SOMMATION DES DÉFORMATIONS QUE PRODUISENT LES MOMENTS

Les sommes s'étendent naturellement à toute la portion de la poutre que Ton considère, par exemple à celle qui s'étend depuis une culée fixe, jusqu'à la section à laquelle le point x^y^ et une droite passant par ce point sont invariablement liés.

Pour effectuer cette sommation et pour en construire les résultats, nous chercherons d'abord l'influence d'une seule force A agissant sur une partie plus ou moins longue de la poutre, et nous déterminerons ensuite les déformations produites par diverses charges aP. Nous supposerons à la poutre la forme générale d'un arc. Admettons donc que les moments ^ sont produits par une seule force A, constante pour la partie considérée de l'arc, et ajoutons les unes aux autres les déformations correspondantes des divers éléments.

Soit u la distance variable du centre de chaque section à la direction de la force A. On aura ^ = uA et les formules fondamentales deviendront:

A = Ay(y — y>^^),

puisque le facteur constant A peut être mis en dehors du signe S. Imaginons maintenant que chaque élément de l'arc ait un poids représenté

As par le nombre -^; déterminons, d'après les règles connues, la somme a

de ces poids, et cherchons le centre de gravité et l'ellipse centrale de ce système idéal de forces. Dans cette supposition, le signe £ de la première formule correspondra à un moment statique, puisque les Ion-

gueurs u sont les distances des éléments de l'arc ayant un poids -^, à la

ligne droite suivant laquelle agit A.

Transportons les axes des coordonnées au point x^y^ , de manière que les coordonnées de ce point soient égales à zéro avant le déplacement, et deviennent égales k k et k après le déplacement. Donnons, en outre, {fig. 200) à la force A le sens qu'elle a réellement, lorsqu'elle agit comme réaction (le moment négatif produit par cette force aura le signe contraire à celui de ^ dans les formules précédentes), et désignons par u.

As la distance du centre de gravité <j du système idéal -tt à la direction

de A, et paro^^y^ les coordonnées de ce point, par rapport aux nouveaux

ÉLÉMENTS DK LA THÉOUIE DE L'ÊLASTlCiTÊ.

axes ; nous désignerons de même, par x^ et y«, les coordonnées de TanUpôle de la ligne A, et par ii« u^ les distances à A des antipôles des deux axes, ainsi que la figure Tindique. La première somme l sera alors propor-

Fig. iOO.

tionnelle au moment statique des -^ par rapport à la droite A, et égale à

ii^A9; la deuxième somme sera égale à y^u^kf ou à ^«««^ A« ou enfin à

as yj, car elle contient le moment centrifuge des poids —, par rapport àla

ligne A et à la parallèle à Taxe des x, menée par le point x^y^ ; et Ton a

vu (n* iOi, p. 377), que le moment centrifuge était égal à la somme 9 de

As toutes les forces -^ multipliée : 1* par la distance u^ ou y^ du centre de

gravité « à Fun des axes ; 2* par la distance y« ou u^ à Tautre axe de Tantipôle de la ligne correspondante. Nous trouverons, de la même manière

et au moyen du moment centrifuge par rapport à A et à l'axe des y, que — k est égal à x^w^Aa ou à x^u^Aa ou enfin à .t'„o. Nous avons donc :

y^w, Acr = y^u^Aa = yj^,

XçUyA(j = x^u„AQ

xj.

Gomme nous n'avons fait aucune hypothèse sur la direction des axes, nous pouvons leur donner une direction quelconque et les résultats que nous avons trouvés seront encore applicables. Faisons donc passer l'axe des X par Tantipôle de A, en l'amenant dans la position r, indiquée /ig. 200; on aura alors ?/„ = 0, x^ = r, et le chemin décrit par l'origine x,y, coïncidera avec l'axe des y et sera égal à ro. On a, en résumé :

8 = w^ A« ; /? = 0 ; — k = ro.

Ces résultats nous conduisent au théorème suivant :

Une force quelconque, sollicitant un arc, fait tourner rextrémité de Carv

As autour de son antipùle par rapport 0 Fellivse centrale des — ; et la grandeur

SOliMATlON D£S DÉFORMATIONS QUE PRODUISENT LES MOMENTS. 4>3^i

de la rotation est égale à la force y multipliée par le moment statique de ces

As

-^ par rapport à sa direction.

Les équation s trouvées plus haut peuvent s'écrire delà manière suivante :

et nous pourrons dire que les perpendiculaires, abaissées sur la direction

de la force A, à partir du centre de gravité a et des deux antipôles des

h k axes de coordonnées, sont proportionnelles à S, — et ; c'est-à-dire

que, si de ces trois points, toujours connus, comme centres, on décrit

^ h k des cercles avec des rayons proportionnels à o, — et , les tangentes

communes à deux quelconques de ces cercles se couperont en un point de la droite A. Nous pourrions aussi déterminer trois points de cette droite, en employant la méthode indiquée n* 2 (p. 6). Sur trois parallèles, passant par les trois points donnés, nous porterons, à partir de ces

A k points, des longueurs proportionnelles à o, — et — , et les droites, joi-

gnant deux à deux les deux extrémités de ces parallèles, se couperont

aussi sur la droite cherchée A. Il convient de remarquer que les points

de A, obtenus par cette nouvelle construction, sont précisément ceux

qu'on obtenait au moyen des cercles.

Lorsque les sommations sont faites algébriquement, les trois valeurs

h k 0, — et — ont une signification toute particulière : elles sont les coordon-

y<r ^9 nées trilinéaires de la ligne A, par rapport au triangle fondamental^ formé

as par le centre de gravité des -rr et les antipôles des axes de coordonnées.

Nous sommes maintenant en état de résoudre la deuxième partie de notre problème (voir p. 521), c'est-à-dire de déterminer la force qu'il est nécessaire d'appliquer à l'extrémité de l'arc, pour ramener à zéro une rotation d'un angle donné et un déplacement, d'une longueur donnée. Déterminons, sur la perpendiculaire menée à l'extrémité de cette longueur, le point d'où la longueur donnée est vue sous l'angle 8. L' antipolaire de ce point sera la direction de la force A cherchée ; construisons cette antipolaife, les u seront connus, et la grandeur de A sera donnée

par A = — ,