ELLIPSE CENTRALE ET BOYAD d'dN PROFIL DE EAU

Le moyen le plus simple pour déterminer le moment d'inertie et par suite le rayon de gyration d'un profit limité par une courbe irrégulière consiste, comme nous l'avons indiqué au n* 98 (p. 367], à décomposer ia figure en bandes parallèles ou Irapëses et à former le moment du second degré de chaque élément.

Pour expliquer les constructions i effectuer dans ce cas, nous prendrons comme exemple le profil de rail de la PI. XII, , dont nous avons déjà déterminé le centre de gravité par un procédé analogue, an n* flfi (p. 361). Nous reprendrons la question au point ofi nous l'avons laissée dans ce numéro.

Nous avons vu que les segments az* de l'horizonLale passant par W rentre de f,'ravilé -iont proportionnels aux moments simples i/aP des trapèzes élémentaires ; pour obtenir les moments, il faut multiplier l'cs sep-

menls par- a:'|, = F=;47,'7() cent, carrés, tlonsidérons par suite ).i

droite :" comme un polygone des forces, dont les composantes sont représentées par les segments i;", et regardons ces composantes comme agissant suivant la direction des médianes horizontales des différenltrapèzes. Nous pourrons ainsi construire un second polygone funiculaire, ayant ses sommets sur ces horizontales. Ce polygone a la forme d'un S. et ses c6lés iiiterceptcnl, sur l'hori/.ijntale passant par le centre de gravité, des segments proportionnels aux moments des i;". Pour obtenir les moments eux-mêmes, on n'a qu'à niulliplier les segments par la distance r du pôle du nouveau polygone des forces à la droite :". On aura ainsi :

ELLIPSE CENTRALE ET NOYAU d'DN PROFIL DE RAIL. 443

Mais on a déjà, d*après le n** 96 d (p. 356) :

par suite,

- PcAz*' = y'AF.

Il résulte de la forme en S du second polygone funiculaire, que tous les Az"^ sont dé même signe, des deux côtés de Thorizontale passant par le centre de gravité, ce qui doit être puisque y* ne change pas de signe quand y change de signe. Les différents Az'^ donnent par suite une somme zj'J telle que :

Dans la pratique, on n*a jamais à faire usage de la valeur complète du moment d'inertie avec ses quatre dimensions, mais seulement de cette valeur, divisée par des surfaces ou des lignes.

Si Ton veut construire la hauteur de l'ellipse centrale, on doit diviser

le moment d*inertie par la surface F ; c'est pour ce motif que nous avons

pris le produit des deux premières bases -^o^!^^ égal à un sous-multiple

de la surface, soit - F. Si Ton veut déterminer le moment de résistance

on doit diviser le moment d'inertie par la distance c, au centre de gravité, de la fibre la plus éloignée. Nous avons, par suite, pris sur la PI. XII, , comme distance du second pôle à la ligne des z'\ la distance du sommet du champignon au centre de gravité du rail. On n'a ainsi, pour effectuer les divisions, qu'à laisser de côté les facteurs correspondants.

Nous résumons ci-après les formules des moments obtenus au n*'96(/, et que nous venons de construire, en indiquant les facteurs dans l'ordre suivant lequel ils se présentent comme bases de transformation :

2AF = a2' = F,

2yAF = a.-z;.z'' = ^F.z",

iU MOHClfTS DBS FORCES PARALLÈLES.

Quand la construction graphique a pour but de déterminer les moments des forces agissant sur une section et que la fibre neutre coïncide avec Taxe, lieu des centres de gravité des sections, la force agissant sar un nombre quelconque d*éléments de la section et son moment ont pour valeurs, d*après le n* 105, en y faisant y^ = 0:

p étant reffort auquel est soumise la fibre à la distance c.

Dans toutes ces sommes, les limites des z doivent naturellement concorder avec celles des éléments auxquels se rapportent les forces et les moments considérés. F. et z^ s'étendent aux n bandes ou éléments de la section, soit 19 dans Texemple du rail, et sont des constantes dans les formules précédentes. F„ est Taire de la section du rail, et pF„ la force à laquelle cette section pourrait résister, si elle était soumise à des efforts uniformes p dans toutes ses parties. Cette force joue, dans les expres-

sions de Q et de £t, le rôle d'une base de réduction, et ^ je* est le bras

du levier, suivant lequel cette force doit agir, pour produire un moment égal à celui que Ton obtient réellement.

Lorsqu'on a achevé la construction des polygones funiculaires, on

construit h en ajoutant la longueur ^ c h 2'"„, et en décrivant une demi-

circonférence sur la somme; l'ordonnée correspondante au point de

séparation des segments -c et z'\ est la hauteur h de l'ellipse centrale.

Pour déterminer les moments par rapport à l'axe vertical du rail, nous pouvons, d'après le n» 101 (p. 378), regarder la demi-surface de chaque bande comme concentrée aux extrémités du diamètre conjugué à cet axe; on peut encore, puisque l'axe vertical est un axe de symétrie sur lequel sont situés, par suite, les centres de toutes les ellipses des bandes, considérer la surface totale de chaque bande comme concentrée à une extrémité du diamètre. Pour les bandes, qui peuvent ôtre regardées comme rectangulaires, la longueur du diamètre est égale

à sJl=o,

57735 de la largeur totale de la bande. Pour les bandes qui

ne peuvent être assimilées à des rectangles, par exemple pour la première, qui est parabolique, nous avons dû construire directement Tellipse d'inertie. Nous avons numéroté les extrémités des diamètres ; les deu.x