POLYGONES DE SOMliATION OU POLYGONES FUNICULAIRES

On est souvent conduit, notamment dans la statique, à multiplier Don seulement des lignes isolées (comme dans le chapitre précédent), mais toute une série de lignes par divers rapports qui sont quelquefois à construire eux-mêmes ; et, de plus, on est amené à sommer ces rapports ainsi que les produits formés. Lorsque la sommation de ces produits se Tait de manière que les triangles qui servent à former les produits se ^accèdent d'une manière continue, on obtient des polygones de somma-

210 DU (:au:i:i. <;raphiquk.

tion, aussi appelés polygones fnnienlaires à cause de leurs propriétés statiques. Ces polygones sont d'une très grande importance en statique graphique. Soit, par exenople, à former Texpression

dans laquelle les x, représentent des abscisses mesurées à partir d'un môme point dans une direction déterminée, les aP,, des charges isolées agissant verticalement, et les H, des coefficients de réduction arbitraires ou des efforts horizoulaux. Nous supposerons, pour le moment, que aP^ et H, sont donnés par des longueurs.

Portons sur «ne verticale, pg, 25, tous les aP à la suite des uns des autres, en tenant compte de leurs signes, de manière qu'on puisse mesurer sur cette ligne la somme d'un nombre quelconque de forces

sucessives, et la somme de toutes les forces P= ^aP,.

Par l'origine de aP^ menons une droile ayant un coefficient angulaire quelconque t^,.

Par le point i de cette droite dont l'abscisse est égal à H, et par l'extrémilé de aP^ , menons une droite que nous prolongerons jusqu'au point 2 qui îi pour abscisse 11,. La dislance verticale du pied de H, il l'origine de AP^ est H, toi; paï' suite, la distance de ce môme pied à l'extrémité de aP^ est H,xoi — AP, ; mais comme celte dislance est aussi égale à H,Xj,, il en résulte que le coefficient angulaire du deuxième rayon est déterminé par la relation

AP

fi, = toi —-g-.

Par l'extrémité de aP, et par le point 2, menons un troisième rayon ju^qu au point 3 dont la distance à la ligne P est égale à H^. En opérant cjmme précédemment, on obtiendra le coefficieul angulaire de ce troisième rayim par la relation

aP, aP, \\\

'^fS = '^lJ"~""^^^ = ''*Ol —

En continuant de la même manière on obtient le polygone des t dans lequel lo coefficient angulaire d'un quelconque des côtés e^t donné par > la relation

aP.

POLYGONES DE SOMMATION (»t' POLYGONES FUNICULAIRES.

On voit que le coefficient angulaire x^i pris arbitrairement, joue par rapport à > — -^ le rôle d'une constante d'intégration.

Fig. a:

Fig. îi.

Fig. 26.

Si nous menons par un point 0 (fig. 26) des parallèles aux divers côtés 1, 2, 3... de la fig, 25, ces parallèles détermineront sur la verticale dont la distance au point 0 est égale à Tunité les rapports

et ces rapports se trouveront sommés, sur la verticale que nous appelle^ rrjns la ligne des t, dans Tordre même suivant lequel les AP ont été portés >ar la verticale de la fig. 25.

En faisant varier la direction du premier c6té, en remplaçant pa exemple x^, par t ^^ (voir le tracé ponctué de la fig, 25), toute la figure s modifie ; mais par suite de la construction même, la ponctuelle P rest invariable, et tous les points extérieurs à P se déplacent sur des vertî cales. Les deux figures ont alors la ponctuelle P commune, ainsi que îe faisceaux des verticales; elles sont donc en affinité. Il résulte de la géo métrie de position, ainsi que de la construction elle-même, que, dan de pareils systèmes, les ponctuelles correspondantes, situées sur un même verticale, sont congruentes, car les rayons qui se coupent a point 4, par exemple, déterminent sur toutes les verticales des segment de même grandeur que ceux qui se coupent en 4', parce que 4 et 4' soi à la même distance de P; comme on peut répéter ce raisonnement pou deux rayons quelconques, la proposition que nous venons d'énoncer e découle. Il faut du reste qu*il en soit ainsi, car ces segments s'exprimer

par le rapport — -'- et par la position des verticales, et qu'ils sont com

plètement indépendants de t^,.

Tout ce qui vient d'être dit de la fig, 25 s'applique à la fig. 26, où 1 point 0 se déplace en 0'.

Revenons maintenant à la construction de l'expression

aP,

jL^^'W'

Portons sur l'axe des x les diverses abscisses par lesquelles il faut niull

plier les rapports — -* que nous venons de construire, en tenant compi

de leurs signes [fig, 24). Menons par les extrémités de chacune de c< abscisses des verticales, et partant d'un point quelconque^ relions c< verticales par des lignes menées parallèlement aux t des fig, 25 et 2( Nous mènerons par exemple entre 0 et 1 une parallèle à x^p entre 1 el une parallèle à t,,, et ainsi de suite. Les côtés du polygone ainsi formé, prolongés jusqu'à la verticale d

x^^ interceptent sur cette verticale les produits cherchés (x„ — x^ — !

car pour aP^ et x,, par exemple, on a, à cause de la similitude d(

aP figures, 1, x^—x^, [x^—x^] —^ dans la fig, 24, et 1, H,, AP^ dans 1

^n — ^i ^ [x^'-x,]\?,:YL, H, AP,