ELLIPSE CENTRALE ET NOYAU D*UN FER CORNIÈRE

nous obtenons le point 2' par le procédé que nous avons déjà indiqué. L'antipôle de Taxe horizontal ne sert qu'à la construction de A', et, par suite, on n*a besoin de déterminer que Thorizontale sur laquelle il est situé. On peut, dans ce cas, se dispenser de construire le diamètre conjugué à Taxe horizontal et obtenir le point 2'', sur le diamètre vertical, au moyen de Tune des deux tangentes horizontales de Tellipse centrale. Le point 2" n'est pas Fantipôle de l'axe vertical, mais il est situé sur la même horizontale que cet antipôle.

L'ellipse centrale de AF, est coupée par l'un des axes; dans ce cas, il

est avantageux de considérer chacun des éléments - aF, comme concentré à chaque extrémité des diamètres conjugués aux deux axes. Le

diamètre conjugué à l'axe vertical, devant servira la construction de -,

les points 3' et 3" doivent être pris exactement aux extrémités de ce diamètre, tandis que, pour les points 3, et 3„ qui doivent servir à la construction de k^j il suffit de les prendre sur les tangentes horizontales.

Les sommets du premier polygone funiculaire sont situés sur les verticales des centres de gravité 1, 2, 3, 3, 4. Les côtés de ce polygone interceptent sur l'axe passant par le centre de gravité les àz'\ qui servent à construire un second polygone comme polygone des forces. Nous avons pris la distance polaire égale à la distance c de la fibre la plus éloignée. Les sommets du second polygone funiculaire sont situés sur les verticales 1, 2\ 3', 3'', 4; ce second polygone donne z^^, au moyen duquel on construit h = ^cz\, ce qui n'exige aucune nouvelle explication.

On construit k de la même manière. Les sommets du premier polygone funiculaire, qui relie les horizontales, sont situés sur les horizontales 1, 2, 3, 3, 4. Elles interceptent sur Thorizontale passant par le centre de gravité les segments az", au moyen desquels on construit^ avec une distance polaire c, égale à la distance de la fibre la plus éloignée, un second polygone funiculaire ayant ses sommets sur les horizontales 1. 2", 3,, 3„ 4. Le segment z'^^ intercepté sur l'horizontale du centre de gravité, permet de construire k=\/cz"'^.

Pour construire r, nous utilisons les segments Az" de la verticale du

centre de gravité, nous prenons comme distance polaire A, et, au moyen de ce polygone des forces, nous construisons un polygone funiculaire, ayant ses sommets sur les horizontales 1, 2', 3', 3", 4' et ses r,ôtés respectivement perpendiculaires aux rayons correspondants du polygone des forces. Comme les' centres de gravité de toutes les surfaces sont situés dans le même angle des axes et que, par suite, tous les yzùF ont k

même signe, il ne peut y avoir de doute sur la position du point de contact sur la tangente horizontale à Tellipse centrale, dont la distance au centre de gravité est A;, car ce point de contact doit être situé dans le même angle des axes que les centres de gravité des surfaces. Si les centres des aF ne se trouvaient pas dans le même angle des axes et que, par suite, les àar=zxy6^\cY fussent de signes différents, le point de contact devrait être situé dans le même angle des axes que les âF dont le ZAz"* est le plus grand, ce qu*un simple coup d*œil jeté sur Tépure permet d'apprécier.

Nous pouvons maintenant, au moyen de A, k et t-» construire, PI. XII,,

Tellipse centrale d'après les règles développées au n* 101 (p. 377). Décrivons un demi-cercle sur les points d'intersection de la tangente -f- A; avec les deux tangentes + A et — h parallèles à z ; le point d'intersection G de ce demi-cercle et de la perpendiculaire à la tangente -f A;, menée par le

point -r , est le centre d'involution. Le demi-cercle, qui a son centre sur

-f- k^ et passe par le centre de gravité S et par le point G, détermine, par son intersection avec + k^ un point de chaque axe de l'ellipse. En rabattant, de chacun de ces points, le centre d'involution sur la tangente -f kj on obtient des points des tangentes aux sommets. Enfin, en rabattant la perpendiculaire G sur la tangente, on obtient des points des tangentes aux extrémités de l'axe y. On pourrait, en décrivant deux cercles sur les axes de rellipse, construire des polaires et des antipôles correspondants par le procédé que nous avons indiqué au n* précédent. Mais on peut construire directement ces polaires et ces antipôles au moyen du centre d'involution G, sans déterminer les axes. Soit, par exemple à construire Tantipolaire du point N ; menons, par le point N, le diamètre n\ et décrivons un cercle passant par les points n\ C et ayant son centre sur -|- k\ le point d'insersection m appartient au diamètre conjugué parallèle à Tantipolaire cherchée. Soit, au contraire, à construire l'antipôle de la droite m; menons par le centre de gravité S le diamètre parallèle m', et déterminons, au moyen d'un demi-cercle passant par G, le diamètre conjugué n\ sur lequel est situé l'antipôle cherché. Si maintenant on rabat, du point in le centre d'involution sur la tangente -|- k, on obtient un point de chaque tangente à l'extrémité du diamètre n ; les tangentes sont complètement déterminées, puisqu'elles sont parallèles à m\ et leur intersection avec n' donne deux points de la courbe. En portant perpendiculairement à n en ST, la longueur du demi-diamètre, et construisant l'angle droit NTM, le point M est l'antipôle de la droite m. La parallèle n à n , menée par ce point M, est l'antipolaire du point N.

Cette construction n*est guère plus compliquée que celle que nous avons indiquée au n* précédent, au moyen des cercles décrits sur les axes.

On obtient le noyau central en construisant les éléments antipolaires des points et des lignes formant le contour du fer cornière (PI. XIII).

Gomme Tellipse centrale n'est pas complètement située à Tintérieur du profil de la cornière, le noyau n'est pas complètement situé à Tintérieur de l'ellipse.

Nous avons représenté, PI. XIV, quelques-uns des profila de fers les plus usités, avec leurs ellipses centrales et leurs noyaux; en étudiant ces profils, on peut s'exercer à apprécier les formes de l'ellipse centrale et du noyau et à les dessiner à vue d'œil. On arrive ainsi à se rendre compte, par un simple coup d'œil, des propriétés respectives des diffé- . rentes formes de fers.

Les anciens procédés graphiques sont encore, quelquefois en usage pour construire les ellipses d'inertie et les noyaux. Quoique ces procédés soient moins commodes que ceux que nous avons exposés dans les deux numéros précédents, ils peuvent être utiles dans certaines circonstances et il convient de les faire connaître.

Nous avons construit, PI. XIY, , l'ellipse centrale au moyen de trois couples de tangentes au lieu des moments centrifuges. Décrivons des demi-cercles sur les segments interceptés sur la tangente horizontale inférieure par les deux autres couples de tangentes; leur intersection donne le centre d'involution G. Gomme dans le numéro précédent, en décrivant un demi-cercle passant par G et par l'intersection d'une parallèle à une tangente menée par le centre de gravité, on obtient un point du diamètre passant par le point de contact de cette tangente. Les directions des axes s'obtiennent au moyen d'un demi-cercle passant par G et par S. Pour déterminer la longueur du petit axe, décrivons un cercle sur le segment intercepté sur cet axe par une tangente et par l'ordonnée de son point de contact; la longueur du petit axe est égale à la longueur de la tangente menée de S à ce cercle. Si, en effet, on décrit un cercle avec la longueur de cette tangente comme rayon, le petit axe sera divisé harmoniquement par les/leux cercles, puisque ces cercles se coupent à angle droit; comme d'ailleurs le point S est situé au milieu de l'intervalle des points d'intersection du cercle décrit avec la longueur de la tangente et de l'axe, ces points sont les extrémités de cet axe.

Cette construction peut utilement Être appliquée lorsqu'on a déterminé, au moyen du planimètre des moments, trois moments d'inertie, c'est-à-dire les distances du centre de gravité à trois tangentes.

Sur la PI. XIV, , nous avons établi, entre l'ellipse centrale et le cercle décrit sur le petit aie, une relation collinéaire, telle que ces deux figures aient en commun le petit a.xe lui-même et le point à l'in&ni sur la direction du grand axe. Les abscisses des points correspondants sontalorf dans le rapport des axes. On n'a, par suite, qu'à construire la flgure correspondante au contour du profil, par rapport au cercle, en esécutanl toutes les constructions polaires par rapport à ce cercle, et à passer ensuite de cette figure à ta figure correspondante par rapport à l'ellipse. Considérons, par exemple, le point M du contour; son symétrique est M,, et le point M, correspondant à M, s'obtient au moyen de deui rayons SM, et SM, tels qu'ils coupent à la même hauteur deux tangentes parallèles au petit a.ve, menées aux corcics décrits sur les deux axes de l'ellipse. En menant de H, deux tangentes au cercle décrit sur le petit axe, on obtient ta polaire m, du point M, par rapport au cercle. En utilisant les rayons qui passent par les points de contact de ces tangentes, pour déterminer des points de l'ellipse au moyen de deux cercles concentriques décrits sur les axes (par la mëtliode bien connue, à laquelle nous avons eu souvent recours), les points obtenus sont sur l'antipolaire m du point M par rapport à l'ellipse.

La construction de la /fj/. 5 ne diO%re de celle de ta fig. 6 qu'en ce que la relation collinéaire a été établie avec le cercle décrit sur le grand axe. et non avec le cercle décrit sur le petit axe. Dans ce cas, le point .M,. d'où l'on mène deux tangentes au cercle, est te point M, , déplace parallèlement au petit axe, au lieu d'être déplacé parallèlement au grand axe. comme dans la fig. 6.

Lorsqu'on emploie un profit de fer comme poutre, ce profil doit, pour une m6me surface, présenter te plus grand moment de résistance possible et la plus grande hauteur possible pour le noyau central. Cette dernière condition a pour but de donner la plus grande sécurité possible pour l'écart entre le point d'application de la résultante des forces exlérieures et le centre de gravité, parce que, dans la plupart des cnuslructions, cette résultante ne doit pas sortir du noyau central. Le monieul

de résistance est, d'après le n* 103 (p. 390), égal à — - pF; pour une môme valeur du coefficient de résistance p, ce moment a trois dimensions ; par suite, chaque dimension devant être divisée par ^F. >i TtiLi veut rapporter le moment à la même surface, il faudra diviser la moment

lui-même par F*, ce qui donne

Cette expression représente donc un coefficient qui croît ou diminue lorsque le moment de résistance croit ou diminue, la surface du profil restant la même, ainsi que la matière employée ; ce coefficient peut par suite servir à comparer la valeur des différentes formes de profil au point de vue de la résistance.

Quant à la hauteur du noyau central, il faut la diviser par ^. Si on

désigne par c et c les distances des deux fibres les plus éloignées par

k* k* rapport au centre de gravité, la hauteur du noyau central sera 1- -d

et le rapport cherché sera

Dans les profils symétriques, c est égal à c\ dans les profils non symétriques, c est plus grand que d. Par suite, dans les premiers profils, le

coefficient fx est le double du coefficient — -=, et, dans les seconds, il est

un peu plus grand que le double. Mais, en réalité, les deux coefficients représentent une seule et même propriété, c'est-à-dire la valeur de la forme du profil au point de vue de la résistance.

Nous donnons, dans le tableau ci-après, la valeur de ces coefficients pour les différents profils construits PI. XII, XIII et XIV :

Ce tableau exprime en nombres des propriétés bien connues. Nous trouvons, comme forme du profil la plus avantageuse, le double T9 qui réunit le plus de matière possible daus les parties les plus éloignées du

Planches

Figures.

> Profils.

A»:cVF.

RaU.

ut NOMIim H8 VO^CBS PlRALLtLU.

centre de gravité, et donoe pHr suite la plus grande résistance pour une même surface. Son coenicient de résistance est 1,04, et celle valeur pourrait même être augmentée, en renforçant les ailes aux dépens de l'àine, qui a une force plus que suffisante. Au contraire, on diminuerait la valeur du coefficient en renforçant l'âme aux dépens des ailes, comme cela a lieu pour les profils J el C PL XJVms, dont les coefQcients sodI pôspectivement 0,738 el 0,712. Après ces deui profils, vient le fer Zorès 0, PI. XIV,, qui n'a, par suite de sa faible hauteur, qu'un coefficient égal à 0,522. Le fer i de la PI. XIV, a un coefficient de 0,506, presque égal à celui du fer Zorès; le rail de la PI. Xll est plus faible à cause de la grande épaisseur donnée à l'Ame; son coef&cient n'est que de 0,49. hè fer +, PI. XIV,, est beaucoup plus faible encore, car son coefficient n'est que de 0,1S1. Hais le plus désayantageuz de tons les profils est le rail plat américain Pf , PI. X1V„ dont le coefficient s'abaisse à 0,085. Pour cette forme de profil, la résistance est 13 fois plus faible que pour la forme à double T- Cependant, c'est une forme de ce genre que l'on essaye d'introduire sur certains chemins de fer allemands. Et si l'on s'informe des motifs qui ont détenniné l'adoption d'un ^e ausn mauTais, on apprend que le but principal que doit remplir ce rail n'est pas de supporter des trains, mais « d'incommoder le motni pottiMe U puàUel »

Nous devons encore appeler l'attention sur une propriété particulière. On a quelquefois essayé de renforcer la partie supérieure du fer Zorès. au moyen d'un petit renflement que noua avons représenté en pointillé sur la PI. XIV,. Si on recherche quelle est la résistance de ce fer Zorès, on trouve qu'elle est plus faible avec que sans renûement. Ainsi, l'addition d'une petite quantîlé de matière à un profil peul diminuer la résistance de ce profil. On s'explique facilement celte contradiction apparente

au moyen de l'expression — pF du moment de résistance. On voit, en

effet, que l'addition du renflement a eu pour résultat d'augmenter trèspeu A'F, et, au contraire, d'augmenter c dans une proportion relativement considérable, de sorte que cette forme donne un moment de résistance plus faible pour une niônie valeur de p.

Il n'est pas difficile d'exprimer la variation du moment de résislaniv

d'un profil de surface F par suite de l'addition d'une petite surface iF.

Désignons par l la dislance des centres de gravité des deux surfaces;

^ F + iF "

port au centre de gravité de l'ensemble des deux surfaces ; par c + ac 1.i distance de la fibre la plus éloignée de la surface F -1- iP par rapport à

ce centre de gravité; par k et k^ les hauteurs des ellipses centrales des surfaces F et AP. Le moment des ré^stance de la surface totale sera, d'après lé n* 99 (p. 370)

c + Ac

(/yAP+A'P + A'AP).

En retranchant de cette expression le moment de résistance primitif **pF : c, on obtient pour l'accroissement du moment

T/ , i.^.r. ^^,.i,\ P^'P /^y + f^l AP Ac\