TÔ*^ = "• = 1 ,7610 X

Dans ces différentes équations, Tunité de longueur est le diamètre.

Les erreurs, que Ton peut commettre avec cet instrument, sont, comme pour le planimètre polaire, plutôt des erreurs absolues que des erreurs relatives. On ne peut compter sur Texactitude de la millième partie du périmètre de la roulette, en faisant la lecture au vemier. A

cette erreur absolue correspond, pour F, — de centimètre carré, quelle

que soit d'ailleurs la grandeur de la surface. Pour 3Ryy, Terreur absolue correspondante est de 7ôoôX** = ^^XO»^*; Terreur relative, que Ton peut commettre sur ce moment, est égale à celle que Ton peut commettre sur la surface, multipliée par (t) > ^ étant le rayon de gyration.

ce dernier rayon étant, pour les pièces métalliques isolées que Ton a à considérer dans la pratique, plus petit que 1 décimètre, on voit que Terreur relative sur le moment d'inertie est en général beaucoup plus grande que sur la surface. Néanmoins, le degré de précision que Ton peut obtenir est encore beaucoup plus considérable que celui qui affecte la détermination des coefficients de résistance, c'est-à-dire que le degré de précision qui sert de base aux constructions métalliques. L'emploi du planimètre pour la détermination des moments d'inertie peut donc offrir des avantages marqués dans la pratique.

Si la position du centre de gravité de la section dont on s'occupe n'est pas connue à l'avance, on déterminera d'abord les moments pour un axe choisi approximativement, de façon à passer aussi près que possible du èentre de gravité. On calculera alors au moyen de ces moments et

440 MOMENTS DES rOKCXI PUiU-tLES.

en se servant de la règle à calcul la distance du centre de gravita à l'axe d'après l'équation ;

^■oiir avoir le moment d'inertie par rapport i un axe passant par le

centre de gravité, on se servira de l'équation :

Au moyen de deux ou trois de ces moments, on pourra consbvirs l'ellipse centrale et déterminer ainsi le moment d'inertie par rapport i un axe quelconque passant par le centre de graTité.

H. Amsler nous a montré récemment un nouTeau plaoimëtre des moments qui est très simplifié, et dont le prix sera beaucoup moins élevé que celui de l'instrument que nous venons de décrire. Mais ce nouveau planimètre exige trois opérations séparées pour déterminer la surface et les deux moments.

Gomme il ne nous a pas été possible de faire préparer une figure pour accompagner la courte description que noua allons donner, le lecteur voudra bien y suppléer en combinant la fig. 84 (p. 119) et la fig. 184, comme nous allons l'indiquer.

La tige OB de la fig. 84 porte à son extrémité la roue principale doni le centre coïncide avec le point B; un arrôt permet de user la roue sur la tige, ou au contraire de la laisser tourner librement sur son axe. Dans ce dernier cas, la roue ne fonctionne pas.

La tige AB porte en C une petite roue dentée qui engrène avec la roue précédente, et dont le diamètre est la moitié du diamètre de celle-ci. Cette roue peut aussi être fixée ou rendue libre sur la tige; elle porte l'unique roulette de l'instrument.

Si cette roue csl fixée et la roue en B rendue libre, on a le planimètre ordinaire; la roulette de la roue G décrit un chemin proportionnel à ia surface.

Si on relie l'extrémité A de la tige AB à un chariot qui glisse K' lon^; d'une règle, comme dans la fig. 184, et qu'on fixe la roue principale sur la tige OB, on obtient une disposition analogue à celle qui, dans la /xg. 184, sert iV la détermination des moments staliqnes. Le nombre de tours qu'effectue la roulette, lorsque le point 0 décrit le contour d'une figure, est proportionnel au moment statique.

Enfin, si on relie la lige OB au chariot et qu'on fixe la roue B sur cette tige, mais dans une autre position que précédemment, ce qu'on obtient

FLANniÈTKE DES MOMENTS. 441

au moyen de Tarrêt et de rainures particulières, la roulette, portée par la petite roue, décrit un chemin, qui est proportionnel à la somme du moment d*inertie et du produit de la surface par une constante.

Les formules pour la surface et le moment statique sont identiques à celles que nous avons établies plus haut; mais la formule relative au moment d*inertie s'établit d'une manière un peu différente. Imaginons qu'au centre de la petite roue soit fixée une tige de longueur a, et déterminons les figures fermées que décrivent les extrémités de cette tige. L'aire de la figure décrite par le centre n'est pas égale à 0 comme dans la fig. 484, où cette figure est une ligne droite; mais elle a une certaine valeur, que nous devons déterminer.

Désignons par y\ les ordonnées de cette figure et par a, la distance des centres des deux roues. Les ordonnées des courbes décrites par les extrémités de la tige idéale a seront :

y, = asin 3(p — a, sin (p = n di ^jy — ^ |î» y,=a,sin(p = ^yn.

On en déduit :

Les aires des figures décrites seront par suite :

(3±?2)p 11a«F et -T, \ aj a^ a

On reconnaît facilement que ces deux aires sont décrites en sens inverse Tune de l'autre, et l'on a dès lors, pour le chemin parcouru par la roulette (celle-ci étant placée sur a,) :

asflw, = 3F r A'Pi

d'où

Gomme nous ne possédons pas ce nouvel instrument, nous ne donnerons pas le calcul inverse des dimensions au moyen des constantes*

{*] Dans ces formules, il faut prendre le signe + on le signe — selon que la roulette sera placée snr a, on sur «on prolongement.

iiS MOHBNTB DBB PORCtB PAEiULIALES.

On Toit que la signiAcabon des constantes s'est un peu modifiée, mais que la rorme de la formule est restée la mftnie.

Ce nouveau planimëtre des moments est plus simple et plus maniable que le premier instrument à trois roulettes que nous avons décrit. Mais les opérations à effectuer sont beaucoup plus longues, et l'on peut se , demander si les résultats sont aussi exacts. N'est-il pas à craindre qn'api-ès avoir saccessivomcnt lise et rendu libres les roues et les tiges de l'appareil, les ditl'érentes parties ne reviennent pas exactement i leurs positions primitives? Ce qui est certain, c'est que, pour le planimètre ordinaire {fig. 84], les instruments dont toutes les parties sont fixes donnent des résultats bien plus exacts que ceux dont la longueur de la tige peut 6tre modifiée, pour cbanger la base de réduction.