MOMENTS D£ QUELQUES ELLIPSOÏDES
moments seront
3R« = \ Yx^dx = bcK \ ux^dx,
Pour Tellipsolde ordinaire :
or
3 = 6cirJ«fa = a6c«(^-^), M. = Ac« 5 «xdr = a»*c« (^, - ^) .
aR»
Si Ton prend pour limites de la somme x = — a et x = + a, on obtient les résultats suivants :
3 = -aé(!ic, M,=0,
— a*bc TU, 44,^ = ^ ab^ci:, 43„ = ^
^^a, ^1» c, représentent les longueurs des diamètres de Tellipsoïde ^''inertie qui, dans ce cas, coïncide avec Tellipsoïde central. Cet ^Xlipsoïde est semblable à Tellipsoîde donné et ses dimensions sont à ^^^Ues de cet ellipsoïde dans le rapport :
Le plan antipolaire du point, dont l'abscisse est égale à a, coupe Taxe «s X à la distance :
Le noyau est par suite aussi un ellipsoïde qui est semblable à l'ellip-
rat MOMENTS DE6 FOnCRH PAlUUfiLES,
soïde donné el qui occupe à l'intérieur de cet ellipsoïde le cinquième des dimensions linéaires.
En comparant ces relations aux relations correspondantes du tétraèdre, on constate une concordance remarquable {voir n" 122, p. 466), Cette concordance n'est pas fortuite; elle est la conséquence d'une propriété, sur laquelle nous avons déjà appelé l'attention au n* 97 (p. 364}. Celte propriété consiste en ce que les surfaces des sections d'nn ellipsoïde, dont deux diamètres conjugués sont égaux et parallèles i deux arâtes opposées d'un tétraèdre, eL dont le troisième diamëlfe conjugué est la droite qui joint les milieux de tes arêtes sont, avec les surfaces des sections correspondantes du tétraèdre, dans le rapport Tt : I. II en résulte que les segments interceptés par l'ellipsoïde d'inertie et le noyau, sur un de ces diamètres, dans les deux corps sont égaux.
Les formules précédentes peuvent s'appliquer à l'hyperboloïde à une nappe (surface réglée), en remplaçant +a* par — a'; tous les termes négatifs des équations précédentes deviennent positifs, et nous pouvons nous dispenser d'écrire les nouvelles équations. Sur l'axe des x il n'y a aucun point de la surface, caj cet axe roupe la surface aux points imaginaires ±ai\ la substitution de a à sr n'a donc pas de but et ne donne aucun résultat.
Pour l'hyperboloïde à deux nappes, on a :
Cet hyperboloïde coupe l'axe des x aux points a; = ± a; y et : ne prennent des valeurs réelles que pour les valeurs de x qui ne sont pas comprises entre — a et + a- H faut par suite limiter l'intégration à l'unie des deux nappes. Nous roffectuerons pour le côté des x positifs, en déterminant la constantes d'intégration de chaque intégrale, de telle façor». que cette intégrale soit égale à 0 pour ar ^ 4- a.
Nous obtiendrons alors pour cet hyperboloïde :
