FORMULES DE L*ELUPSOÎDE D*INERTIE

L*éqiiation.ie réduit à

oa

- !«<«'< AP = a«a'e + «c«'«i,

en désignant par oc et ti'e les distances du centre de gravité du système aux deux plans ot et a', soit «k; = a:e^ + .Vevi -H zcC + !« ot de même pour a'e.

Ces équations ne changent pas si l'on permute les deux plans ; il en résulte que k et W ont respectivement les mêmes coefficients que E' et E'v|. Gomme d*ailleurs ces quantités n*interviennent qu*à la première puissance, on aura, en faisant ^ ^9 ^ 1 = ^'i W, Cl 1« les équations tangentielles d*une surface du second degré, c'est^-dire

- I(a, — eiM)*AP = otm',

Ck>n8idérons de plus près cette surfiice.

Si nous prenons un second plan a' parallèle à Çt)Ç1, et tel que +«« = — ««« c^estrà-dire si nous déplaçons le plan ^y^CI parallèlement à lui-même de manière que le centre m soit situé au milieu de la distance entre les deux plans, les coordonnées du second plan satisferont aux équations précédentes. Donc le centre des moments Xmy mZml est aussi le centre de la surface.

Cette surface est, comme le montre la deuxième équation, inscrite dans les deux cènes qui ont leurs sommets respectivement au centre des moments et au centre de gravité, et qui enveloppent la surface £a*tAP = 0. Si tous les aP sont de même signe, cette dernière équation ne peut être satisfaite par aucune valeur réelle de UCli et les deux cènes sont par suite imaginaires; le centre des moments et le centre de gravité sont alors situés à Tintérieur de la surface qui est un ellipsoïde. Cet ellipsoïde s'appelle ellipsoïde (Vinertie quand le centre m est arbitraire, et ellipsoïde central qviaxid il coïncide avec le centre de gravité. L-équation de rellipsoïde central est :

Uéquation d^un autre ellipsoïde ayant son centre au point Xnyninl est :

- x:a«<AP = 2«<?ot^.

En retranchant cette équation de celle de Pellipsoïde ayant pour centre le point m, on obtient Téquation d*une surface du second dogré, qui est tangente à tous les plans tangents communs aux deux ellipsoïdes. L^équation de cette surface

est :

Cette équation se décompose en deux autres ««=0 et om — flu = 0. La première représente le centre de gravité; la seconde, le point à Finâni de la droite qui Joint les points m et n , car Péquation om — «•» = 0 ne contient pas de terme constant Nous savions déjà que tous les ellipsoïdes dUnertie sont inscrits dans un même cène imaginaire ayant son sommet au centre de gravité. Kéquation on» — a^ = 0 nous permet de dire en outre : Deux ellipsoïdes d'inertie quelconques correspondants à un même système de forces constantes AP sont inscrits dans un cyUndi^e réel dont les yéné-m

M( lOMEHTS DBS PORCU PARALULM.

ralrùx» loiU paraltèlet à la Hgtu qui joint la centra da deux elUptoMu. CtKB-H m tt coupent ifue luivmt une teule courbe du teamd degré réelle.

Ce que aoua *eaoiis de dire l'Applique natnreUementA l'eUlpioïda centrml et à no antre ellipsoïde qaelconqoe.

Rerenons à U tomine ^AP. L'éqnation

^ UiaUàP = a»«'« + ■«■.■

peut Strù ref^ardée comme l'équation tangeotieUe de l'ellipsoïde d'ioertie, car od n'a iju'à remplacer dans cette équation Î'i/C'l par IrXi pour obtenir l'équationrie l'ellipsoïde. Par suite, ai l'on considère tes coordonnées 'i^l de l'un des plans oomrue des constantes, et les coordonnées de l'autre plan comme des variablei, cette équation représentera le pôle du plan E-p,tl.

Donc ; Le moment eerttri^gtàeforteiiP par rapport à deux platUtpaitanl par le ctHtn de relliptaide d'inertie, ttt égal & la tomme F de ca forcet, mutt^lUe par le produit lit la dittanee à l'un de» deux plani donné* d'an plan gaeleonque, mené parallUemenl à a pion, tt de la diitance à Vautre plan dorme du pôle de ce plan parallèle.

Ce dernier pl«n pouvant être prie i. nne distajice arbitraire de l'on àet plana donnas, on a le moyen de diviser le moment centrUnge par nne lonjnioar qoeloonquc. Si on le suppose tangent à l'ellipsoïde, le point de contact sera le pAle do ce plu. On peut donc dire :

Le momeiil cenirifuge est égal h V multiplié par le produit dns distances, pur rappori DtiT deux plans donnés, de Cuh dei pointu de eontatt des quatre plans tangents à CttUp' solde que Ton peut mener pariillélemetit à ees deux plans.

Si les deux plans donnés sont ùen plans conjugués de l'ellipsoïde, chacun de ou plans contient le pAle de tous les plana parallèles ft l'autre. Donc : Le moment centrifuge, par rapport A deux plans conjugués de Tctlipsoide, est mil,

Dsjia la plupart des csb, on se contante de construire l'ellipBoïdo central, et l'on a alors à déterminer le moment cenlvifugo par rapport a deux plans quelconques ne passant pan pfir le centre de l'ellipsoMe. Menons un plan tiiCl parallèle au premier (le tes plans et passant par le centre de gravité ; alors sc = 0, et l'équation du pille de ce plan par rapport à l'ellipsoïde d'inertie est :

Cette é(|uation est identique avec celle lie l'antipôle du premier plan par rapport à l'ellipsoïde central. V.n effet, l'équation générale du pflle d'un plan quelconqu.' 5t,i;i piii- rapport à l'ellipsoïde central est ;

Tour que cette équation représeote l'antipôle du premier plan, il faut prendre It,X,\ de (elle façon {[ue lo contre de gravité se trouve à ésalc distance de ce plan Çïiil et du premier. Un aura alors évidemment :

ce c|ui rend identiques les deu\ équations.

On peut donc dire : te moment centrifuge irurt système de forces AP pur rapjml « ffciLT plans quelconques est éf/ot à P Hiulti/ilié pm- le produit de la dislance du centre d' griicHK •'• Chu de ces plans et de la dislance, au second pimi. de fantiiuMe du premier par rapiiort à Vellipsoide central. Quand l'un des plfins passe par Pantip-'ile de l'autre, le tiiomenl centrifuge est nul.

FORMULES DE L'ELLIPSOÏDE d'INERTIE. 395

Il résulte en outre de la formule :

LCoi — Om) («'.• — «'•») AP = (Oc - «m) (a'c — a'm) P + £(<x. — «c) («'.• - «'c) AP

qui est identique avec celles du n* 99, p. 371, que ie moment centrifuge, par rapport à deux plans gtielconques, est égal à P multiplié par le produit des distances du centre de gravité à ces deux plans, plus le moment centrifuge du même système par rapport à deux plans parallèles aux premiers et menés par le centre de gravité.

Les propriétés démontrées subsistent quand les deux plans se confondent. Dans ce cas, SpgAP devient Zp'^àP et s'appelle moment d'inertie. Nous pouvons donc dire :

Le moment d'inertie d'un système de forces àP par rapport à un plan passant par le centre d'un ellipsoïde d'inertie est égal :

A P multiplié par le produit des distances au plan donné dun plan quelconque pa^ rallèle à ce plan et de son pôle par rapport à l'ellipsoïde dinertie;

Ou à P multiplié par le carré de la distance des deux plans tangents à feUipsoîde d'inertie parallèles au plan donné;

Ou àP multiplié par le produit des distances^ au plan donnée du centre de gravité et de Vantipôle de ce plan par rapport à Vellipsoide central;

Ou àP multiplié par la somme des carrés des distances du centre de gravité au plan donné et à un plan parallèle tangent à V ellipsoïde central.

Pour les applications pratiques, il est utile de développer les formules qui précèdent. Posons :

a» = i Sx* AP, A = p ZyiZilP, Xc = ^ Ix. AP, 6« = ^ Lyi« AP, B = 1 L2.X. AP, yc = p Sy* AP. c« = i £z,«AP, C = 4 tayiAP, zc = i J^ZiàP. L'équation tanfi^entielle, qui nous a servi de point de départ, sera alors :

(C — y«xc — ycx,ii)ïil'-f (6* — 2ytfym)ïiVH-(A — yw«c— .ycZmhC — ym>»

(B— Z«:Cc— Z«Xm)CÇ'+(A-.Z«yc — Zcym) ;V+(C« -2Zc2m)Ç^'— ZmC

— Xm V -- ym W — «m Ç'— 1

Si l'on veut déterminer le moment centrifuge du système par rapport à deux plans passant par le point Xm.v,ni«l, on calculera les valeurs des différents coetficients de l'équation précédente, et on substituera ces valeurs dans l'équation. Cela fait, on déterminera les cordonnées UU» ^'t^'^'I de deux plans parallèles aux plans donnés de façon à satisfaire à cette équation, et le moment cherché sera égal à P multiplié par le produit des distances du centre des moments à ces deux plans, c'est-à-dire, en mesurant les distances normalement :

(aîmÇ -1- ymTl 4- «mÇ 4- 1) (aVn$' -f ym V + -mC 4- 1) *-^ P.

pp

Si l'on fait XmymZml = XcycZcl, on obtient l'équation tangentielle de l'ellipsoïcid central, savoir :

(««-2x<rî) ÇÇ'+ (C -2xeyc)ÇTi4-(B -gxcrc)^;'- Xc$ 4- (C — 8ycZc)Ti5' 4- (6« - 2yc*) tqt)' 4- (A -2ycZc)TiC - ycXi 4- (B - 2zcxc)r,l' 4- (A - 2zcyc)W 4- (c* - 2zc«) CÇ' - Je ; -

— Xr Ç' — yc tï' ^ Zt ;'-!=;; 0.

396 MOUim DES rORGBS PlRALLiLU.

8i l'on Ireneporte l'oriRino îles coordonnéM an ceatra da grmTlU, on au* cgVcSel = 0, et l'équation de l'ellipuoïde d'ineilia deriant i

CïiE' + ft'tiV + Alt'— V-n + B«' + AW+<^W'-«.Ç-

Bnnn. si l'origine des coordonaées aat le oantre dea momaata, an doit bin i'hV~Ii>i = 0, et on obtient la rorme la pliu «Impie de l'eUipaoïde d'inertie :

a»Sî' + CSV + BEC +

B«'-f-«)i' + Ctl'=l.

Comme 2it|fBi=0, te momaot oeatrifuj^e aa rédolt alon atmplaaMDt A

Lai deux plans l-n^\, S'ii't'l. qui aervent k dAtemlDer le moment cantrifnffs, étant poraliaiea avi plana donnée, on oonnalt lea rapporta de laun coordonnéea, qni ■ont reapBctiTaraent proportioaaellea anx coordonnAea dea denx plana. Par anite, l'éqnatiOD tangenttella contlant denx indfitarminéea, at l'on pant prendra arbitrairement l'on dea danx plan;, par exemple (i|Cl. SntMtitnant alora, dana l'iqtiatioa, i la place de i'fiX', )VWH'> on obtient une équation du premier degré en X, d'ofa l'on déduit Acilement la valeur de X. A cbaqne nlanr de 'i-, oorrwpondcoit dani groupaa de coordonnéea aatiafaiaaDt k l'éqoatlon.

SI, au lieu d'un moment centrifuge on vent détarminer an moment d'ipertie, on aubstituedauB réquatioo à la place de Ît.C et E'ti'I;', X5 = Ti|', Tiïi = \T|', TJ;=H', et l'on obtient une équation ilu second degré en X, qui détermine la position d'nn plan tanjjent à l'ellipsoïde, dont la distance au plan donné fera connaître le moment d'inertie cherché.

Si l'on calcule de cette manière les coordonnées d'un plan tangent et qu'on les suhatitue dans l'une des équations tangentiellea, rérjuation ainsi obtenue représentera le point de contact, comme nous l'avons déjà fait remarquer.

Lorsqu'on veut se servir de ces équations pour construire un ellipsoïde, il convient de calculer les équations des pointa de contact des troia plana tangenta ygrallèles aux plans coordonnés. Ainsi, pour le plan tangent parallèle an plan >/:. i. et ; sont nuls, et î est donné par l'équation

(û' - Zjci-) E' - 2x^1 = l,

en désignant par Wi la valeur positive ou négative du radical. En substituant cette valeur, ainsi que celles de i| et ^ :^ 0, dans l'équation tangentiello générale, on obtient l'équation du point de contact, savoir ;

+ [|B - 3-„i. -Jrr:„l {x,„ + WJ- i„(n" - Zr<j-JH'

On obtient de la même manière l'étiuation du point de contact du plan tangent

FORMULES DE L*ELLIP80ÎDB D*INEIITIE.

pandlôle au plan zx, soit :

ymZe

ycxm)lym-h^y)

• «m (6« - 2yry«)];' + (y-H- W„)W„ = 0.

ou

w, = ±: v'*" -«ycy«i + ymK

Enân, pour le plan xy, on a l'équation

[ÇB-^ZmXe L(A— z«yc

ou

ZcXm) {Mm + W.) - 3^» (c« - 2ZeZm)W + (c« - 2ZeZm) W.Ç' +

zcym) (zm + W.) - y« (c« - 2«c *•)];' - («« + W.) W. = 0,

Ces trois équations des points de contact se simplifient fort pea pour Pellipsoïde central, et nous pouvons nous dispenser de les écrire de nouveau dans ce cas. Au contraire, elles se simplifient beaucoup pour l'ellipsoïde d'inertie dont le centre coïncide avec Torigine des coordonnées; elles deviennent en effet :

Le dernier terme de ces équations étant db 1, les coefficients de V VC* pris avec leurs signes ou changés de signes, sont les coordonnées des points de contact En coordonnées cartésiennes, Téquation générale de Tellipsoïde est la suivante :

ou bien

a» —2xcXm, C -

Xmye — Xcy», B -

Xm

\Ze

— XeZm,

— Xm,

C—ymXe — ycX^, 6« ^Zycy^n^ A —

ym

Ze

— yeZm^

B — ««Xc— ZcXt^t A— Xmyc— zcym^ c»

— 22cX«,

— Xm, — Vm,

a* c B XeX«x c 6* A ye ym y

B A c* Se z« z xc yc «c 1 1 1 XMy«ijr«il 0 0 X y z 10 1

Nous n*écrirons pas la forme particulière de cette équation pour Pellipsoïde central; on Tobtient en faisant XMy«iX«il = xeyc;^l. Biais nous écrirons la forme de l'équation pour Tellipsoïde dUnertie correspondant à Torigine, forme qui se simplifie beaucoup, et que Ton obtient en faisant XmymZm^O, savoir :

a«C B X C6«Ay B Ac«z X y 1 1

i07. FORMULES DE l'bLLIPSE D*INERTIE.

Si, au ]leu de considérer des systèmes dans l*espace, on considère des systèmes plans, le mode de démonstration du numéro précédent reste le même; on n*a qu'à remplacer les mots ellipsoïde et plan tangent par ellipse et tangente. Noos pouvons dès lors nous dispenser de répéter les propositions générales que nous avons démontrées pour Tespace ; nous nous bornerons à écrire les formules correspondantes au plan, et que Pon obtient en faisant C et x = 0.

Tous les moments dans le plan peuvent être représentés au moyen des cinq constantes suivantes :

L'équation tangentielle de Tellipse d'inertie correspondante à un centre de moments a?» y» 1 est

{C-^ymXc — yeXm) y\^ + (é« — 2yeymM — y«i'ï —

- «• Ç' — Vm —1 =0.

Si on détermine deux droites parallèles aux deux droites données et dont les coordonnées satisfassent à cette équation, le moment centrifuge par rapport aux deux droites données (qui passent par le point Xmyml) sera

{Xmi + Vm^ï + l){XmV + y« V + 1) ^ P.

pp L'équation de Tellipse centrale est

(«*- 2x8)U'4-C-2xcyc)eV-^c5 + (C - 2ycXc)-nl' + 6«- 2.y.2 )tiV - ycri

— xc l' — yc Ti' — 1 = 0.

Si l'on prend l'origine des coordonnées au centre de gravité du système, Téqua tion d'une ellipse d'inertie quelconque est :

a^ll' + C(^Yi' 4- U) + 6*^Ti' - xm{l + l') - ym(T| + Tl') = 1.

Enfin, l'équation tangentielle d'une ellipse d'inertie dont le centre coïncide avec l'origine des coordonnées est :

«nr-f C(ÇV + Ç'"n)-f 6V=1.

Si l'on détermine deux droites dont les coordonnées satisfassent à cette équation, le moment centrifuge par rapport à deux droites parallèles passant par l'orii^iae sera :