INTOLUTION DES DIRECTIONS CONJUGUÉES DES FORCES ET DES SECTIONS

Gela posé, les longueurs des axes peuvent se déterminer facilement au moyen d'un point quelconque G de Tellipse des forces. Traçons en effet les coordonnées du poiiit G par rapport aux axes, diminuons Tabscisse dans le rapport du petit axe au grand axe, et augmentons l'ordonnée dans le rapport inverse, nous obtiendrons les longueurs cherchées, comme distances des points ainsi obtenus au centre 0.

Pour des sections faites suivant les rayons doubles d, la direction de la force coïncide avec celle de la section. On voit que de pareilles sections ne sont sollicitées que par des efforts tranchants. Les deux rayons doubles faisant les mêmes angles avec les axes, les efforts tranchants seront égaux pour ces directions. Toutes les directions conjuguées de forces et de sections sont divisées harmoniquement par les rayons doubles. Deux quelconques de ces directions conjuguées, situées de part et d'autre d'un rayon double et considérées comme sections, sont sollicitées d'une manière inverse l'une de l'autre. Par suite, les rayons doubles séparent les sections comprimées par les forces extérieures, de celles qui subissent une tension.

Lorsque p^ et p, ont le même signe (fig. 192), le point G est situé à rintérieur du demi-cercle décrit sur AB. Ge demi-cercle coupe alors, sur une perpendiculaire GP à AB, la puissance GP de Tinvolution. Le cercle qui passe par 0, par P et dont le centre se trouve sur AB, détermine sur cette ligne, des points appartenant aux axes, et la longueur de ces axes peut s'obtenir par la méthode employée {fig. 191). Un angle droite quelconque, dont le sommet est en P, détermine sur AB des poiats appartenant à deux rayons conjugués. Il n'existe, dans ce cas, aucun rayon double, c'est-à-dire aucune direction qui ne soit sollicitée que par des efforts tranchants; et la matière, est, par suite, soumise dans toutes les directions à des efforts de même sens.

Nous avons indiqué sur la fig, 192, comme nous l'avons fait sur la fig. 191, les diamètres conjugués égaux de l'ellipse des forces; ces diamètres correspondent aux bissectrices de l'angle des axes.

Si enfin les forces qui agissent sur deux sections différentes étaient parallèles, les forces agissant sur toutes les autres sections seraient également parallèles à celles-ci. A une section faite suivant la direction de ces forces, correspondrait une force égale à zéro, dont la direction serait indéterminée; par suite aussi, à une direction quelconque des forces, autre que la direction ci-dessus, correspond une seule et même direction des sections. Dans ce cas, les deux rayons doubles coïncident; c'est ce qui a lieu, par exemple, lorsque les surfaces terminales de corps prisinatiques sont chargées uniformément. G 'est ainsi que, pour un prisme en bois, lorsque la direction de ces forces est celle des fibres, qui offrent

iB6 ÉLËHE^T8 DE LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ.

peu de résistance à un effort tranchant, on voit Ir pièce se fendre suivant ces directions, avant que chaque flbrc ne lléchisse.

Nous allons résumer les résultats auxquels nous sommes arrivés :

Lorsque les forces ywi" agissent sur les sections d'un corps sttnl proportionnelles aux longueurs de ces sections, et que ion détermine, pottr chaqae section tCiin fniscetiu, la force qui lui correspond pur unité de longueur, ces forces, portées en grandeur et en direction, à partir du sommet du faisceau, formeront avec les sections un faisceau en involution. A une section correspondra comme direction conjuguée celle de la force qui la sollicite.

Les extrèiiatés de toutes les forces sont situées sur irae ellipse dont les axes coïncident avec ceux de l'involuHon,

A des sections rectangulaires con-espondent comme forces, des diamt-lra conjugués de Pellipse, et en particulier, aux bissectrices des axes, convspimdent les diamètres conjugués égaux.

Lorsque Cinmlution a deux rations doubles qui, }mr suite, divisent lianminiquement tous les rayons conjugués et fonneM des angle» égmix avec In nxes, les forces qui sollicitent les sections, faites suivant ces ramona, sont égala entre elles el se réduisent à des efforts tranchants. Ces rai/ons doubles séparent les sections qui sont soumises li des compressions, de celles qui sont «^ mises a des tensions. Chacun des deux angles des rayons doubles contient M axe, pour la direction duquel l'effort est un maximum au un minimum; ctl effort est normal à la direction de chaque axe et ne donne lieu à aucun effvl tranchant.

L'/rsque rini;olHtion n'a pas de rai/ons doubles, il n'existe aucune se'-iH'H qui ne soit soumise qu'à des efforts tranchants. Toutes les seclions sont sm'mises l'i des efforts de même sens. L'effort maximum se produit suivant In 'direction du grand axe, et l'effort minimum suivant la direction du petit n-ff- Aucun effort tranchant n'agit suivant la direction des axes.

Lorsque les rayons doubles se confondent, el coïncident par suite, fli'^' l'un des axes, la force qui agit sur une section quelconque est toujoun <lirigée fuivant cet axe. L'ellipse des forces se réduit n la droite des raf}"f doubles, et, dans la direction de cette droite, la matière est A la fuis sumi'i il un effort tranchant et ô une compression ou à une tension; normaleme»' " cette direction, elle n'est soumise qu'A une compression ou à une tension."" bien, elle n'est soumise l'i aucun effort.

127. TONSTHL'CTION GKNftlULi: HIC L.\ FOnCK AGISSANT SUR CNK SKClW^ (lUKLCONyUK.

II était simple el commode, pour étudier les relations générales i|iii existent entre les sections et les forces agissant sur ces seelions. de P^'"'

CONSTRUCTION GÉNÉRALE DE LA FORCE AGISSANT SUR UNE SECTION QUELCONQUE. 437

tir de deux directions conjuguées ; mais, dans la pratique, on ne connait pas, à priori, deux directions pareilles, mais seulement les forces agissant sur deux sections quelconques, et c'est avec ces données qu'il faut résoudre le problème. Nous allons en donner la solution. Soit, fig. 193, un triangle élémentaire dont les côtés sont entre eux

F!g. in.

comme les longueurs 1 ^ et y, et supposons données, les forces agissant par unité de surface, sur les côtés 1 et p. Décomposons chacune de ces forces en deux composantes suivant les directions 1 et p. Soient pj et or^ les composantes qui agissent, sur et suivant le côté 1 ; la composante agissant suivant p, sera aussi égale à c, par unité de surface, et, par suite, égale à par, pour la surface entière; enfin la force qui agit sur p, serapp,, p, étant celle qui agit par unité de surface. Quant à la force cherchée, qui agit sur le 3* côté y, décomposons-la d'abord en deux composantes Yp' et ^a , faisant entre elles le même angle que p^ et or, ; puis en deux composantes "^fp et yor normales entre elles. Ces deux décomposilions sont indiquées fig. 193, mais il faut remarquer qu'elles ne peuvent pas avoir lieu simultanément. Le but de la construction est de déterminer les forces or et p qui agissent, par unité de surface, sur et suivant chaque direction de y-

Lorsqu'on change la direction et la grandeur de y, le côté 1 reste fixe, tandis que la grandeur de p varie^ sa direction étant constante. On voit

iSS ëLtUENTS DE LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ.

que les forces p, et a, sont constantes, pendant que les autres forces varient. Puisque, d'après !e n* 124 (p. Ml), les six forces que nous avons à considérer passent par le milieu de y. c'est-à-dire par un point connu, il nous suSira de porter les quatre forces données, l'une à la suite de l'antre, suivant un polygone des forces, et de mener, par les extrémités de la ligne polygonale ainsi obtenue, des parallèles aux directions des forces qui agissent sur f, pour obtenir la grandeur de ces dernières. Au milieu de la ligne polygonale, se trouvent les deux forces constantes o, et p[ (/îg. 194 et !95). Avant a, nous avons porté Po,. et après p. , pp,.

Pour obtenir fis, en grandeur et en direction, nous prolongeons o, vers le bas, d'une quantité égale à elle-même jusqu'en S, et nous construisons. avec ce nouveau s, (pointillé) comme côté, un trianple semblable h celui de la fig. 193. Dans ce triangle, le côté parallèle à p aura évidemmen( une longueur pa, . Nous construirons de la même manière la longueur 8p, , ii l'extrémité de p,. Portons d'abord, à cette extrémité, la grandeur de p, sur une direction formant avec a, , et par suite avec pp,, le même anjîle que p,, puis construisons avec ce p, comme côté, un second Irianple semblable à celui de la fig. 193; le côté de ce triangle, parallèle h a,, nous donnera la longueur cherchée Pp,, Prolongeons enfin, dans les triangles que nous venons de construire, les troisièmes côtés, qui correspondent h Y jusqu'à leur intersection Q; ces côtés fermeront le polygone des forces p», , o, . p^ et p, , et seront, par suite, égaux à yo' et ip. car ^e■

CONSTRCCTION GÉNÉRALE DE LA FORCE AGISSANT SUR CNE SECTION QUELCONQUE. 489

passe par rorigine du polygone et est parallèle à y, et yp' forme avec y'' » comme tous les côtés correspondants des deux triangles, le même angle que Pi avec <j,. En menant enfin par le point Q des parallèles à or, et p, , jusqu*auz forces p<j, et ^p,, on obtiendra, par suite de la similitude des triangles IPy îiiosi formés, les grandeurs de <j' et de p.

Si Ton fait varier la direction de y» les droites '^9 et yp' formeront toujours entre elles Tangle constant de <j, avec p, , et, comme ces deux droites passent par les extrémités fixes de a, et de Pj , leur intersection Q décrira le cercle pointillé dans chacune des fig. 194 et 195. Ce cercle passe aussi par l'intersection de <Jj et de p, , ces dernières droites correspondant à une direction p ^0. Son centre est situé sur la perpendiculaire abaissée du point d'intersection 0 des deux lignes p^, et Pp, sur or^ , puisque la corde <j, entière, est égale à 2or, +2 fois la projection de p, sur

df , et que la distance du point S à cette perpendiculaire est égale à or, -f^ foîs cette projection. La perpendiculaire divisant la corde en deux parties

égales est un diamètre. Nous pouvons donc dire que p' et 9 sont les coordonnées du cercle par rapport aux axes p^^ et Pp, , coordonnées mesurées parallèlement à or, et p,.

L'angle constant, que forment les coordonnées p et 9 , est égal à celui de p^ et de <Jj , et par suite aussi égal à celui des forces pV elles-mêmes. La droite A'B', qui les sous-tend, représente donc la grandeur de la force qui agit sur la section y* En prolongeant 9 jusqu*en A, sur le diamètre qui passe par 0 et en abaissant du point Q une perpendiculaire QB sur ?p,, nous aurons AB = A'B', car A'A = B'B, puisque p, et p, forment le même angle avec or^. Les coordonnées rectangulaires pa d*un point Q du ce7'cle^ par rapport aux axes OA, OB, sont donc les forces qui agissent par unité de surface^ tune normalement^ Vautre tangentiellementy sur la direction ?iQ^ et la distance du point Q à V origine des coordonnées 0 est égale à la résultante agissant sur y par unité de surface. On a, en effet : OQ = AB. Pour obtenir cette force AB dans sa position réelle, il faudrait faire tourner Tangle AQB de manière que le côté AQ coïncidât avec y- On trouvera plus simplement cette direction, en se rappelant que les seclion et les forces correspondantes, forment une involution* pour les rayons doubles de laquelle, p est égal à zéro. Les rayons doubles sont, par suite, dans la fig, 194, les rayons 4 qui joignent S aux intersections du cercle avec OB. Le centre de Tinvolution est le pôle G de la ligne OB ; deux rayons joignant S aux intersections du cercle avec une sécante partant de C, sont conjugués, et, en particulier les rayons 1 1, qui passent par les intersections du cercle avec le diamètre OC, sont les axes de cette involution, en même temps que ceux de l'ellipse des forces. Cette dernière se construira en portant sur chaque rayon, à partir de son origine

A étant la force qui agit sur la section a (fig. 189), fa force B qui agit tttr iwe sec lion parallèle n A est parallèle d a. Deux directions qui se rorreupon' dent de celle manière, et dont chacune eit la direction de la force qui agit sur une section parallèle à Vautre, sont appelées directions conjuguées.

Si l'on décompose, en effet, la force A suivant les directioDs a et b. il faudra que la composante suivant a soit égale à zéro, puisque b est parallèle à A, et, dès lors, la composante de B, suivant la direction b, sera nulle aussi {p. 478), c'est-à-dire que B sera parallèle à a. Nous verrons plus tard que toutes les directions ainsi conjuguées forment un faisceau en involution, ce qui justifie l'expression de directions conjuguées.

lis. GBAflDBURS ET DIRECTIONS DES FORCES QUI AGISSENT SUR LES DIVERSES SKCTIONS. FAITES. FAB DN POIST.

Nous avons démontré dans le paragraphe précédent, que l'on peut se servir de deux sections quelconques, pour déterminer la force qui ajpt

UHANDBURS F.T UIRECTIONS DES FORCEtl. 481

sur une troisième; nous supposerons par suite donDëes, les forces qui sollicitent deux directions conjuguées, hypothèse qui nous permettra de déterminer le plus simplement possible les relations qui existent entre les diverses sections et les efforts qu'elles subissent.

Soient [fig. 189 et 190) deux directions conjuguées a et b, et soient p, et pj les forces qui les sollicitent par unité de longueur (ou par unité de surface). Portons ces deux forces sur une droite AGB, de manière que AB soit égal à p, + p, , c'est-à-dire égal à la somme des deux forces {fig. 189), lorsque leur effet est de même sens (c'est-à-dire produit une tension on une compression) pour les sections élémentaires, sur lesquelles elles agissent, et, de manière que AB soit égal à p, — p,, c'est-à-dire à leur différence, lorsque» comme dans la fig. 190, ces effets sont de sens con- ''K- '*•■ traire. Déterminons ensuite,

sur a et b, deux points A et B, tels que leur distance soit égale à p, =t p, , et que la direction AB soit parallèle à celle d'une troisième section, sollicitée par une force inconnue que nous allons chercher. Cela fait, permutons les segmentsOAetOB, de manière que OA' = OB = 6 et que OB'=OAssa; dans cette nouvelle position Aï' de la droite AB, le point C, qui - sépare les deux segments p, et p, , est tel que la droite OC' représente en grandeur et en direction la force p, qui agit sur AB par unité de longueur.

Soient, en effet, x et t les composantes OD et DG' de OC suivant les a et b, on aura :

OD X p, B'C OA'~ft~p, + p,""BT' ■ DG i ' p, A'C' OB'—â^p, -|-p, " A'B'"

Or dp, et dp, sont les forces totales B et A, qui parallèlement à a et à 6; on aura par suite :

482 ÉLÉSESTS DE L* THÉORIF, DE L'ÉUSTlC'TÈ.

Soil R la résultante des forces A et B, résultant* qui agit sur u gueur AB = p, + p,, il viendra, en composant les deux forces x i

OC est donc la force, par unité de longueur, qui sollicite la direction AB.

On obtient le même résultat dans le cas où les deux forces données p, et p, produisent sur les sections a et â des effets de sens différents; il suffit (voir yîj. 190) de remplacer +p, par — p,, Bt de répéter les mômes opérations.

Ces constructions sont identiques avec la construction bien connue de l'ellipse, au moyen d'une droite de longueur constante, dont les extrémités glissent sur deux axes. Par suite : Si l'on porte ù partir iVun mêvie point les forcespar unité de longueur, qui agissent sur les différentes directions passant par ce point, le lieu des extrémités du ces forces est une ellipse. Cette ellipse s'appelle ellipse des forces.

Les parallèles, menées par C à ri el b, déterminent sur une parallèle menée par 0 à A'B', des points A' et B", tels que A"OB" soit congruenl avec ABC. Le cercle circonscrit au triangle A''C'B" a dès lors un rayon constant pour les diverses positions de C, car la corde A"B' et l'angle A"C'B'' qu'elle sous-lend restent constants. On voit que le point C, tout en décrivant l'ellipse, se meut sur un cercle invariablement fixé à la droite A"OB". Il en résulte que les longueurs ÙM, ON, mesurées sur le diamètre MON qui passe par le point 0, sont les longueurs des demiaxes de l'ellipse; la direction de ces axes est celle des droites CM et C'N, car si Ton donne l'une de ces directions au diamètre OM, le poiiil C vient se confondre avec le point le plus éloigné de 0, soit M, ou avec le plus rapproché N.

D'après ce que nous venons de dire, la construction de l'ellipse des forces peut se faire au moyen de la méthode ordinaire : du centre 0, avec les demi-axes OM, ON pris comme rayons, on décrira des circonférences: des rayons quelconques, parallèles aux directions A"B", rencontreront les deux circonférences en des points dont les coordonnées, par rapport au grand axe et au petit axe, se couperont en un point de l'ellipse. On sait que, dans cette construction, deux points do l'ellipse provenant de deux rayons rectangulaires sont les extrémités de deux diamètres conjugués. Or, si l'on fait tourner AB {fig. 18» et 190) de 90 degrés, A'B' et A'B" tourneront en sens inverse, du même angle; par suite : à deux sectimis rectangulaires correspondent comme forces, dans l'ellipse des forces, deux diamètres conjugués.