plans de 1" ordre en tante décrira nne droite;

se mouvant autour d'une droite, Un faisceau de plans de 2* ordre, en une courbe plane da 1* degré ;

enveloppant une surEace coniqne, Utke gerbe de 1* ordre, en passant un plan;

totigourg par un point flie, Une gerbe de 3* ordre, en envelop- nne surface du 2* degré;

pant une surface du 2* degré.

Un corps quelconque, enveloppe la surface d'un solide auquel on

du plan E. donne le nom de noyau.

Lorsque le plan B esl situé en dehors d'an corps, le point d'application est situé à l'intérieur dn noyau de ce corps.

Nous allons essayer d'indiquer, par un exemple, quelle est la signîflcaUon de ce noyau.

Si nous supposons que les différents éléments d'un corps soient soumis à des forces attractives émanant d'un plan, et dont l'intensité soit proportionnelle à la dislance de chaque élément à ce plan; si nous supposons, en outre, que les plans atlractifs ne puissent jamais pénétrer dans l'intérieur du corps, mais qu'ils puissent simplement être tangents à ce corps, le noyau sera le lieu de toutes les positions du centre des forces attractives, et ce centre ne pourra pas sortir du noyau.

Dans la suite de cet ouvrage, nous aurons très rarement à considérer un système de forces dont les points d'application sont dispersés dans l'espace, mais nous considérerons ordinairement des systèmes de forces dont les points d'application se trouvent tous dans un même plan. De même que nous avons supposé plus haut que les éléments d'un corp= étaient soumis à des forces proportionnelles ù leurs dislances à un plan E, nous pouvons également considérer les éléments d'une surface comme soumis à des forces proportionnelles à leurs dislances à un axe situé dans le plan. C'est le cas, par exemple, des tensions des fibres de la seclion d'une poutre chargée, car ces tensions sont proportionnelles aui distances h la libre neutre. Nous terminerons en appliquant ce que nous venons de dire au plan et en particulier à l'exemple dont nous venons de parler.

FORCES AGISSANT SUR LES DIFFÉRENTS ÉLÉMENTS D'uNE SECTION PLANE. 389

105. Système de forces parallèles agissant sur les différents éléments d'une section plane, et dont l'intensité est proportionnelle a la distance de ces éléments a un axe neutre. Notau de la section.

Pour pouvoir appliquer plus tard les résultats que nous venons de trouver à la résistance des poutres, nous allons donner dès à présent les indications générales nécessaires à la détermination de cette résistance. Toutes les fois que cela sera possible, nous prendrons Taxe de la poutre comme axe des x; par suite, cet axe se trouvera tout entier dans le plan des xy. Les ordonnées y eiz nous serviront à la détermination de la section. Nous placerons l'origine des coordonnées au centre de gravité, nous prendrons comme axe des z la parallèle à la fibre neutre, et comme axe des y le diamètre conjugué à Taxe des z dans l'ellipse centrale. Soient y^ l'ordonnée de la fibre neutre, et p la réaction d'un élément de surface aF dont l'ordonnée y est égale à c. La réaction de la fibre dont

la distance à l'axe neutre est égale à y„ + y sera égale à T P^^i

puisque les réactions des différentes fibres sont entre elles dans le rapport de leurs distances à l'axe neutre.

La réaction totale est par suite égale à

Q=yydJipAP==-%-pAF.

^Vn+C^ yn + c\

Remarquons que la réaction de la fibre du centre de gravité est égale à

Par suite, on peut dire : la réaction de la fibre qui passe par le centre de gravité^ et qui est parallèle à Faxe neutre, est la même que si la réaction iotaie Q était uniformément répartie suivant toute ua section. Le moment des réactions par rapport à Taxe des z est égal à

£i=yy.?^L4:ipAF==-VpF

ifc'F est comme au n* 99 (p. 371), le moment d'inertie de la surface par rapport à l'axe des z, qui passe par le centre de gravité. En divisant le montent par la force, nous obtiendrons l'ordonnée du

"cfi

point d'application de celte Torce par suite

Le moment V ; ■ — ■ piF des réactions par rapport à l'axe des y est

égal k zéro, puisque nous avons admis que cet axe passe par le centre de gravité, ce qui donne £;iP = 0, et qu'il est conjugué à l'axo dos z, d'où il suit que XyziF '= 0. Le point d'application est par suite situé sur l'aie des y, c'esl^à-dire sur le diamètre conjugué à l'axe neutre. Comme l'ordonnée y, de cet axe est aussi celle de l'anllpôlc, il en résuUe que le point d'application de la rénctiun est l'antipôle de l'axe neutre jiar rapport A Cellipse centrale de la section. Par suite cette réaction est complètement déterminée.

Fréquemment, la réacLion et son point d'application sont donnés, et il s'agit de déterminer la tension maximadanstaDbrec. On déduit d'abord,

du point d'application donné, l'ordonnée de la fibre neutre y^= —, et ensuite de la preArière des relations développées plus haut

Si l'on pose c^y^, p est é

la droite symétrique de taxe neutre par rapport au centre de gravite est le double de celle de la fibre guipasse par le centre de gravité.

Si y, = 0, y^ devient c», et p est constant et égal à ■=. Par suite, siQ a

son point d'application au centre de gravité, ou ce qui est la même chose, si l'axe neutre coïncide avec la droite à V infini, la réaction totale Q es( uniformément répartie sur toute la section.

Si y, = c^^, y=0, c'est-à-dire si Q est égal à 0 ou à une force infiniment petite située à V infini, Caxe neutre passe par le centre de gravité; cet axe divise la section en deux parties, dont les moments statiques sont A— Q se réduit à un couple.

on dans la fibre c est égale à

istruit l'ellipse centrale pour chacune des deux portions di'