ELLIPSE CENTRALE ET NOYAU DE FIGURES PARABOLIQUES ET ELLIPTIQUES

Dans cette intégrale, le plus grand des deux termes v^(y — 6) et w change de signe quand on passe d'une branche de Thyperbole à Tautre. Si, par exemple, R est

positif, iD est toujours plus grand que V«(y — 6) et est imaginaire entre + yR et

— v^R ; w change par conséquent de signe en passant de + ^K à — ^R, c'est-à-dire

d'une branche de Thyperbole à Tautre. Si, au contraire, R est négatif, yfôky — b) est

plus grand que io, (y — b) est imaginaire entre -}- \/ et — \/ et change

de signe en passant d*une branche de la courbe à Tautre. Il en résulte que Texpres-

sion ^[y — b) + w change toujours de signe en passant d*une branche à Pautre, et que, lorsqu*on substitue les coordonnées de deux points pris sur les deux bran* ches de Thyperbole dans ^expression :

s/«(yi — &) + wi

dont le logarithme est égal à la différence des logarithmes à calculer, le résultat est négatif, c^est-à-dire que son logarithme est imaginaire. Par conséquent, lorsqu'on prend comme limites des intégrales entrant dans les formules, les coordonnées de deux points non située sur la même branche de Thyperbole, le résultat est une quantité imaginaire; il faut donc prendre des points appartenant à la même branche.

Les fig. 178 et 179 montrent quelles sont, dans le cas de Thyperbole, les surfaces

Fig. 178.

Fig. 17».

^ont les moments sont donnés par les formules précédentes, quand les coordonnées <iu point 2 sont prises comme limites supérieures, et celles du point 1 comme limites inférieures des intégrales. Ces figures n*exigent aucune explication; on voit que les relations sont plus simples que dans le cas d'arcs elliptiques.

Dans la pratique, on a rarement à déterminer les moments de surfaces limitées par des trapèzes irréguliers, mais seulement de segments de courbes limités par une ou deux parallèles à un axe de coordonnées.

On pourrait déterminer ces moments, en subKtituant dans les formules développées plus haut, les coordonnées (y, + w), (y, — te) ; tous les membres contenant w à une puissance paire disparaîtraient Mais il est plus simple de traiter ce cas directement. On a d*une manière générale :

r . ftf + c— » 2 C

J JV9 + C—W n j

MOMENTS HE) rOllt:U MIIALLtl.t^.

On ObUADL par suite :

M, = 8 W^ + eywdy = ■«,+«?,

1 1 Cdv

iHoi OM inUgralm, les v «mt stippMta poMtift, M on ne dOlt raMOtnar pv «dite ((u dM limites positives. On ne doit ^ eonHe^eDt, HM (JA ete, jimsi) tratrTer entre Mb limites un point pour lAQUal ^ «oit fini. 81 dMlJ an aoUnnet m bwnve sur l'arc de courbe qui limite U turhoe coDaldârAe, ce sommet d41t Atr* une eitréoiitA de l'are. Lescoordoonéei de cea pointa eont donnée* ptr Is eonilitfon :

Ces coordoaaéea ne sont réelles que ai R et a Mnt de eignea différente, c'est-à-dire pour des ellipses et des iijperboles qui c6upent ea-des points réels le dinmetre tii + c = 0. En substituant ces coordonnées comme limites dans les formules pr^cé-

dootes, tous les termes disparaissent à l'exception de \ .

e dont nous avons établi ces formules, elles ae s'appliquent X surfaces néfiativee: il su résulte que, dans le cas de l'ellipse, les limites <!<'

ui entre dans l'eipression de \ ne peuvent pas 41re prises dans loute l'édii cercle, mais seulement entre — 5, 0 et -f- ^. 11 n'en eut naturel lemi' ut

d'où il résulte que, dans le cas que nous examinons, le centre de gravité de h face est toujours situé sur le diamètre tij + c = 0.

)ns des ellipses centrales dos segments ne peuvent pas être expr. e générale. Cela n'est possible que lorsque les surfaces sont ferir distance finie, c'cst-â-dire dans le cas d'ellipses. Nous poserons dans c« cas. obtenir les dimensions cherchées t. c, A = 0, et nous obtiendrons :

F = -^ ^: •))l„ = - 1 . - . F; m.. = \ RF,

MOMENTS d'inertie DE DEUX SURFACES. 427

Les diamètres conjuguée de Tellipse centrale sont par suite :

en désignant par a^ et 6^ ^^ longueurs des diamètres de l'ellipse donnée. Il résulte de là que Tellipse d^inertie et Tellipse donnée sont semblables, et que le rapport de

similitude ei^ ^'

Il en est naturellement do même du noyau ; i étant toujours égal à A, la demihauteur de l'ellipse du noyau sera :

Les dimensions de Tellipse du noyau sont donc égales au quart des dimensions correspondanteé de Tellipse donnée, et à la moitié de celles de Tellipse d*inertie.

Si Tellipse donnée est an cercle de rayon r, Tellipse dMnertie et Tellipse du noyau seront aussi des cercles dont les rayons seront respectivement :

-r et jr.

Le moment d^inertie d*«n anneau compris entre deux ellipses semblables est :

es dési^n&At par P la surface de Tellipse extérieure, et par Oj et a^ leS longueurs de deux diamètres correspondants de Tellipse extérieure et de Tellipse intérieure. Nous aurons par suite :