ELLIPSE CENTRALE ET NOTAD DE FIGURES PARABOLIQUES ET ELLIPTIQUES
obtient les rapports de sinus
iôT, g«, gY, 3«, r" = i-5Y, r' = i-5r.
En portant sur le rayon -S les longueurs / et /; la distance des points ainsi ob-
Pig. 175.
Fig. 176.
iM^
• "ji - - '
au
Sf
tenus au diamètre 2f est égale à - 8/ et - 8/". En portant ces mêmes longueurs sur
le rayon - ô, on obtient les distances Ô7 = -- W et ^'f= — ô»/".
En portant la longueur / sur le rayon Y» ^ distance du point obtenu à la verticale S/'est ^7= f 1 -- -y j/. Nous avons, sur la fig, 176, retranché de cette distance
la longueur à'I =. -- 8</, et obtenu :
Un demi-cercle décrit sur Vei-rl intercepte la longueur k sur la verticale comme le montre la figure.
La distance du point f de la verticale au rayon Y' est égale à y/'s (^ "^ 9 '^j ^*
Nous avons porté cette longueur sur le rayon rr y, puis nous Tavons rabalin sur
l'horizontale passant par l'extrémité du point ainsi obtenu. La distante de Textré mité de cette horizontale à la verticale sera alors , d^api-ès la fig. 15 [ p. 10 ),
438 MOMENTS ntS FOHCBS P:in.iLLËI,tR.
fl — 3T)(' + îfj7)/'- En retranchant î/de catte longueur, on ohlienl :
Enfin, en portant sysur le rayon - i, la distance de reitr^milé à la Tcrticale eW
T , comme le montre In ligure.
na d'abord multiplié S"f par S" en Iportant i"f anr 1» 1 moyen d'un rayon et de deux parallèles, une BgvH
fi" et fi''' semblable à /" et fi". Nous avons eoiiuite portt^ - f sur la verticale, it multiplié trois Ibia pu le rapport da dniu t* c« qui noua donne - t V= â(^~^''V' comme l'indique la figure. Ilbudrait encore y ^o*>^r rri-rj f: maie cette d•^ nière quantité n'Mt pan ausceptible d'être conitruite; le calcul montre qu'elle lenil repréBenté« par — do millimitre; ancai, nous n'en avona pas tenu compte. Bn retranchant de - Yf 1& longueur i'^f iéik conatrulte, on obtient — ; joutant f i cette
dernière longueur et décrivant un demi-cercle aor la somme, on obtient A comme on ie volt enr la figure.
HenoDs, aux distances A et il du centre de gravité, fig. 17S, dea parallMes a» cAtésdu trapèie; ces droites seront tangentes A l'ellipse centrale «t formeront, par suite, nn parallélogrammo circonscrit A cette courbe. D'après le a* 100 (p. 375), le* points de contact sont situés aux diitancei t- et ?■ des diaoïMres parallèles anx cAté^ du parallélogramme, et, comme C est positif dans le cas actuel, ces distancer doi"' vent être prises dans le feu'' positif des coordonnées. Nous avons construit ces deu:*-' distances, dans la position qu'elles doivent occuper, au moven des longueurs counui-:^^ et déjà construites / et - , et ohtenu ain»i deux points de contact. Le^ deux .lutrc^**" points de contact sont symétriques de ceux-ci. Ces quatre points de contact sont Icr':^^ sommets d'un parallélogramme inscrit, dont les cétés sont parallèles aux diagonale'"^ du parallélogramme circonscrit. Il est Tacile, au moyen des quatre taniiientes et d^^ leurs points de contact, de construire l'ellip^ centrale.
N'eus avons aussi consti-uit, sur la fig. 175, le noyau central. Les (|uati-c câtéa rec-- — tilipnea sont tes antipolaires des quatre sommets du trapoie parabolique. Gomme laparabole qui forme un côté de ce trapèze passe par deux sommets du trapèze et par" le point d'intereection [à l'infini) des deux côtés parallèles, où elle est tauR-ente à I» droite à l'infini, ta section conique con-espondante à cette parabole sera tanscnis aux an ti polaires des deux sommets et à la ligne qui Joint les deux sommets du nov^tu correspondants aui côtOs parallèles du trupène, et en outre elle passera par le pàli'. Ce pôle est le point de contact de la ligne da jonction et la direction de celle-ci esf conjuguée à la direction des eûtes parallèles. Dans les deux figures, t l'interscctiou de deux tangentes, correspond la ligne qui réunit leurs points de contact. La parabole étant située complètement en dehors du trapèze et ne passant que par doux di' ses commets, la section conique correspondante est située tout entière à l'intérieur du trapèze et n'est tangente qu'à deux <ie ses côtés; c'est par conséquent uni"
Il est évident que Isa formules développées pour les momenu d'inertie du iraptvi: parabolique coniiennent aussi celles du irianKle parabolique. (Voir b.)
KLLIPSE CENTRALE ET NOYAC UK FIGURES PARABOLIQUES ET ELLIPTIQUES. 423
d) Moments d'inertie de inrfaces limitées par des dlipses
et des paraboles.
L'équation d'une section conique à centre peut toujours être mise sous U forme :
on a
2 = Ty + c± v«(y— ft)» + R.
Si, par exemple, ou prend Téquation générale :
0^ ai,y« + 2a,,ys -h a„s« + 2fl,,y + ia^^z + a,,,
^ — — ' — . c — — - , a — — ■ , o — •^j *v — ^ ' . ■• "«« ûfj <»'« A,, ^lAtt
Cela posé, si Ton considère une surface limitée par deux ordonnéeé z, par un are de la courbe, et par Taxe, on trouve, pour la surface F, les momenta statiques Mf ,
Ml, et les moments dUnertie ^))îyy, ^J){fSf ^m,, les expressions suivantes, dans lesquelles 10 désigne le radical ±. V^oi(y — 6)« -f R, qui entre dans la valeur de x :
F=:\zdy='xy*-\' cy + \tody:
M» = Y^d'j = - ty» + - cy' -f \ywdy :
Nous avons laissé de côté les constantes dans ces formules, car il est clair que toutes les intégrales doivent être prises entre les limites des coordonnées extrêmes. Il convient toutefois de remarquer qu^entre ces limites Tare de courbe ne doit pas passer par Tinfini.
Si les deux axes sont conjugués par rapport à la section conique, on aura cssx=zO, et les moments se réduisent aux derniers membres des expressions cidessus. En intégrant et mettant des accents pour éviter la confusion, nous aurons
M , .^ liu^dy = i flty«-fltV + 5 («*• H- R)y, «'y^ = ^î/«ior/y =^ 1 6a;s + 1 (2u;« + 4«6« - R) (y - A) 10 + 1 (4<i6> - R^ Ù»'m= i\yio>rfy = i ay*-l«Ay«+ j («^ + R)y», >0f„ = 1 \t«»rfy = 5j (2u;« - 3R)(y - 6)«j + ^ R«\^.
intégrale ~R\— , que n
s conservée dans les formules précU«DtM,
n'est autre cbose (\i>o la Burrace comprise entre l'arc et les doux' rayons qui, du centre de la courbe, projettent les extrémitéa de cet arc. l'n élément do cette mr- Tacepst en efTat :
L'ei pression de cette surface eat ilifTérente suivant qu'il l'agit d'une eUlpaBOD d'une hyperbole. Dans le cas de l'ellipse,! est négatif et R est pq^tiC et l'on a:
* J» J\tï V R 2t/Z^ ^
Ltfi arof 4 Introduire dans cet formules sont complètement déterminés par )m
■ignés dits siniiB et des gobIilub. L'ara est éffsl k léro pour y — 6=:0, sis:^;
égal à I pour y — 6= W—-, w = Oi égalàitpour y=é = 0, us— y'â, et enfln égal A s 'pour y — A=— \/^-, tD=:0. Nous anms représenté, rar la Aff- IT^i
les ditTérents cas qui peuvent arc sont désignées pai* Ici nur
suive le numÀ'o 1| lorsqu'on parcourt la courbe dans le
flichea. Les surfaces positives sont hachurées, et les su
' les formules Écrites plus haut donnent la différence des
Dans le cas do l'hyperbole, oii i est positifet oii R peut
l'ii^légrale 5 b\— est ;
présenter pour l'ollipae; les extrémités dechariue
1 et 2, placés do telle sorte que le numéro î
positif, indiqué par le*
s négatives pointillées;
desdeu^ surface.*, signe quelconque.
