FLANIHÉTHE DES MOHEnTS

H. le professeur Amsier a, dans le premier volume de l'année 1856 du journal de la société des sciences naturelles de Zurich, fait connaître la construction d'un planimètre qui donne, par un procédé mécanique, analogue à celui du planimètre décrit au n* 37 (p. 119), la surface, le moment statique et le moment d'inertie d'une figure, dont on suit le contour au moyen d'une pointe.

Un instrument de ce genre a été construit, avec quelques amélioralions importantes, pour le Polytecbnikum de Zurich, et, sous cette nouvelle forme, il rend de grands services. Nous allons en donner une courte description et en faire connaître la théorie.

L'instrument consiste {fig. 183} en un chariot monté sur deux roues

assujetties à suivre la rainure d'une règle, de telle sorte que le chariot ne peut se déplacer qu'en ligne droite parallèlement à lui-même. Sur le chariot est montée une roue dentée à axe vertical, qui peut être mise en mouvement par un bras horizontal, à l'extrémité duquel est fixée la ptinte traçante.

436 HOHKKTS DES rORCBS FAKALLËLKS.

La roue dentée n'a pas partout le meine rayon: mais elle est formée de deux parties, dont les rayons ont des longueurs qui sont entre el'es dans le rapport de 3 à 2. Sur celte roue engrènent deus roues plus petites, dont le rayon, qui est le mCine pour les deux roues, est le tiers du plus grand rayon de la roue centrale, et par suite la moitié de l'autre rayon. Les axes des trois roues dentées sont situés dans un plan perpendiculaire à la direction du la règle: ils laissent le plus de jeu possible pour le déplacement du bras de la ruue centrale, mais ne permettent pas Je rabattement de ce bras dans l'autre sens. Le bras de la roue se tronve ainsi toujours du même cAté du chariot.

A la tige qui porte la pointe est adaptée une roulette dont l'axe est parallèle à celui de cette tige. Comme l'autre extrémité de la tige, qui est fixée sur le chariot, décrit une ligne dr<)ite. c'est-à-dire une figure dont la surface est nulle, le chemin parcouru par la roulette, multiplié par la longueur de la tige, donnera, d'après len' â6[p. 118], la surface F de la fignre décrite par la pointe.

A chacune des petites roues dentées est aussi adaptée une roulette. Lorsque la pointe est située sur la parallèle à la règle que décrit l'autre extrémité delà tige, c'est-à-dire le centre de la roue principale, l'axe de ta roulette adaptée à la petite roue en contact aven le rayon 2 est perpendiculaire à la direction de la règle ; l'axe de l'anlrû roulette est parallèle à cette mfime direction. Dans une position quelconque de la pointe, si on appelle ? l'angle de la tige et de la règle, les axes des deux roulettes forment des angles de 90* + 2^ et So avec la règle. La fîg. ISi montre ces relations.

L'instrument est construit et équilibré d'une manière IrÈs-iugénicuse. Le cadre, qui porte les trois roues dentées, n'est pas réuni d'une manière fixe au chariot, mais au moyen d'une charnière, et il est équilibré au moyen d'un contre-poids, de manière que les deux roulettes aiiaf)tées aux petites roues exercent une pression douce sur le papier. La ti^e qui porte la pointe est de même fixée sur la roue centrale, au moyen d'une charnière, et son propre poids sert à presser la pointe contre le papier. Enfin, une troisième fharnière relie la roulette de la lige à cille tige, et, comme le poids de cette roulette ne suHirait pas pour exercer une pression convenable sur le papier, cette pression est Icgèremont augmentée au moyen d'un ressort. JjCs longuenis respectives, donnée* aux différentes charnières sont combinées de façon que, sans nuire à l.i rigidité de l'appareil, les trois roulettes et la pointe soient maintenueconstamment en contact avec le papier et que cependant le presfioii soit assez douce pour laisser toute la facilité désirable au niouvemeni de la pointe, que la main doit pouvoir diriger sans effort suivant le

' PLANIViTRE DES NOniTTS. i3T

contour de la fi^re ; ce probtème de mécaoïque pratique , qui n'est certainement pas facile, a été résolu ici d'une manière à la fois simple et élégante.

Recbercbons maintenant quel est le chemin parcouru par chaque roulette, lorsque la pointe décrit une figure fermée de surface F.

Soient b la longueur de la tige, u, le périinêtre de la roulette fixée sur cette tige, et a, le nombre des rotations elTectuées par cette roulette, c'est-à-dire s, u^ le chemin parcouru.

La surface de la figure sera alors, d'après le a* 26 (p. 118) : P = «,(«.*).

Gomme a, doit donner la surface de la figure, il convient d'adopter pour u, et à des dimensions telles que la produit a^b soit égal à l'unité de surface, soit, dans le cas de l'instrument que nous avons sous les feus, 1 décimètre carré.

Pour obtenir les chemins a,u, et a,u, parcourus par les deux autres roulettes, imaginons par la pensée que les axes de ces roulettes aient une

Pi«. IM,

longueur b. L'extrémité de chaque axe décrira une courbe que oons avons indiquée par un trait pointillé sur la fig. 184, et les surfaces de ces deux courbes seront respectivement 9<,(ti,6) et »,{u,b).

KOnCES PARALLÈLES.

Appelons : la largeur variable de la figure donnée mesurée parallèlement à la régleUtJ, et désignons de la mfiine manière la largeur des deux autres flgiires. Cette largeur : sera la même dans les trois figures pour des positions simultanées des tiges. Les ordonnées y, , y,, y, des extc^ mités de ces tiges par rapport à des axes parallèles à la règle et menés par les centres des trois roues sont, pour une valeur donnée de f :

!)^^^ll sin »,

y, = * 8in(90* + "à^) = icosa^ = 6(1 — 2'sin' f) = 6 ^,

Les surfaces des trois figures sont par suite : Od a donc en définiUve ;

Les termes entre parenthèses ne ricpendenl <|ue ries diinension' iIp l'instrument cl sont par suile des coefficients const^mts pour un même appareil. Dans le cas de notre instrument, on a :

■ilî^v = "'■''^53 «. — 0,2633cij .

Pour obtenir le changement de signe do M^, on a simplement nnmôrolé les divisions de la seconde roulette en sens inverse des divisions des deux autres.

Une fois l'instrument construit, une petite correction de la longueur h de la tige a permis de rendre le produit èm, rigoureusemenl égal à I. et l'on a ensuite déterminé les autrei coefficients, en appliquant l'iiislrnment àdes figures dont la surface elles moments étaient connu-, "n

PLANIMèmE DES MOMEFfTS. 439

peut inversement, lorsque ces coefficients sont connus, en déduire les dimensions rigoureuses des différentes parties de l'instrument. Des équations

i ^»ti, = 0,7753 et ^ii, = i,

on tire :

0 = 4,7610, M, = i = 0,5678 et d, =^=0,1808,

rf, étant le diamètre de la première roulette. Nous appellerons de même d^ et d^ les diamètres des autres roulettes, et nous aurons :

3 (tV«'«.) „ 3 X 0,2633 . ^ -niRil