P< V^ , V AP
AP
On peut démontrer, en développant ^^i^i^i Zj-tt^ ^^® ^® second
membre n'est qu'une sommation partielle du premier. On a en effet, en remarquant que Ax,„+, = x,^., —x.
POLYGONES DE SOMMATION 00 POLYUONICS FL'MCDLAIRES. 2S
« I] H," ~ ^'^' ^»^ ( lïf + h;) '
"-'2Tr=i'--.-.>CTlf+-1if)-
Ajoutant membre à membre toutes ces relations, il vient :
Nous avons déjà fait remarquer que les produits ont été formés en tenant compte des signes des facteurs, ce qui est évident d'après la construction . Toutefois nous avons cru devoir le confirmer par une application pi. III,; toutes lés combinaisons de signes des trois facteurs x^ — x,, iP^
el — y sont étudiées, et le signe de l'accroissement de la somme des
produits y dépend du signe des facteurs élémentaires (pi^ou ajoute. On a Mipposé que le sens positif de l'axe de x était de gauche à droite, celui des verticales aP de haut en bas, et enfin, pour déterminer le signe des H, on a considéré ces grandeurs c'omme bras de leviers h l'extrémité desquels agissent des forces AP; si un AP positif tourne autour de l'origine de H dans le sens positif, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre, H est supposé positif; il est négatif dans le cas contraire. Un ^^ — X, positif se trouvera par rapport à x^ du même côté qu'une tension H, positive par rapport à P,; dans ce cas le signe du produit est celui de la rotation du AP correspondant autour de H; si x^^ — x, est négatif, le signe sera contraire de celui de la rotation. On voit immédiatement sur le polygone de sommation des AP que le signe de la rotation concorde
AP
avec celui de — .
Nous pouvons ajouter, comme autre conséquence de cette sommation
algébrique, que le résultat de ces constructions est indépendant de
Tordre dans lequel on a sommé les produits. 11 est évident que les seg-
ments sur les verticales des aP et des produits no peuvent pas varier : les mêmes segments sont toujours portés les uns à la suite des autres. Les polygones eux-mêmes restent identiques en dehors des aP dont on a changé Tordre. En effet, sur la verticale des t (fig, 26) la somme des At correspondants à ces aP est restée la môme, et les rayons non permutés restent les mômes avant et après la permutation. Les polygones ont donc, avant et après le changement d*ordre, des côtés parallèles qui
AP
doivent passer par les mômes points de la verticale des {x^ — x,) — ^ ,
c'est-à-dire des côtés qui coïncident. Dans la PI. III,, on a permuté AP, et aP,. On peut aussi démontrer géométriquement que les côtés l'2 et 2'3 (PI. III,) doivent coïncider; car si les côtés \^\ 2'!' et 12 sont menés parallèlement aux côtés de môme nom du polygone des aP, et si de plus les côtés verticaux 11', 22' sont parallèles, cinq éléments (côtés ou diagonales) des quadrilatères 11', 22' sont parallèles entre eux; par suite les sixièmes devront Tôtre aussi, c'est-à-dire que 21' sera parallèle à la ligne 23 du premier polygone et se confondra avec elle.
Les fig, 24 et 25 deviennent très compliquées lorsque l'on trace entièrement toutes les lignes du polygone. Il suffit toujours de tracer les côtés du polygone entre les verticales qui leur correspondent et d'indiquer leur intersection avec la ligne des AP ou des produits. Les commençants feront bien de prendre comme modèle la pi. III,. Un côté quelconque, 34 par exemple, de l'un des polygones passe par le point 34 de la verticale, et est parallèle au côté 34 de l'autre polygone.
De môme que nous avons construit la fig. 24 au moyen de la fig, 2a, nous pourrions, en partant de la fig, 24, construire un autre polygone
qui nous donnerait des expressions de la forme 51~^"â — ^ • ""^^U — * • ^^•' et au moyen de ce dernier, d'autres expressions, telles que :
:^u^-iu z^-Zi x^-Xi ^^^^^^^^^
h'i hi H.
Ces constructions se présenteront dans Tétude des moments d'inertie, et en général dans celle de Ions les moments d'ordre supérieur. Pour le moment nous avons voulu nous borner à montrer qu'elles nous donnent le moyen le plus commode d'intégrer graphiquement, et nous les retrouverons plus tard, en nous appuyant sur des considérations purement statiques.
