POLYGONES DE SOMMATION OD POLYGONES FUNICDLAIRES

Gomme cette relation est applicable à tous les autres AP^, on en con-

dut que les produits cherchés (x^ — x,) — - se trouvent sur les x^, avec

leurs signes et dans Tordre dans lequel les aP ont été portés les uns à la suite des autres dans la fig, 25. On peut donc déterminer sur la ligne x^ la somme d'un nombre quelconque des produits

Supposons c|ue les a:,, et par suite la position relative des aP, restent invariables, et par contre que les x^ varient, rien ne change dans le polygone de la fig. 24; seule la verticale x^ change de position. Si nous remplaçons, pour exprimer cette relation, en général x par j?^, on peut dire :

Deux rayons du polygone de sommation de la fig, 24 considéré comme faisceau interceptent sur les verticales x les sommes

AP

des AP. compris entre ces rayons.

Ce résultat ne changerait pas si l'on menait les côtés du polygone fig. 24) parallèlement aux côtés pointillés des fig, 25 et 26. Les sommes partielles dont il a été parlé ci-dessus sont en effet indépendantes de la valeur du x^^ choisi arbitrairement. En général, tout ce que nous avons dit des polygones des fig, 25 et 26 est encore applicable aux deux polygones de la fig, 24. Ils sont en affinité, et les segments qui se correspondent sur les verticales sont congruents. Cette propriété nous piermet de faire passer le polygone funiculaire par deux points déterminés. Supposons, par exemple, que le premier côté 01 doive passer par le point JT^^ et le dernier 67 par le point x^^. On construit le polygone en commençant au point a?^o» et prenant une première direction t^, quelconque. Si le dernier côté 67 ne passe pas par le point x^^,, il suffit de reculer tout le système de points obtenu sur la verticale x^, de manière que.le point qui suit 6 se place sur le point x^y^. Dans la fig. 24, on a indiqué ce déplacement sur la droite de la verticale x^. Gela fait, le premier côté 01 du polygone cherché passe par le point x^y^ et le point Oi de la verticale x^\ le second côté 12 passe par Tintersection de 01 avec x, et par le point 12 sur x,^, et ainsi de suite jusqu'au dernier côté.

On peut aussi, au lieu de la verticale ar„, se servir de la première verticale jc^. et la construction devient beaucoup plus simple. Le système de points sur x^ ne change pas de position et les côtés homologues des deux

polygones devront, par suite, se couper sur cette verticale. Le demie côté 67 est donc donné par le point x^^ et le point 67, que détermini sur^o le côté 67 du premier polygone. Les autres côtés se construisen de la même manière en rebroussant chemin. Dans la figure, la construc tion n'est indiquée, à cause du manque de place, que pour les côté 1,2,3,4.

Cherchons maintenant une expression algébrique qui nous donne h valeur d'une ordonnée y^. Nous désignerons la différence de deux coor données successives par ^i,i^\ et Ay,,,^.!. Nous leur mettons deux in dices, car il n'est pas possible de désigner d*une manière générale de: coordonnées successives par des indices consécutifs. La différence sen positive lorsque l'ordonnée du deuxième indice sera la plus grande.

On aura [fig, 24)

^yu «+i = '^», i-\-\^^u '-fil et par suite

yn = yo+ ^'^n.n-^i ^n,«+l = ^0+2 (''oi — 2 If) ^'''-^' '

OU

= yo + (^n — ^oKi — 2 ^'''+» 2 h"

On peut obtenir une autre expression de y„ en remarquant que l'ordonnée de l'intersection du premier côté avec la verticale x\ est y© + ^n'^oi» ®^ Q^® ^^ segment total intercepté par les côtés du polygone