FORGES PROPORTIONNELLES A DES LONGUEURS

On obtient des forces proportionnelles- à des longueurs, en exprimant les efforts que subissent les éléments d*un corps, sollicité par des forces quelconques.

Alors même que ces efforts varient pour des points du corps, situés à des distances finies les uns des autres, on peut les supposer constants pour un élément infiniment petit de l'espace, et, dès lors, dans ces limites les théories que nous allons exposer seront tout à fait générales.

Nous admettrons tout d*abord que les efforts produits sur le corps ne changent pas, lorsqu'on suit une certaine direction. Dès lors, si l'on coupe le corps par des plans parallèles, normaux à cette direction, il faudra que les forces extérieures agissant sur ces plans soient les mômes pour chacune de ces sections. Dans la plupart des cas qui se présentent dans la pratique, ces forces sont nulles; c'est ce qui a lieu, par exemple, lorsque la flexion d'une poutre se produit dans un plan.

En faisant cette hypothèse, nous pouvons, pour le moment, nous borner à étudier un élément limité par deux plans parallèles, distants de l'unité de longueur.

Si Ton coupe un pareil corps par des plans comprenant la direction dont nous avons parié et normaux par suite aux deux plans parallèles, toutes les forces extérieures à ces sections agiront dans un troisième pian parallèle, situé à égale distance dé ces deux plans, et ces forces seront proportionnelles aux longueurs des sections.

Gela posé, toutes les compositions de forces pourront s'effectuer dans ce plan intermédiaire, et c'est ce plan que nous considérerons en étudiant les forces proportionnelles à des longueurs dans un plan.

irsque des Torcea sont proportionnelles aui longueurs des lignes sur aelles plies agissent, elles passent toujours par les milieux de ces tes. Par suite, la direction d'une force S, agissant sur un élément * ise direction quelconque, est déterminée quand l'on connaît les directions de deux forces A et B qui agissent %ut ^^- '«'■ deux autres éléments a et A. Construisons en

effet {/ig. 187) un triangle élémentaire, dont les trois côtés soient parallèles aux directions des éléments considérés, et menons, par les milieux des deux eûtes a et b, des parallèles aux directions des forces A et B; la troisième force S devra passer par l'intersection de A et de B et par te milieu de S; sa direction est par suite entièrement déterminée. — Cette construction donne aussi le rapport des trois forces A, B et S; elles sont entre elles comme les côtés du triangle indiqué en traits de force sur la ligure ; la grandeur d'une seule des trois forces est donc arbitraire, et le choix de cette grandeur détermine celle des deux autres.

Quelque simple que soit la construction indiquée (fîg. 187). il est souvent plus commode, dans la pratique, d'exprimer la relation qui lie A et B de la manière suivante. Décomposons les forces A et B, en leurs points d'intersection avec les côtés a et b, suivant les deux directions a et b: les deux composantes Ap et Bp, qui agissent sur les côtés a et b, passeront par le milieu de s. Par suite, puisque la résultante des quatre forces AsAaDplig doit passer par ce point, il faut aussi que celle des deux forces AoBa qui agissent suivant les cftlés n et 6. y passe elle-tneme. Mais, pour que cette condition soit remplie, il faut que ces forces soient entre elles comme les côtés du petit parallélogramme dessiné sur la figure, côtés qui sont proportionnels aux longueurs a et b. Il faut, par suite, que l'on ait :

Ce rapport, que nous désignerons par o. représente la grandeur desforces qui agissent par unité de surface suivant les côtés a et b. La relation qui lie deux forces A et B, agissant sur des sections a et A, peut. donc s'énoncer de la manière suivante :

Si l'on décompose les forces çui agissent sur deux surfaces égales (sur" [unité de surface) de deux sections a el b, suivant les directions de a et de b. les composantes agissant suivant /es sections a el b, sont égales entre elles.

Celte condition est nécessaire et sullisanle pour que deux forces A

FORCES PROPORTIONIfELLES A DES LONGUEURS. 479

et B puissent être cotisidérées comme les efi'if- iS8. fopts que subit un point matériel suivant deux

directions a et b.

Il va de soi que si, partant des deux forces A et B qui agissent sur les directions a et 6 (fig. 188), on détermine les forces G et D qui sollicitent les directions c et d^ et qu*on déduise de ces deux dernières la force S qui agit sur une cinquième direction 5, on trouvera le même résultat qu*en déterminant S au moyen des deux premières forces A et 6. Si, en effet, il n*en était pas ainsi, les résultats de nos constructions n'exprimeraient pas un état d'équilibre.

Ce théorème nous permet de choisir les directions a et 6 de manière à simplifier les constructions. Nous en donnons ici, à cause de son importance, une autre démonstration, quoique évidemment cette.démonstration ne puisse être qu*une juxtapositiOD d*identités.

Si Dous exprimons Péquilibre des forces A, B + B] +Bty S de la manière indiquée n* 43 (p. 159) par Téqnation

A + B4-B, + B, + S = 0, et si nous indiquons par Téquation

C = A + B que C est la résultante de A et de B, nous aurons à démontrer que la valeur de S,

tirée de Téquation précédente^ est égale à — ^ S] ; la force Si, parallèle à S, ,étant

Bi

obtenue au moyen de Téquation :

C + D-fD, + Si = 0.

Car les lon^nieurs des lignes^ sur lesquelles agissent S et S], sont entre elles comme celles que sollicitent Bi et B,, lorsque les directions s sont parallèles. Retranchant de la première équation qui détermine S^ Téquation

qui exprime que D s^obtient au moyen de A, B et B] , il viendra :

Retranchant, de même, Téquation

C+B, 4-D = 0 de Téquation qui donne S^ , il viendra :

S, = Bj — D, .

Or