ET DES SECTIONS

Soient x, = le coefficient angulaire de la section AB {fig, 189) et

T, = - , celui de la force qui sollicite cette section ; on obtiendra, en di-

visant Tune par Tautre, les valeurs trouvées pour x et t dans le numéro précédent :

xa * • p,

Par suite : Les rayons conjugues forment un faisceau en involution.

Cette involution ne coïncide pas avec celles des diamètres conjugués de Tellipse, que nous avons construite dans le numéro précédent, car au diamètre a^ ne correspond pas dans cette ellipse le diamètre dont la direction est 6, mais bien le diamètre OG, que Ton obtient en plaçant AB normalement ha; il en est de même pour le diamètre b. Deux involutions ne peuvent avoir qu'un seul couple de rayons conjugués communs; dans le cas actuel, ces rayons communs sont les rayons rectan]gulaires ou les axes dé chaque involution. En effet, si Ton suppose connus a priori les axes des directions conjuguées des forces et des sections, et si Ton répète, en partant de ces deux directions rectangulaires, les constructions des fig. 189 ou 190, l'angle aOb sera droit, et Oa, Oé seront les axes de Tellipse. Donc : Les axes de Vellipse des forces sont des rayons conjugués de t involution des forces et des sections. Sur une section faite dans la direction de Vun de ces axes, agit une force normale qui est un maximum ou un minimum par rapport à celles qui agissent sur toutes les autres sections. L* effort tranchant est nul dans la direction des axes^ et c'est suivant ces directions qu'a lieu la transmission directe des pressions ou tensions.

L'involution t,t, nous permet de simplifier les constructions du numéro précédent. Portons (fig. 191 et 192) sur la direction a une longueur OC = p,, et à partir de G, des longueurs CA = pj et CB = p, dans un même sens (fig, 191) si p, et p, ont des signes difTérents, et en sens contraire {fig. 192) si p, et p, ont le môme signe. De cette manière A et B sont les points qui doivent glisser sur a et 6, pour que G décrive l'ellipse des forces. OA et OB forment, dès lors, un deuxième couple de l'involu-

tion, car le coefficient angulaire du rayon OB, bissecteur de l'angle ah est T, = ~ = 1, et celui du rayon OA est x, = — —, d'où x^x, = — ^.

Pi Pi Pt

HC AUMESTB de U TBltOHII BB l-'ËLAITICITÉ,

inUrseclion avec AC donnera la poînl v^ de la traco v du c6ne cherché. Nous obtiendrons de même lo point ni; de lu tiuce da rayoD corrMponùml & (0)A; il sera situe au point de rencontre de CB avec la droite UV, perpendiculaire à OA.

Nouï avons vu que dans l'involuLion délerrninée finr AB, le point H, était conjugua du point à l'infini ; par suite, le laynD mené par G, parallèlement k AB, coupera sur le rayon mené par V, normalement à OM,, as nouveau point v^ de la trace du cûneu; U en est de mAne du poiotv., intersection du rayon CM^M et de la perpendiculaire VO. lia courbe déterminée par ces points est une conique ; en effet, les rayons partant de V Eont perpendiculaires aux rayons deO, ceux partant de 0 et de G sont projecUrs, commu j)rnji>iaut ik'.< p"inU coiijtj^'ués ^ur AB, par anite, les rftfons pATtant da V et de C le sont auasi. On voit que le> Horamets V et C de ces deux derniers faisceaux sont situés sur la courbe v. Chaque couple de points conjugués sur AB donne deux nouveaux points de o; ^aii, dans un cas comme le nbtre, où le point 0 est situé dans le dessin tout près de la ligne AB, et oîi les rayons quelquefois assez longe partant de V, ne peuvent pas être tracés très exactemeat, il est préférshle de SB servir de six pointa déjk déterminés, qui proviennent de lignes asseï liHigues dans le dessin, et d'achever la conique d'après la méthode ordinaire, au moyen des ponctuelles projectives.

I<a courbe u, qui conespond aux points conjugués de la ligne AC, passe par les points BUu,((i(i)m^«„. que l'on détermine romnrie les précédents. Le point (0*1) est commun aux deux courbes u el r. Ces courbes se coupent, en outre, en trois points XYK qui sont les traces des axes. Désignant par Z celle des traces qui est située à l'intérieur de l'hyperbole directrice, les lignes XZ el Y/ seront coupés par l'hyperbole, (« qui n'aura pas lieu pour XY. Le point 0 doit 6lre l'intersection des hauteurs du triangle XYZ.

La courbe directrice des sections et des forces détermine une involution sur chaque côté du triangle .\Y'Z. Dans l'involution sur XY, le? intersections de s avec cette ligne sont leurs propres conjugués; lerayons <(ui joignent Z k chacun des autres points ABCM que nous connaissons, déterminent sur XY des points conjugués aux inierseclions avec XY' des polaires corrospondanles. En particulier, ic rayon MZ détermine sur XY' le centre de l'involution. Tous les demi-cercles dont les extrémités passent par deux points conjugués, se coupent en un point J, de la perpendiculaire MJ, à XY et l'on peut dire que deux points conjugués quelconques sont projetés du point J, suus un angle droit.

On peut de même construire les involulioiis à points doubles qui sonl déterminées sur XZ et Y'Z, Les quatre points doubles s'obtiennent plii;

CONSTRUCTION DE l'eLLIPSOÏDE UF.È FORCES PROPORTIONNELLES. §07

simplement encore, comme intersections de Tbyperbole directrice avec les côtés.

Pour obtenir les sections principales de l'ellipsoïde des forces, nous rabattrons^leurs plans X(0)Y, Y(0)Z, Z(0)X sur le plan de la figure. Dans ces divers rabattements, le point (0) viendra se placer en 0^ Oy 0«. Les droites qui joignent les points 0 aux points XYZ sont les axes des ellipses principales ; celles qui joignent ces points aux points doubles des involutions sont des rayons doubles de Tinvolution des forces et des sections, Nous avons déterminé, d'après le n* 126 (p. 483), l'un des rayons doubles imaginaires dans le plan X(0)Y. C'est le rayon 0^{A6') conjugué à la bis^ sectrice 0, 45\ Les indices 45' et (45*) ont été marqués sur XY ; ils sont vus du point Js sous un angle droit.

Pour déterminer la longueur des axes, nous avons pris arbitrairement pour Tun des trois axes, une force p,' et nous l'avons portée, à partir des points 0^ et Oy , dans la direction du point Z; par les extrémités des p'„ nous avons mené deux perpendiculaires jusqu'aux intersections avec les rayons doubles, et, par ces intersections et les points 0, et 0^, nous avons mené des circonférences. En comparant ces circonférences à celles de la fig, 194, on voit qu'elles se confondent lorsqu'on prend le point 6 à l'ex^ trémité du diamètre GO. Sur la PI. XY, p\ et la perpendiculaire menée par son extrémité sont les axes de coordonnées pour les composantes des forces qui agissent sur les sections. Les longueurs qu'il y a lieu d'ajouter à p\ , pour obtenir les diamètres des cercles , sont les longueurs p'^ et p\ des axes, ainsi que l'indique la figure. Avec ces longueurs d'axes, nous pourrons construire l'ellipse dessinée dans le plan rabattu XOsY, Les diagonales du rectangle circonscrit à cette ellipse doivent coïncider avec les rayons doubles imaginaires que nous avons déjà construits; nous avons indiqué cette coïncidence pour l'un d'eux 0«(45'). Nous avons également dessiné le cercle analogue à celui de la fig. 195. Ce cercle, décrit avec la difl*érence p^ — p,, comme diamètre, est malheureusement trop petit pour servir aux constructions; mais il montre clairement l'a* nalogie. Sur la PI. XY, la force p'y et la tangente menée par son extrémité à l'ellipse, sont les axes de coordonnées pour les forces agissant sur les sections. La distance de ce point à l'extrémité la plus éloignée du diamètre déterminé dans le cercle, est égale àp',. Le p61e J de l'origine des coordonnées, dont la construction est indiquée par là figure, est le centre de l'involution des sections et des forces ; il correspond au point G de la fig. 195. Nous avons encore montré (PI. XV) que les points déterminés par les rayons doubles imaginaires et les bissectrices des axes, sont situés sur une droite passant par J ; les bissectrices passent par les extrémités du diamètre perpendiculaire à p',.

496 ÉLiKEHTS UK LA TBÉUUK DB L'ALASTICITi.

Lk grudeor da deuzi^e axa, de celni qù ne renecHitre paa le lagmeut Uni iiterMpU anr le* rayon» donblea par nna ordonnte, et dont noua a*Dna d^i doui réqutioD, ast :

)* aat poaitif on nigatt^ anivant qne Iw rajFona donbUa aont réeU on inugiluriraa.

V^t, et an m&na tompa À^^, aont tot^onra poaitlf^ at, par anite, Isa axtifuitii daa f aoDt ta^jonra aitaAaa aor une alllpae, at Jamais anr une antre coniqaa. Lmr valenr limite eat lén; dans ce caa, laa nyona donblea colocideat, et la diractûa dea forcaa eat constante. (H* 126, p. 483.)

Loraqna, I* Mant poaitif, i. eat ^[al à této, l'angle e dea rayoua donblea ett droit, loa «M a at p de l'ellipM aont d'â^e longneur, et l'elUpae derient un cercle.

Si V eat poaitit, l'angle de* rayona donblea eat aigu, et l'axe ■ qnlls comprenugi ert le grand axe.

Si )l eat négatif, l'angle dei rayon» donblea ett obtu et p eet le grand au. On Toit qne le grand axe de l'ellipee dea (brcea est to^jonn aitoi daiia l'auHto tiga dai rayons doutileB.

Dans les trois cas que noua venons d'eiiuniner, on a |i > X. il faudra doue pmdre la ïigne -\- pour a el ?; si par contre !• ^tait négatif. le.i rayons doubles sânim fmaginairoi et l'on aurait )!< X; il faudrait alors prendre pour a et p tiesngiia teU que les résultats ttoient loujoars posittis.

Bn dÎTiunt eln* = 6 par corf = fl, il Tient :