MOMENTS P INERTIE UE DEUX SURFACES

"\Ff-

on obtient :

ainsi que Tindique la figure.

-ne dépend que des

angles formés par m^ et m, avec / et que ces cingles ne varient pas quand les rapports x^ : x, restent constants, il soBl d'effectuer une seule fois la construction de la fig, 180. Il vaut 0Ûeux se servir de la droite qui

Ca

Pig. 180.

ta / ' ^^ ^.\'1

Bf.

joint les centres de gravité eux-mêmes, parce que c'est celle qui donne la figure la plus grande. Pour construire la valeur de h correspondante «^ une autre direction, celle des y, par exemple, on projette suivant cette direction la longueur m préalablement rabattue sur m; puis, à Textrémité de la projection, on porte, sur des perpendiculaires, les lon-

mj.

\]'i et *. \f^

les m^l et

Pour construire les moments (ar,y, + C,)aF, + (ar,y, -}"C,)aP, , nous transformons les surfaces x^y, + C, en c,/:, soit en employant les coordonnées de Tantipôle, soit directement par une construction graphique, et nous obtiendrons par la substitution des valeurs de aF, et aF, :

C = y [c.,x^ — r,xj.

Mais T est la distance, mesurée sur la tangente k, du point de contact k

ai) UIIMENTS IIKS FOHCES PAHAI.I.ftl.EH.

de celle LaDgciile au diamëlre parallèle à la tangente h : il sufiirH^oac iè

construire -y-^ et — ~^, ce que l'on peut faire de diverses manières.

Dans la fig. 180, cette construction a été effectuée, en portant -|- c, en I suivant une direction quelconque, -J-c, en 2 parallèlement à cette direction ; les lignes qui joignent les extrémités de f , à 2 et de r, à 1 dé-

terminent sur m, ainsi qu'il est facile de s'en assurer, la longueur 7,

& l'aide de laquelle l'elUpse est maintenant complètement déterminée.

Dans les grandeurs que nouii venons d'additionner, tous les A,aP onl été pris positifs. En ce qui concerne les signes C. il faut remarquer que C a le même signe pour des surfaces situées entre les angles opposés par le sommet, formés par les axes et des signes contraires pour des surfaces situées entre les angles adjacents. Les surfaces situées entre des angles correspondants formés par des axes parallèles ont également le même signe. En faisant attention à ces remarques, on voit immédiate m eut sur la ligure, si les moments doivent être ajoutés ou retranchés. S'il fautajouter les moments, les deux c doivent être portés sur le même côté de la droite qui réunit les centres de gravité; s'ils sont de signes contraires, il faut les porter sur des r.Atés opposés. Les deux cas ont été indiqués sur la flgure, et distingués l'un de l'autre par les notations +r,

et — c..-^ est du cfttc de la longueur correspondante -l-i-..

Les constructions que nous venons de développer permettent de déterminer très rapidement les moments des cornières et des fers j\ J. loi'squ'on peut négliger les petites i-ourbiircs des angles. La fi;/. 180 n'a pas été faite pour un de ces cas, pane que les C sont nuls, quand le? côlcs des rectangles partiels sont parallèles, et sont très petits, quand il> sont presque parallèles, comme c'est le cas ordinaire. Notre démonstration n'aurait par suite pas pu être effectuée sur cet exemple. Si 1 ou vent tenir i;ompte des cdiirhures aux f-oinniets. rm appliquera les ci>[istructions du n" H6,

Un a cherché à iralculer approximativement le moment d'inertie ligures annulaires h mince paroi en considérant ce moment comiti diffcrcnlicUe du moment de la surface totale. Par exemple, dans le

MOMENTS d'INRRTIF DF.S FU.URKS ANNCLAlRES. 431

d*un rectangle creux, dont le moment total est -- hc^, on a employé la

iz

rormule

^ (3ic'rfc 4- cW)

dans laquelle db et de représentent les ditTérences des largeurs et des hauteurs du rectangle plein et du rectangle vide.

Le moment d'inertie d'une figure annulaire à mince paroi est approximativement

où A' est la hauteur de Tellipse centrale du contour par rapport à son rentre de gravité, et e l'épaisseur de la paroi.

Soit ^y'(/F le nH)ment d'inertie d'une figure annulaire: la différentielle de cette intégrale, par rapport à ses limites, ne sera en général sensiblement égale à l^es et ne donnera une valeur approchée du moment, que si', dans les deux intégrales eyy^ds et W*^, les ordonnées y

sont prises par rapport au même axe, c'est-à-dire si cet axe passe à la fois par le centre de gravité de la surface annulaire et par le centre de gravité de la surface entière. S'il n'en est pas ainsi, et si les deux axes sont dictants de y,, l'erreur pourrait, dans le cas où il ne se produirait aucune compensation particulière, atteindre y*ees, et être ainsi assez considérable pour que ce procédé de calcul ne pût être considéré comme approximatif. En général . la coïncidence des axes n'a lieu que pour les figures symétriques; il peut toutefois en être ainsi pour d'autres figures, par suite de compensations fortuites.

Si cette condition est satisfaite, il faut en outre que l'accroissement des limites de l'intégration dans l'intégrale qui représente la surface doune une surface dont le contour soit à une distance constante e du contour de la surface primitive. Cette seconde condition n'est satisfaite approximativement, en coordonnées parallèles, que pour les surfaces dont le contour est sensiblement parallèle aux axes, et, en coordonnées polaires, pour les surfaces dont le contour est sensiblement normal aux rayons vecteurs menés par le centre de gravité, c'est-à-dire pour les cercles, les polygones réguliers d'un nombre de côtés assez considérable, et les ellipses dont l'excentricité est faible et pour lesquelles par suite les accroissements des axes diffèrent peu. Quand ces deux condition s De sont pas satisfaites, on ne peut pas en général considérer la différen

tielle totale île \y*dF comine une valeur approximative de e\jr*<b> U

(lilTÉrence sera d'autant plus considérable que la distance entre lesceatres de gravité de la ligure pleine et de la figure annulaire est plus glande, et que l'angle, que la direction du contour fait ayec l'axe, à partir duquel on mesure les y, est plus ouvert.

Pour mieux expliquer ces relations, nous allons calculer, d'après les

différenles méthodes, le moment d'inertie d'un triangle isocèle creui

ayant une base 1res petite.

Soit Ifia- 1^1) le triangle donné, dont la base, la hauteur et les cA tés

n». isi. égaux ont pour longueurs moyennes 6,2; 48 et 48,1. Les

dimensions correspondantes du profil intérieur sont plus

petites de —, et par suite égales & 8,S8, 43,2, 43,29 ; celle!)

du profil extérieur sont plus grandes <

et par suite

égales à 6,83, 52,8 et 52,91. L'épiùsseur de la paroi, mesurée normalement au contour, est constante et égale i

^ = 0,58125; elle n'est que le — de la base et le ^de 1)

hauteur du petit triangle, c'est-à-dire assez petite pour qu'on puisse considérer la surface annulaire comme étant à mince paroi, par rapport aux autres dimensions de la figure. Kn

Hutre, le rapport - de ia base â la hauteur offrirait une >Ui-

bililé sullisanlc pour une poutre.

Il est facile de prévoir ùpriori le résultat du calcul, et di' reconnaître qu'en calculant, comme une différentielle, li' moment d'inertie par rapport à un axe parallèle à la basimenée par le centime de gravité, on commettrait une erreur considérable. Kn effet, la distance entre les centres de gravité du triangle entier et de l'anneau, mesurée perpendiculairement à cet axe, est très grande, car le premier centn' de gravité est situé au tiers de la bauteur, et le second e>l sensiblement an milieu. Eu outre, les deux côtés du triangle forment un angle 1res ouvert avec la base. Si. au contraire. \ on prenait le moment d'inertie par rapporta la hauteur du

' triangle, on obtiendrait une bien plus grande approximation.

car les deux centres de gravité sont situés sur cette hauteur, et les deu\ côtés du triangle forment avec celle-ci des angles tr^s petits. Calculons d'abord l^i valeur exacte du innment. Nous auruna