RÉACTIONS D£S CULÉES d'UN ARC

Nous avons, dans le numéro précédent, déterminé d'une manière tout à fait générale la force A, capable de ramener à sa position primitiye un point invariablement lié à une poutre ou à un arc, en supposant que cette poutre, dont la forme est d'ailleurs quelconque, soit fixée en Tune de ses extrémités. Avant de construire les formules que nous avons trouvées, nous allons montrer comment elles peuvent nous donner les réactions des culées des arcs, puisque c'est surtout pour la construction des ponts en arcs que notre théorie servira aux ingénieurs.

Nous procéderons comme da«s le numéro précédent, pour déterminer les réactions des culées d'un arc, appuyé assez solidement, pour que le? directions de ses surfaces d'appui ne puissent pas varier. Déterminons h déformation produite à l'extrémité de l'arc par chaque aP, provenant soil du poids propre, soit de la charge accidentelle, et admettons pour cela que cette extrémité soit mobile, l'autre étant lixe. Nous chercherons ensuite la réaction aA de la culée qui annulerait cette déformation, et la résultante de tous les ^A trouvés pour les divers AP, sera la réaction cherchée.

La réaction des culées du même arc, provenant d'un changement de température pourra se déterminer de la manière suivante. Si Tune des extrémités est fixe, l'arc déformé par la dilatation, qui s'exerce uniformément sur toute la longueur, sera semblable à Tare primitif, et son extrémité libre décrii'a une ligne horizontale, sans rotation; le centre de rotation est par suite le point à l'infini d'une verticale, et l'antipolaire de ce point, c'est-à-dire le diamètre conjugué dans l'ellipse centrale à la dirci'tion verticale, sera la direction suivant laquelle agit la réaction

RÉACTIONS DES CULÉES d'uN ARC. 533

cherchée. Lorsque Tare est symétrique, cette réaction est Thorizontale

as passant par le centre de gravité des -^r-.

Supposons maintenant, comme second cas, que l'arc repose en deux points sur ses deux culées, et qu'il puisse tourner autour de ces points. Nous agirons comme précédemment ; nous décomposerons aP en deux composantes verticales, passant par les deux points d'appuis et en une poussée aA, qui devra passer par ces deux mêmes points, parce que si cette condition n'était pas remplie, elle produirait autour d'eux une rotation de l'arc. Lorsque l'axe des x aura été choisi parallèlement à la droite qui joint les points d'appui, on pourra déterminer la grandeur de la réaction OA au moyen de la deuxième équation, donnant h; dans cette équation on conna,ît tous les bras de levier, puisque la position de la réaction aA est connue d'avance. Les réactions aA, qui passent par les deux points d'appui, produisent aussi des déformations Ay, positives, qu'on ne peut, en général, annuler par aucune force, précisément parce que cette force ne passerait pas par les points d'appuis ; si elle y passait, en effet, elle ne serait jamais nécessaire. Il ne nous reste, par suite, qu'un moyen : nous ferons tourner en sens inverse tout le système, de

'angle infiniment petit -y-, /étant la portée de l'arc. Cette valeur représente l'angle dont a tourné celui des points d'appuis que nous avions supposé fixe. Quant à l'extrémité mobile, elle tournera, suivant le signe de 8, de l'angle 8 ± l'angle précédent.

La dilatation produite par la chaleur, pourra être traitée comme dans le cas précédent. L'extension ^, produite par la chaleur, sera neutralisée par un aA horizontal, passant par l'extrémité de l'arc. Ce aA fait tourner vers le bas, la partie libre de l'arc, et il faudra faire tourner tout le système» en sens inverse, de la même quantité. Cette opération donnera lieu à un redressement vertical des deux extrémités do l'arc, ce qui est d'ailleurs tout naturel.

De vieux routiniers ont'parfois l'idée (!) de mettre une charnière au milieu du pont. On n'a plus besoin de la théorie de l'élasticité pour déterminer les forces qui sollicitent un pareil système, car il n'y a qu'un seul polygone funiculaire possible; il joint tous les aP, ses côtés extrêmes passent par les centres des charnières des culées, et le côté situé entre les deux forces aP, avoisinant de part et d'autre la charnière centrale, passe par cette charnière. Toutes les forces sont dès lors connues au moyen de ce seul polygone.

ÉLÉHEM8 RR I.* TnénRIK KH L'tl.«STICITÉ

. ËPCKB D'ITN arc élastique,

.Vrnis alIonK inaintenanL appliquer à l'arr les IVirniulea trouvées au II* 13i; et montrer comment les valems placides sou>; le signe S peuvent être [Construites d'une maniëre générale et peuvent ëlre sommées. Ainsi que nons l'avons déjà fait remarquer, nous conslruiroQS d'abord les déformations produites par une charge isolée iP, agissant verticalement vers le bas, et placée en un point quelconque de l'arc ; nous chercherons la réaction aA correspondante; puis, nous ajouleions tous les &A qui produisent de pareils 4P. au moyen d'un simple polygone funiculaire. Soient pi la distance de la force aP à la culée A de <j:aucha, et p'I sa distance à la culée B de droite ; soit enfin l la portée entière de l'arc. En désignant par x la distance ri'nn élément quelconque do l'arc à la verticale de A, et par x' sa distance t la verticale de B, le moment provenant t]{i la charge aP par rapport à un point x, situé sur le segment pi, pourra s'exprimer par p'.cAP, et le moment par rapport îi un poîatx' situé sur ic sffïment H!, sera pj-Ap (voir n" 86. p. 31S1.

Quant h la force AA cherchée, nous supposerons pour le moment sa (itrcctinn et sa Rrandeur connues ; son moment pour tons les poinf^^ rie la ponire sei-a haA, puisqu'elle asit sur la pniitre imlièro.

Nous mctirnns la valeur -r- son-* la forme — ^. ^ élunl une conslaiilc.

et ;' étant variable. En conslruisant, par exemple, le moment d'inerlii' d'après les méthodes indiquées n' HB (p. 146), ou augmentera la troisième hase dans le rapport —, Cette opération pourra se faire, en pav-

laKcant la projection de l'arc sur l'aie des r. en parlies égales, et en preuanl les bases f proportionnelles anv lonjineurs d'arcs, qui correspondcnl

h ces projections. On aura alois :o=- EnA)c — ;"„ et en écrivant (^ el :

an lion du mnnionl constani iin/'y cl de ;"'„, il viendra

ÉPURE d'un arc Élastique. 535

^eA = p'AP2].r^^+pAP2]^-^5 + AA.w,ar,a, Dans ces formules, 9 représente une valeur égale à >-;;^, et se distin-

gue, par suite, du 9 primitif du n** 135, par le facteur constant @.

Les produits placés sous le signe S, et les valeurs v,^^,^,, peuvent être

construites au moyen de polygones de sommation, d*après les méthodes

indiquées (n* 4^ p. 18). Les constructions ont été faites sur la PI. XVI.

Soit (PL XVIJ Taxe de Tare, représenté par un trait fort et dont la forme

est à peu près parabolique. Nous partageons cet arc en dix parties ou

lamelles, ayant même projection Aor, sur la corde de Tare prise comme

axe des x. Ces âx, placés, dans la figure, les uns à la suite des autres,

peuvent servir à former un polygone des forces, ainsi que nous Vavons

vu (n* 3) ; mais ce polygone ayant de trop grandes dimensions, nous le

réduisons de moitié (PI. XYI,). Sur la verticale passant par le milieu de

chacune des 5 premières, nous portons les z^ qui leur correspondent, et

que nous supposons déterminés d'une manière quelconque; la figure

indiquera ainsi la loi de variation de ces longueurs. Les sommets du

premier polygone, analogue à celui de la fig. 25 (p. 21), sont situés sur

les horizontales des extrémités des z*^. Pour le construire, nous avons

pris verticalement le rayon 56 (PI. XVI,) et formé de part et d'autre de

ce rayon, les autres rayons et triangles.

Ax,.

L'un quelconque des rapports -j- est donné dans ce polygone par ix^

et la hauteur du triangle dont àx^ est la base. La somme de tous ces rap-

ports est égale à X s ^ = s ^' c'est-à-dire à la demi-portée, divisée par

la hauteur -m du triangle dont - / est la base (voir fig. 2) (nous avons

écrit - wi, pour la symétrie). Nous aurons donc : z

Pour déterminer la valeur de ^^ au moyen des équations précédentes

(p. 535), nous aurons à diviser par 9 toutes les longueurs qu^elles contiennent; nous nous épargnerons donc, pour Tavenir, beaucoup de réductions, en multipliant, dès maintenant, tous les z*^ par ce rapport. Il

faudra par suite que le rapport V "v 1 construit avec les nouveaux s*,

Ax 1 in Ax 9

soit égal à 1, puisque l'on a: >.—:; = - Zj";;7 = - = *- Nous défor-

merons donc coUinéairement à lui-même le polygone des forces, de manière que Tancien et le nouveau polygone aient comme ligne commune celle des - ax, que le centre de collinéation soit situé à Tinilni sur

la droite m, et que la distance à la ligne des àx de Tintersection des

côtés extrêmes soit égale à - /.

Gomme chaque verticale est commune aux deux polygones, il suffira

de porter - / sur la verticale m, de joindre l'extrémité de cette longueur

aux extrémités de /, et de prolonger ces lignes de jonction jusqu'à leur

rencontre avec les verticales du premier et du dernier (n*~) az*. On

joindra ensuite ce point au commencement de ~ Ax, et de - Ax^.,,eton

déterminera rintersection de ce rayon avecz'"3Cl3"'„,. En continuant ainsi, on construira le polygone en rebroussant chemin, comme nous l'avons déjà souvent fait. Par cette méthode, les 03" du milieu ne seront pas

déterminés très exactement, lorsqu'on approchera de la verticale - ///, et

c'est pour cela que nous commençons le dessin par les côtés extrêmes; nous pourrons trouver exactement les az'" du milieu, en joignant Textrrmité de Tancien z" h un z"\ quelconque un peu éloigné, cette ligne de

jonction coupera la droite des - A.r, en un point qui, joint fi l'exlrémilé

de a:",, coupera sur la verticale de z'" le oz'" cherché. Cette consiruclion repose sur les principes élémentaires de la collinéation.

Avec ce nouveau polygone nous construirons, d'après la méthode indiquée (n' 4), le pfdygone funiculaire (PI. XVl,) dont les cùtés, compriN entre les verticales des milieux des ax, sont perpendiculaires aux rayons correspondants de la fuj, 2. Deux côtés consécutifs, l'un avant, l'autre

après un A.r, coupent sur les verticales de A et de B les segments - —