ARCS ÉLASTIQUES DE FORME PARABOLIQUE ET POUR LESQUELS

® = e3 3- EST CONSTANT as

142. FORMULES GÉNÉRALES POUR LA PARABOLE ÉLASTIQUE, DANS LE CAS OU (S EST CONSTANT.

Nous sommes arrivés, n« 136 (p. 529), aux trois formules fondamentales sui- Tantes:

qui déterminent la rotation et le déplacement de l'extrémité d*un arc, lorsque Tauire extrémité reste fixe. Nous avons montré comment la question pouvait se résoudre graphiquement dans le cas général, et pour des valeurs 9} et ^ quelconques. Pour résoudre le problème par l'analyse, nous aurons à remplacer as par ds et le signe 2 par le signe /, entre les limites pour lesquelles le moment peut s*expriroer analytiquement en fonction de x ou de s.

L'intégration présente quelques difficultés, et Ton s'est donné beaucoup de peine pour l'efTectuer, dans le cas où la section est constante et où l'axe présente une forme circulaire ou parabolique. Lorsque la section et par suite le moment d'inertie sont variables* les méthodes graphiques développées dans les numéros précédents, senties seules qui soient applicables et comme les hypothèses faites en vue d*un calcul analytique ne se rapprochent que très peu de la réalité, les méthodes graphiques donnent certainement un résultat plus exact. Le calcul ne serait avantageux que dans le cas où les intégrales pourraient se mettre sous une forme simple.

Supposons, tout d'abord, que la charge résultant du poids propre soit uniforme : il faudra, d'après ce que nous avons dit, n* 141 (p. 551), que l'axe de l'arc soit de forme parabolique, afin qu*on puisse négliger l'action du poids propre. Il ne nous restera, dès lors, à considérer que les surcharges pouvant s'étendre, selon les circonstances, sur diverses parties de l'arc; nous les supposerons, de même, uniformément réparties sur chacune de ces parties. Mais on arrivera à la plus grande simplification possible pour les formules, en admettant que les moments d'inertie des sections varient depuis le sommet Jusqu'à la culée, dans le rapport des longueurs des éléments à leurs projections. Il est vrai que la section de Tare augmente du sommet à la culée dans une proportion bien plus forte que dt par rapport à é/x; néanmoins notre

5M ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DE L*éLA8TlGITé.

hypothèse se rapproche plus de la réalité que celle qui consiste À supposer la section constante et que Ton emploie usuellement pour les calculs. Dans ce cas la yaleur

sera constante. En multipliant les trois formules fondamentales par cette valeur, il Tiendra :

Dans ces formules, le signe \ s*étend sur chaque longueur de charge, pour laquelle

la loi des moments extérieurs ne change pas, et le signe £ indique Taddition des diverses intégrales, correspondant à chacune de ces parties. Soit

réquation de la parahole; soient de plus + /et /'les coordonnées de l'extrémité fixe de Tare, et — /, y/* celles de Textrémité mobile Xj^i; nous désignons Pordonnée de cette extrémité par yf et non par /*, parce qu'il arrive souvent que Paxe de Tare, supposé parabolique, ne passe pas par Pextrémité sur laquelle Tare repose.

Nous déterminerons en premier lieu les dimensions de Tellipse d'élasticité, et les coordonnées du triangle fondamental, de la manière suivante:

Les coordODnées du centre de gravité seront :

L'axe liorizontal de Tollipse rentralo sera :

L'axe vertical :

I/<^C|uation de l'ellipse d'élastioit('î sera, par suite,

Le point de la parabole qui a pour ordonnée .?/ = 7. f\ ^ ^n^^i pour absci?«:e

x^ = ■ /*, et les extrémités de Taxe horizontal de l'ellipse sont, par suite, situéo'^;

sur la parabole elle-même. Les deux autres intersections de l'ellipse avec l'arc oui

P0RMULK8 GÉNÉIULES POUR LA PARABOLE ifeLASTIQUB,

comme coordonnées ;

Les ordonnées des extrémités du petit axe sont :

•^ = î dfc 0^814 = 0,03519 et 0,63147.

Nous ayons déjà trouvé les coordonnées d*an des points fondamentaux, le centre de Pellipse. Uabscisse de TantipAle, par rapport à Taxe des y, <iui passe par Textrémité — / est:

L'ordonnée de Tantipôle par rapport à la corde de la parabole est;

On n*a jamais besoin de Tantipôle de la droite y = y/*. Nous n*avons d'ailleurs calculé ces dimensions que pour les comparer à celles que nous avons trouvées dans répure; nous les avons, pour cela, portées sur la fig, 203. Cette comparaison fait

ressortir d'assez grandes différences, ce qui prouve que les méthodes graphiques sont préférables.

Nous procéderons maintenant comme dans le n"* 138. Nous déterminerons d*abord la réaction AA de la culée provenant d^une charge AP ayant pour abscisse p/. Le moment de cette charge est, d'après les considérations développées au n* 43 (p. 159), égal à la somme des équations normales de la force.

L*équation normale de la charge AP, en y comprenant sa réaction verticale à Tabscisse — /, est donnée par Tune des deux expressions suivantes^ selon que Télément considéré se trouve avant ou après p/. (Voir n* 86 p. 317).

|(l-P)(l+f)/AP et î(l + p)(l-î)/AP.

Les signes sont ici opposés à ceux que nous avons trouvés au n* 86, parce que les a; et les p/ sont pris dans un ordre contraire. L*équation normale de la force aâ est :

i (Ç« + tiy + 1)AA,

où ( et 1) sont les coordonnées encore inconnues de la direction de AA, et ^ le facteur normal ^Ç* + ti*. Nous aurons, par suite, comme somme des équations des forces produites par AP, avant et après p :

^-,= A» = i (1 - p)(n- j)^ + i(Çaî + îjy + DAA, $Pj'*=Ag3 = ia-w(l + j)^AP+iRx + ïiy + l)AA, La substitution de ces valeurs dans les formules générales nous donne: (g8=0===[(l-P)jyi+j)rfaî+(l + P)Ç*(l-îjdir]^^

+ ^ /-iA \jlr + iri'/ + 1)(^ - ïj ^/.r,

-H i iSA y\lr -1- T.t/ + l)/l + y)^/T; et après avoir calculé les intéo^rales :

-e/*=(i -m(OY -\-r) ^,n'^p + è[g^^T-''^)A + 3^-1] ^/7aa.

143. ARC PARABOLIOUK A CUI.Él.S FIXES, SOUMIS A DES CHARGES AP.

Nous admettrons, comme précédemment, que Tare repose sur ses culées d'une manière assez stable et assez lixe pour qu'il puisse résister à un aA quelconque: ce AA n'est, dans ce cas, assujetti 'X aucune condition, et peut être choisi de manière à