FORCES PROPORTIONNEL LUS A DES SURFACKS

Nous avons supposé jusqu'à présent que les efForls auxquels le curp? est soumis ne changcnl pas lorsqu'on suit une même direction: nonallons maintenant abandonner cette hypothèse, et nous supposerons f|Uf les efforts varient suivant toutes les directions possibles. Pour délerni:oer les forces qui agissent dans ce cas sur une section plane quelconqiif,', par unité de surface, nous supposerons données, coKime au n' (il (p. 471), les forces agissant par unité de surface sur trois sections qui'lconques BOC, COA, AOB faites par un point 0 {fig. 196). Nous couperons ces trois sections par un plan ABC, parallèle à la section considérée, el nous obtiendrons, en composant les forces qui sollicitent les seclioE> données, celle qui agit sur la section ABC.

Les forces qui agissent sur les faces du tétraèdre sont les résullanlf: de forces uniformément réparties; par suite, elles sont appliquées aui centres de gravité de ces faces. Décomposons chaque force, comme l'indique la ligure, en trois composantes B,, S,,, Si,; B, désigne la rompu-

directeur; «"•^ la figure,

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MS ÉLiMRNTR K LA TRÉOUIB »« L'ALASTICITÉ.

Au moyen de la longueur des axes, nous pouvons déterminer celle d'un rayon quelconqiK! partant du poiul 0. Nous en indiquerons d'abord la constnintion pour le^ trois rayons Pa(>ip>> Rabattons sur le plan de rimage, le plan B(0]Z qui projette p» à partir de l'axe ^; B, est le pied de k perpendiculaire, abaissée de (0) sur la trace B2. Si l'on porte, snr la perpendiculaire menée de 0 à cette ligne, la longueur Bfi^, égale à la distance (0)B., on obtiendra le rabattement 0*. du point (0). Les axes rabattus de la section avec l'ellipsoïde, sont les droites O^Z et O^Z^t Z, étant l'intersection de BZ avec .\Y. La longueur da premier est p', et celle du second pi, , p\, étant le rayon de l'ellipse 0,Z», que l'on peut déterminer facilement dans le plan XO,Y au moyen des axes p', et p\, sans construire auparavant l'ellipse entière. Deux cercles, dont le centre est situé en 0„ et dont les rayons sont é^auz à p', et p'„ permettent, dès lors, de déterminer la longueur p'^ du rayon dirigé vers le point B. Nons avons de mftràe rabattu les plans A(0)Y et C{0)ï autour de AT,A,T et CY,CyY ; nous obtenons ainsi le rayon p', au moyen de 0^, et le rayon p', au moyen de 0^.

Les longueurs p\ p\p, ainsi obtenues ne sont pas égales à celles que nous nous étions données au début du problème, à cause de la valeur arbitraire que nous avons donnée k p',', elles leur sont simplement proportionnelles. Gela Veut dire que si l'on projette les extrémités des axes p'. p', p', ainsi trouvés, parallèlement II 0) 0^ 0,. 0^ , sur leurs projections {OIABC, et si l'on joint leurs extrémités, ces lippfies de jonction doiveni être parallMes aux lignes de jonction des forces primitives pjpjPf On n'aura donc qu'à projetiT les valeurs arbitraires p', p , p , sur (O)XYZ. il l'on déterminera, au muyen de parallèles, les vraies longueurs de h^p. ?,- C'est avec ces dernières que l'on dessinera les ellipses des plans principaux. Otte méthode, qui est analogue k la rè^le de fausse position, nt' nous a pas seni dans notre épure. Nous avons construit les p^pip', aver les vraies longneui's des axes.

Eu projetant les extrémités des axes sur le plan de la ligure, on obtient leurs projeclions p^-p^p;. On peut, maintenant, avec les longueurs des trois axes, dessiner les ellipses principales rabattues, et notre problème est, dès lors, résolu. On vnil que. à l'exlérieur du cOne directeur, le plus grand ellbrtque subit le point matériel esLdirif,'C suivani (0)\ cl égal à p^\ à l'intérieur du cnne, ccl ctlort maxinmm est égal à p, et à la direction (0)Z. Un obtiendra la direclimi de la force qui sollicite une section quelconque, au moyen dn piMe de la trace de cette section par rapport à l'hyperbole directrice ; sa grandeur se déterminera par un rabattement, absolument comme celles de p,^f. Toutefois, pour mieux User les Idées, nous avons encore constniil les intersections de lellipsoïtle

CONSTRUCTIOiN DE LELLIPSOÏDE DES FORCES PROPORTIONNELLES. 509

avec les plans des angles trièdres ABC, XYZ et avec le c6ne directeur; enfin, nous avons rabattu les plans perpendiculaires à celui de la figure, qui passent par X et par le p61e du plan de la figure.

Le cylindre projetant Tellipsoïde lui est tangent suivant le plan diamétral conjugué au diamètre 0(0). Aux trois plans diamétraux (0) 0) XYZ qui passent par les axes et qui contiennent le rayon (0)0, correspondent les trois rayons eae\e\ situés dans un plan principal, conjugués aux diamètres (0)0«OyO, et dont les traces sont en E^E^Ë,; ils sont situés dans le plan conjugué à (0)0, et Tintersection de ce plan avec le plan de la figure est, par suite, la droite E qui joint les trois points. On obtiendra ene.eye,, sur les rayons 0)E,EyE, , les projections des extrémités de e\e\ e'.. Les plans parallèles à (0)0) XYZ sont tangents à Tellipsoïde en ces extrémités, et par suite, les tangentes à Tellipse qui forme le contour apparent sont, aux points e^e^e^^ parallèles à 0)XYZ. Nous connaissons maintenant six points, situés sur trois diamètres, ainsi que leurs tangentes, et ces éléments sont plus que suflisants pour dessiner le contour apparent.

La projection de chaque plan diamétral touche celle de Tellipsoïde à l'extrémité du rayon ou diamètre mené par 0, qui passe par Tintersection de la trace du plan diamétral avec la ligne E. Les parallèles menées dans les deux ellipses, celle du contour et celle du plan diamétral, à leur tangente commune, seront donc, coupées par ces ellipses en segments proportionnels. Nous nous sommes servis de cette propriété pour dessiner les six ellipses que déterminent les sections (0) XYZ et (0) ABC. Chacune des trois ellipses (0) XYZ passe par deux des points ^^ py p, et touche la projection de Tellipsoïde aux extrémités des diamètres e« e^ ou e.. Les tangentes en ces extrémités étant parallèles à 0) XYZ , nous avons mené tout d'abord deux parallèles à ces lignes par les deux points p«py ou p, qui sont situés sur Tellipse cherchée ; nous avons ensuite déterminé le rapport de réduction des segments compris entre ces ellipses et le diamètre et nous avons enfin réduit, d'après ce rapport, une série d'autres ordonnées. Cette construction a été répétée identiquement pour les trois ellipses des trois sections 0) A B C ; seulement, il a fallu d'abord dessiner les tangentes communes aux points de contact^ tangentes qui n'étaient pas connues à pnon.

Pour mener facilement des plans quelconques par la droite (0)0, il est nécessaire de connaître la longueur du rayon p'^ de l'ellipsoïde suivant cette droite ; nous obtenons cette longueur, comme nous avons trouvé précédemment p'« p'epe^ ^^ rabattant le plan (0)0Z. Nous avons construit Po, dans le plan principal 0,XY,, puis rabattu (0)0Z; le point 0^ se rabat évidemment sur le cercle de distance r; la longueur cherchée p^ s'obtient alors au moyen de p, et de p^*. Dans toutes les sections passant

MO ÉL^MIKTS DE L* THiOHIB ■)■ l'AlASTICITÉ.

par (0)0, ce demi-diamèlre est conjugué à celui qui ^c trouve dans le plan E, puisque ce dernier est conjujtué au rayon (0)0.

Les deux diamètres conjugués ainsi déterminés perinetlent de dessiner toutes les ellipses passant par (0]0, sans revenir aux plans principaux. Nous allons, au moyen de cette méthode rapide, rabattre le plan qui contient le diamètre conjugué au plan de la flgure, et qui renferme, par suite, le point le plus haut et le point le plui^ bas de l'ellipsoïde.

Ce diamètre passe par le point en, pôle de la droite à l'infini du pîan de la Ugure, par rapport au système polaire déterminé par l'ellipsoïde. Le point co est situé à rintersection des trois droites joignant XYZ aux centres M^M^Mi des involutîons qui sont déterminées sur les côtés opposés. Dans le rabattement, le point (0} vient en 0^, sur l'intersection d'une perpendiculaire à Ocr* avec le cercle de distance; et c'est sur cette perpendiculaire que nous portons p„ , vers le point 0. La droite qui joint 0„ à l'intersection B„ de la trace Ocn et de E est le diamètre conjugué à poi ses exlrémilés sont situées au-dessus des extrémités du diamètre Qco du contour apparent, sur des normales à ce diamètre. Les deux diamètres conjugués que nous venons d'obtenir, permettent de dessiner l'ellipse. Le point le plus haut et le plus bas se trouvent snr la ligne O^w-, cl sont les extrémités du diamètre conjupié au diamètre parallèle au plan de la Ugure ou h celui qui est parallèle h Qcr^. Ce dernier diamètre, appartenant à un plan pirallèle au plan de la figure, est conjugué au diamètre parallèle \ E d m-, la projection de reliipsnïde. Nous n'avons pas dessiné l'ellipse p inllMe ui plan de la ligure, parce qu'elle aurait compliqué les constiu ficns qui sont déjà Irop chargées, Les sections principales donnent une idée très nette de l'ellipsoïde; mais la dernière ellipse que nous avons dessinée en reprcsenlc mieux la position par rapport au plan de la ligure.

L'intersection de l'ellipsoïde avec le plan de la ligure sert également à en bien indiquer la forme. Nous en connai'^snns Ui cenire r>ï, les deuxpoints d'intersection avec chacun des plans (())AB. BC, .\Y. XZ, O^, c'est-à-dire dix points, et en tout vingt points en Icnant compte du centre. L'ellipse pourra donc Otre dessinée très esaclenionl.

Outre cette ellipse, nous avons encore repré^enlé les (races des faces du trièdre et du cône directeur sur le plan de la figure. Supposons que ce plan soit horizontal, et que la partie inférieure de l'ellipsoïde soit remplie d'eau; la surface <Ic l'eau ligurera deux petits lacs limité'* par l'eilipse, et d'un côté par l'hyperbole, de l'autre par les traces du trièdre. Le point le plus profond est donné par l'ellipse dessinée précédemment dans le plan vertical 0-v^.. Non-; avons fortement marqué ri' point dans le dessin.

CONSTRUCTION DE l'ELLIPSOÏDB DE» FORCES PROPORTIONNELLES. 511

Il nous reste à chercher Tintersection du cône directeur avec Tellipsoïde. Chacune de ces surfaces est divisée par les huit trièdres que forment les plans principaux, en parties égales ou symétriques ; il faudra donc que Tinterseciion cherchée se compose aussi de huit parties égales ou symétriques ; il faudra aussi, à cause de cette égalité ou symétrie, que chaque rayon projetant la courbe, parallèlement à Tun des axes, sur le plan principal conjugué à cet axe, contienne deux points de cette courbe. Gomme elle est du 4* degré et que les cônes qui projettent ces courbes, ^le telle manière que chaque rayon en contienne deux points, sont des cônes du second degré, les projections de Tintersection cherchée sur les plans principaux seront des coniques. A cause de cette même symétrie, les axes p'^p'^P, des pians principaux seront les axes de ces coniques. Le sommet du cône directeur se trouvant à Tintérieur de l'ellipsoïde, la courbe sera divisée en deux anneaux séparés, par les milieux desquels passera Taxe OZ. La projection de ces deux anneaux sur le plan XO,Y forme une ellipse entière. Les longueurs des axes 0,1 =0,5 s*obtiennent comme ordonnées des intersections des rayons doubles avec l'ellipse de projection, dans le plan XOyZ, oh Ton peut directement les mesurer; dans le plan YO^Z, les projections se font sur Taxe 0,Z* Les longueurs des axes 0,3 = 0,7 s'obtiennent de mème^ comme ordon^ nées y des intersections des deux rayons doubles avec l*ellipse de pro-^ jection, dans le plan YO.Z; dans le plan XOyZ les projections se font sur Taxe OyZ. Nous connaissons maintenant les deux axes de Tellipse 0,; dans l'hyperbole 0^, nous connaissons un axe 0^(3 7) et les deux points 1 et 5, et enfin dans l'ellipse 0«, l'axe 0« (1 5) et les deux points SI* Les trois coniques sont par suite déterminées.

Il est facile de trouver les projections correspondantes d'uû même point; soit en effet, un point quelconque 2 sur X0,Y; l'abscisse ar, de ce point dans le plan XO^Z et l'ordonnée y„ dans le plan Y0,2, déter-' tninent sur les deux anneaux, deux points qui ont le même 2,, ce qui t)ermet de trouver les deux autres projections des deux points qui sont situés au-dessus de 2, dans XO,Y. Si Ton ne tient pas compte des dignes et que l'on choisisse une ordonnée quelconque, un point de cette ordonnée sô trouvera dans chacun des huit trièdres que forment les tiland de coordonnées; et, à cause de l'égalité ou de la symétrie des parties dé la courbe dans chaque trièdre, les projections de ces quatre pbints 2468, répétés deux fois, forment des rectangles dans chaque plan principal. Nous avons dessiné ces rectangles autant que les limites de hotre dessin nous le permettaient. Dans l'espace, les points forment le parallélipîpède rectangle 2 4 6 8 2' 4' 6' 8'.

Les projections des points de la courbe sur le plan de la figure, s*ob«

ètcteur au moyen de$ formules :

le» fixes auxquels se rappot-letil les formulti sont ceux du dénominateur. Lorsque a, p e' f ont les mêmes signes, c'esf-ri-dire lorsque pour les tmù settiom principales, le corps rhistnnt est sollicilfi de la mcme manirrt. h f<)»f directeur est imaginaire. Lonque «Pf ont des signes différents, deux d'entif eut, c'etl-o-dire deux des fiiri^H qu'ils représentent uni le mènie signe, l-' dùn* les sections déterminées /m- ckacvn d'eux et le troisième, les génératrices du cdne sont réelles, et le troisième axe est intérieur au cdne. Les génératrice sont imaginaires dans leplan des deux forces du mMne signes cet deux fomi ou axes sont par suite situés en de/iors du cdne.

Oa peut, dans les pliios principiiux, construire au moyoït de cerek's l'ellipse dus forces et l'angle â (voir fig. l'J4 et 19j, p. 487 et 488); on pourrait encore faire celte construction dans deux couples d'autres sectjons, deui d'entre elles pouvant (>tre imaginaires. Ces sections passMit, les unes par l'axe moyen, les autres par le plus petit axe, el sont Lelk'i que la hauteur de la force au-dessus du plan diamétral qui leur est conjugué est égale à l'axe moyen. Mais il n'y a aucun intérêts construire de pareilles sections, qui ne sont d'ailleurs pas des sections circulaires. Pour toute autre sertinn, la t^onslruclion que nous avons indiquée n'esl pas iipplicahk'.

130. r.0NSTRLICT]ON MZ l.'lîLMl'SdïllK IJKS KOBCKS i'HI'P0HT10NM-.1.Lh>

Nous allons maintenant indiquer le modo de conslruclion de rt'llipsoïde des forces proportionnelles h des surfaces. Nous supposerons, lonl d'abord, que les forces agissant snr les trois faces d'un triédre soient dirigées suivant les urèlcs opposées à ces faces, cl que les grandeurs <lr ces trois force» soient données. Les faces et les ar?fes opposées du trièdri' seront conjuguées dans le système polaire des forces et des sections. Nounous proposons de déterminer en premier lieu lu force qui ;igil sur un plan donné quelconque, et en second lieu, les grandeurs et le; direclinndes eflbrts maximums qui sollicitent le poini nialéricl.

("loupons le trièdre par un plan siliié ù une distance convenable j- (PI. XV) de son sommet (0) el parallMe au plan dont nous voulons déterminer ta force correspondante. Nous prendrons ce plan parallèle

CONSTRUCTION D^ L*rLL1P80ÏD£ DES FORCES PROPORTIONNELLES. 503

comme plan de la figure. Soit 0 la projection du sommet (0)^ et soit ABC la trace du trièdre sur le plan de la figure.

Comme, dans notre construction, nous aurons surtout affaire à des rayons du faisceau (0), nous nous contenterons d*une seule projection du trièdre et des autres figures à représenter. Un point et une ligne quelconque seront déterminés par leur projection et par la trace du rayon ou du plan, qui les projette à partir du point (0). Les figures situées dans ces plans projetants, par exemple les sections planes de Tel* lipsolde des forces, seront également déterminées par leurs projections et la trace des plans dans lesquels elles sont situées. Pour obtenir les véritables dimensions de ces figures, il sufSra de rabattre les rayons autour de leurs projections: les hauteurs 0 (0) se rabattront sur les rayons du cercle de distance r, qui sont perpendiculaires aux projections des rayons ; et tous les éléments de ces figures seront déterminés par ces points 0 rabattus et les traces des rayons. La vraie grandeur des figures planes s'obtiendra par le rabattement des plans autour de leurs traces. Les perpendiculaires, abaissées de 0 sur ces traces, viendront alors se confondre avec leurs projections; on obtiendra, par suite, la position du point (0), sur le plan rabattu, en portant la longueur de la perpendiculaire sur sa projection; cette longueur se détermine elle-même par un second rabattement. Nous avons construit, PI. XY, les perpendiculaires P»PkPt abaissées du sommet (0) sur les traces des faces du trièdre (0) ABC. Il suffirait de rabattre bes longueurs sur leurs projections pour obtenir les rabattements des faces du trièdre.

Soient Pap»pe les projections des forces portées à partir du point 0, et qui agissent, suivant les arêtes (0) ABG, sur les faces opposées à ces arêtes. Pour construire la force R qui agit sur le plan parallèle au plan de la figure, nous supposerons ce dernier déplacé parallèlement à luimême, de manière que la surface de la base ABC soit égale à Tunité, ou bien, ce qui revient au même, nous prendrons ABC comme unité de sur face. Si maintenant nous déterminons les composantes RaR^R,, qui agissent sur les faces (O)ABG et si nous les composons au moyen d*un polygone des forces, nous obtiendrons la résultante R qui agit sur Tu* nité de surface ABC.

Les surfaces (0)BG et ABC sont entre elles comme les perpendiculaires abaissées de (0) et A sur le c6té commun BG. Nous avons déjà construit la perpendiculaire p^ abaissée de (0) sur BC. La perpendiculaire p\t abaissée de A sur BG se mesure directement sur Tépure. Pour obtenir, par suite, la projection de la force R., qui agit sur (0)BC, il suffit de multiplier p^ par le rapport p^ : p'a ^^ <^6s deux hauteurs. Cette opération a été faite dans Tangle droit de la surface rabattue, mais nous

SOI l^.l.£»ENTS DK VA THKOniI! W. L'ÉLASTICITÉ. *

nQl'avons pas indiquée; il nous Ftuffira ile dire que R,, R» et R. sont les résultais de ces multiplications. Nous avons porté (PI, XV) les projections R, H,Ri. de ces Torces, à la suite l'une de l'autre, et obtenu ainsi celle de la résultante R, qui agit sur la face ABC. Toutefois, la projectioa de l'extrémité de ce polygone ne détermine pas complètement cette extrémité; il nous faut encore trouver la trace du rayon qui la projette à partir de (0); pour l'obtenir, coupons ce rayon par la trace do plan, qui projette à partir du point 0. la dernière force Rt . Cette trace passe parle point B, puisque 11* est parallèle k OB. Elle passe aussi par la trace Ht du rayon (0)(R„H,), trace qui est située sur AC, puisque R, se trouve, aussi bien que H, , dans le plan (0)AC ; la ligne qui joint les points lf« et B coupe sur le rayon, passant par l'extrémité de la ligne polygonale, la trace M de cette extrémité. La position de ce point est maintenant complètement déterminée, et par suite aussi la force qui agît sur le plan de !a liKure. La première partie dti probl&mo est donc résolue.

Dans le système polaire que détermine le c6ne directeur sur le plan de la figure, le point H a pour conjugué l'intersection avec ce plan d'un plan qui lui est parallèle, c'est-k-dire la droite de l'inOni; M est, par snite, le centre de ce système polaire, qui dès lors, avec le triangle polaire ABC, est complètement déterminé. Au point M*, intersection de MB avec AG, est conjugué le point à l'inRni sur AG; ce point est donc le centre de l'involution, que détermine sur AC le système polaire. Gomme il e'it «itné hors du segment AC. rinvolution a des points doubles, le système polaire a une conrlie directrice, et le cône directeur est réel. On obtient les puinls douilles de l'involulion AV., en rabattant sur AC la longueur d'une tangente, menée par M^, i^ un cercle passant par AC; les extrémités du rabattement délerminent, de part et dautre de Mj, les deux intei'sei'tions de la courbe directrice s aver AC Les droites joignant B à ces points doubles lui sont tangentes en ces points. Si par l'un d'eux on mène une parallèle à la laugente à l'autre, tous les rayons pi'ojelant. k partir de B, des segments coraux sur cette parallèle, de part et d'aulre du point double, iulerceplent sur AG des s((Kriients conjugués. On répétera les mêmes opérations pour BC; mais le [ininl M^ se trouve en dehors de l'épure; il tombait eiicure dans les limites de la planche, lorsque nous avons fait la construction, et nous avons pu nous en servir pour délerminer l'intersection de s avec le segment BC et la tangente correspondante qui passe par A; la seconde intersection, c'est-à-dire l'autre point double, est située trop en dehors du dessin pour qu'on puisse s'en servir. M, est situé entre A et B : l'involution déterminée sur AB n'a pas, par snite, de points doubles, et AB est le côté du triangle polaire qui est Otuéfi t'e\lènc.;i de i:i iniirbe s, lu demi-cercle décrit sur AB, coupe