O. EXTRACTION DES RACINES

Extraire une racine, c'est déterminer le rapport — quand / et m ^)

sont donnés. Cette extraction de racines ne peut pas s'opérer directement; il faut qu*on ait recours à des courbes auxiliaires, telles que les deux courbes qui ont été construites PI. I.

Dans la PI. I, nous avons formé, sur les deux côtés OL et OM de l'angle LOM, des puissances successives au moyen d'un système de parallèles et d'antiparallèles formé des dix droites ABGD...KLM. A côté du premier triangle AOB, nous avons porté un second triangle C'OB =COB, à côté de ce dernier, un troisième triangle D'OC = DOC, et ainsi de suite, de telle manière que les parallèles et antiparallèles forment un tracé continu ABC'D'...K'LM, dont le dernier côté LM coïncide avec une des droites de l'angle LOM, quand celui-ci est une division paire de la

circonférence, — par exemple dans le cas actuel.

Dans cette figure, non seulement tous les triangles fondamentaux sont semblables, mais encore les figures formées du groupement de deux^ trois ou n triangles consécutifs le sont aussi, comme étant composés de triangles semblables et semblablement placés.

Les angles LMO, KXO, l'K'O, F'G'O, sont tous égaux de môme que les angles K'MO, l'LO, H'KO, etc., et les angles l'MO = H'LO, etc. En général, sont semblables tous les triangles formés par des rayons partant de 0, et par des cordes sous-tendant le même nombre de côtés du polygone ABC'D'...K'LM, c'est-à-dire déterminant le même angle en 0.

Ces propriétés sont tout à faitindépendantes de l'angle au centre LOM du premier élément triangulaire. Elles subsistent donc encore lorsqu'on suppose cet angle infiniment petit ; la ligne polygonale devient alors une courbe, les cordes qui sous-tendent le même nombre de parties élémentaires deviennent, dans la courbe, celles qui correspondent à des angles au centre égaux ; les triangles formés par des cordes et les rayons correspondantsjsont toujours semblables, et les rayons successifs, formant le même angle entre eux, déterminent une progression géométrique.

Les longueurs de ces rayons sont dans le rapport - . Par suite, pour défi

terminer, dans le cas qui nous occupe, — , quand / et /( - J sont donnés.

il suffit de déterminer les rayons de longueur / et m — 1 et de partager

l'angle qu'ils comprennent en k parties. Les deux côtés de Tangie ainsi

formé sont dans le rapport - .

De la similitude des triangles élémentaires^ on déduit aussi que leurs troisièmes côtés forment avec les deux autres côtés des angles égaux; pour des angles au centre, infiniment petits, le troisième côté devient la tangente, d*où il résulte que toutes les tangentes forment des angles égaux avec le rayon vecteur mené par leur point de tangence. Par suite, la courbe est une spirale logarithmique.

Cette spirale logarithmique se construit facilement et exactement au moyen de sa développée et d'un certain nombre d'arcs de cercles osculateurs.

La développée F"G"H" est en elTet une spirale logarithmique de même progression. Gomme toutes les parties de la courbe F'G'H' sont semblables entre elles, il en est nécessairement de même des triangles F'OF", G'OG", H'OH'' qui sont déterminés par le point 0, l'un des trois points F'G'H' et les «entres des cercles osculateurs correspondant F"G"H''. Les rayons vecteurs 0(F"G"H") se comportent par suite comme les rayons vecteurs O(F'G'H') et forment les mêmes angles entre eux; F"G"H" est donc la même spirale que F'G'H'; elle est simplement déplacée.

Deux points quelconques F G' de la spirale logarithmique, le centre 0 et les deux points de rencontre N et N' des tangentes et des normales correspondantes se trouvent sur le môme cercle.

En effet, les angles NG'N' et NF N' sont supplémentaires, car ils sont droits tous deux; de même, les angles OG'N et OF'N sont aussi supplémentaires, car les tangentes F N et NG' coupent les rayons vecteurs OG et OF' sous le môme angle. Par suite, les deux quadrilatères N'F'NG et OFNG' sont inscriptibles et le cercle circonscrit étant, dans les deux cas, déterminé par les trois sonmicts communs F'NG', passera aussi par N' et 0. NN' est un diamètre de ce cercle, parce que les angles en F' et G' sont droits, l'angle NON' est donc aussi droit. Cette propriété subsiste encore lorsque G' se rapproche indéfiniment de F' et que ces deux points coïncident finalenent. N' vient alors se confondre avec F' et G', et N devient le centre de courbure en F' comme étant l'intersection de deux normales infiniment voisines. On en conclut que, dans la spirale logarithmique, chaque rayon de courbure FF" et G'G" est projeté du centre 0 sous un angle droit.

Cela posé, il est facile de construii'e la développée quand on conuiiit l'angle sous lequel les rayons vecteurs sont coupés par la spirale. L'angle

k]itiiai:tii>n iif.s hacinks. 29

que lu normale FF" forme avec lu rayon vecteur en est le <'nmplémenl el F" se détermine en menant OF' perpendicnlairc ù OF' et prenant son intersection avec FF".

Supposons qu'oatre le centre 0 on donne les points A et G fort éloignés l'un de l'autre [fig. 21} et qui doivent être raccordés par une même spirale.

Ci rcons<' rivons un cercle au triangle OAC. Ce cerrle contiendra, d'après <*« qui a été dit plus haut, les points N et N' de rencontre des tangentes et des normales en A el en C.

D'un point M de Iti circonférence également distant de A et 0, décrivons un deuxième cercle ponctué passant par A cl C. Ce deuxième cercle t'oupe la spirale encore une fois en un point B situé sur la bissectrice OL lie l'angle GOA.

Menons, en elTet, les perpendiculaires MQ el MP sur OA el OC et désignons para. A, c,'»),;i, y, les longueurs dos jayons 0(A,B, C, M,P, 0). Nous aurons d'abord p = 9. car tJM est liissecteur du supplément de OAB [le plus, les angles OAM, (ICM sont égaux, aiuai que tes longueurs AM el li.M ; par suite, les triangles .AMI*, (JCM le seront aussi, el nous aurons

donc

Dans le triangle UAM nous avons :

AM =CM = va' + m' + 2a/< = <Jin' + ac

:n leiianl compte de (1).

MB, dans le triangle rectangle MOB,

pour valeur \/ni*+ é* et est

30 bU CALCUL GRAPHIQUE.

égal à AM et CM comme rayon du cercle ; par suite :

)jm^ 4- ac = v^m* + A* ou A* = ac.

Le rayon OB étant moyenne proportionnelle entre OG et OA dont il divise Tangle en deux parties égales, le point B fait partie de la spirale. Au moyen de M, nous obtiendrons facilement les centres 2' et 6' des arcs de cercle AB et BG qui coupent encore la spirale sur les bissectrices 02 et 06. Ges centres se trouvent sur les perpendiculaires menées de M aux cordes AB et BG, et sur les rayons 02', 06', on trouvera les points 1 , 3\ 5\ 1' correspondants aux subdivisions. En continuant ainsi jusqu*à ce que ces subdivisions soient assez petites, nous pourrons décrire la spirale au moyen des arcs de cercle tels que AB qui se rapprochent du cercle osculateur à mesure que Ton augmente le nombre des subdivisions.

Les arcs de cercle décrits avec 2', 6' comme centres, se confondent déjà à peu près avec la spirale. Les points i , 3'> 5', 7' sont complètement situés sur la développée. Les rayons extrêmes Al', G7' se coupent, comme cela doit être, en N sur le cercle OAG et de même les tangentes en A et en G se coupent sur le même cercle en N' diamétralement opposé à N. Si Ton prolongeait la spirale du côté du centre 0, elle couperait encore le cercle OAG en un nombre infini de points réels (deux fois par chaque rotation autour du centre) ; toutes les tangentes aux points d'intersection passeraient par N', toutes les normales par N.

Enfin, si par di>ux de ces points d'intersection Ton mène un cercle dont le centre soit situé sur le cercle OAG, ce nouveau cercle coupera une fois la spirale entre les deux points, sur le rayon bissecteur de Tangle au centre entre ces deux points. Deux de ces cercles sont représentés dans la fig. 27. A part les trois points d'intersection considérés, ils n'ont aucun autre point réel commun avec la spirale. Ge cercle devient osculateur lorsque les trois points se confondent.

Si au lieu de donner deux points A et G assez éloignés , on donnait (PI. I) deux points P'G' assez rapprochés pour que la spirale puisse être remplacée dans l'intenalle par un arc de cercle, on déterminerait le centre N' de cet arc en remarquant quil doit se trouver à l'extrémité du diamètre du cercle G'F'O perpendiculaire à la corde F'G'. En déterminant de cette manière le centre d'un élément suivant G'H', c'est-à-dire en traçant un cercle H'G'O et déterminant son intersection P' avec le diamètre perpendiculaire à la corde H'G', les points PNG' seront en ligne droite (dans le cas où les portions de courbe F'G , G'H' pourront être remplacées par des portions d'arc de cercle). Si donc on détermine exactement un centre de courbure N', le suivant P' et tous les autres

EXTRACTION DES RACINES. 3i

peuvent facilement être déterminés en formant un triangle G'OP semblable à F'ON' et ainsi de suite.

Un moyen plus simple encore consiste à calculer Tangle a sous lequel la spirale coupe les rayons vecteurs. L'équation de la spirale logarithmique esl :

e — e' = tgaîgn. "

d, 0', M, u représentant deux azimuts avec les rayons vecteurs qui leur correspondent. Ces 4 quantités étant données, on peut calculer tg a qui est aussi le rapport constant des longueurs de 2 rayons perpendiculaires Tun à Tautre qui projettent, comme nous Tavons vu plus haut, le rayon de courbure d'un point quelconque de la courbe, et ce rapport suffit pour construire la spirale d'après la méthode indiquée. Posons dans cette équation,

el

Dous obtiendrons une spirale telle qu'en faisant tourner les rayons de

trois angles droits ils augmentent dans la même proportion que ceux

qui projettent les rayons de courbure, c'est-à-dire que les centres de

courôwe de la spirale construite avec cette valeur de tg a se trouvent

sur la spirale elle-même qui par suite est sa propre développée, PL I,.

Dès qu'une portion de cette courbe est construite dans un angle de

—- , il suffit, pour l'achever, de placer le centre des arcs sur la courbe

elle-même. Les normales et les rayons de courbure UT, TS et SO sont

en môme temps les tangentes.

De l'équation

^ 7C = tg a Ig n. tg a

un tire par des essais successifs, l'angle sous lequel la courbe coupe les rayons vecteurs, c'est-à-dire le rapport des rayons vecteurs.

HU SO TO . .».,...„o.

ttra= — = — = — etc. = 3,6441734.