MOMENTS D*UN TRONC DE PYRAMIDE OU DE CÔNE A BASES NON PARALLÈLES

Si ron forme sépartaent les moments de chaque pyramide, qa*oii les retranche Tun de l'autre et qn-on divise le résultat par le volume du tronc de pyramide, ce

qui fait disparaître 3' et 3^, on obtient les coordonnés du centre de gravité :

et les dimensions de TellipsoYde d*inertié sont :

20 A = Sy-XS",.^ 80B=^'"^~\^"", 20C=2i2^^HÎ!,

Par suite de la présence du facteur X, il n*est pas possible de réunir ou de simplifier 8' et . S", et Ton voit qu'en général tous les moments devront être calculés comme la difTérenoe entre les moments des deux pyramides. Il en sera ainsi toutes les fois qu'il n'existera pas des ](tipports particuliers entre les cooxllonnées.

b) M omeiiU d'un tronc de cône dn second degré a bases non parallèles.

Pour les motifs indiqués p. 467, nous nous bornerons À montrer comment on doit procéder pour déterminer les moments des deux bases d'un tronc de cône du second degré. Au moyen de ces moments, nous pourrons, d'après le n* 121 (p. 462)^. . déterminer les moments des deux cônes, et la différence de ces derniers moments* ' donnera le moment dn tronc de cône. Nous pouvons, d'après ce qui a. été ditp.40Ô9 disposer arbitrairement de la position du plan xy, et, par suite, nous prendrons pour ce plan, le plan polaire du point à Pinflni de l'axe des i. Les équations des sections du cône par les plans s' = a et y" = 6 devront dès lors être de la forme

Si l'une de ces équations est donnée, l'autre s'en déduira facilement par la substitution des valeurs des variables données ci-dessus. Si, par exemple, la première ^nation est donnée, et qu'on y substitue

az" ab

ou obtient

En comparant les coefficients de cette dernière équation avec ceux de l'équation <H>rre8pondante ci-dessus, on trouve que les coefficients a' et a" sont liés par les restions suivantes :

Au moyen de ces relations, on peut, d'après le n* 111 (/, calculer les moments de

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chaque bâte du tronc da cilne, puis, d'après le n' 4117, les moments dM deux c6o»s. et retrancher coa derniera moment". On di^termine enfin lea dimanainns de rdlipsolde d'inertie.

Nous noua dispenserons de développer davantB^ ces calcula, ijui se préBenteni it dans la pratique.

INENTS DE QUELQUES RLLIPSOIdES.

II est 1res rare que l'on ail à délerminer les moments de corps dont la surface s'étend à l'inlini dans toutes les directions ; par contre, il arrive fréquemment que l'on a à résoudre ce problème pour des corps qui soni coupés, suivant des ellipses semblables, par tous les plans parallMes à un plan déterminé. Si nous bornons nos recherches au cas où les centres de toutes ces ellipses sont sur une même ligue droite, nous pourrons représenter d'une manière générale la surface de ces corps par l'équation :

dans laquelle « représente une l'onctiou de x n'ayant pas de dimension. Les axes et la surface de l'ellipse dont l'abscisse est x sont :

Le volume d'un corps engendré par cette surface et terminé par Acu\ surfaces planes est égal à :

le signe \ devant être pris entre les abscisses des surfaces planes qui limitent le corps.

Le centre de gravité de l'ellipsoïde est situé sur l'axe des x; son abscisse est donnée par l'équation :

Fxdx = È<?Jt \ uxdx.

En ce qui concerne les moments centrifuges, A est égal à 0 parce quf les axes br sont conjugués, et que par suite le moment A de chaque élément de surface est nul; 6 et C sont aussi égaux à 0, parce que le centre de gravité de chaque élément est situe sur l'axe des x; les autres