ARC PARABOLIQUE A CULÉES FIXES, SOUMIS A DES CH AUGES AP

annuler à la fois les trois équations donnant i, h eik.Le point dont la position ne doit pas changer, et dont la section correspondante dans Parc ne peut pas tourner, est alors le dernier point de l'axe, et il faudra, dans nos équations^ poser r =: 1» En

égalant, en oatre, 8, A et —A; à zéro, et cherchant les inconnues ~ AA, ^ AA et — AA, il viendra :

i/AA=-8(l-p«)p .i/lP,

|/'AA= 15(l-p«)« .i/AP,

i ûA=-.(1-P«)(13-5P«).1mP.

L'addition, membre à membre, de ces trois équations nous donnera la forme normale de la réaction de la culée cherchée. Elle est, par suite, entièrement déterminée, et sa valeur est :

i(^ + tiy + l)AA = [-8Pj + 15(l-p»)^-13 + 5p«](l-.p«)i/AP.

Lorsqu'une équation est mise sous la forme normale, la composante parallèle à

Taxe des x est égale au coefficient positif de y (voir n*" 43, p. 159), c^est-àr^lire, dans

notre cas, à ^ (1 — p')* - AP, la composante parallèle à Taxe des y est égale au

coefficient de x, changé de signe, c^est-à-dire à -j-pCl — pi)AP, et le moment par

rapport à Torigine est égal au terme contsant ~ ^ (13 » 5 p*) (1 — p*)/AP.

L*équation de la droite, suivant laquelle agit la force, peut se mettre sous la forme suivante, en la débarrassant des facteurs communs:

5^-3^jp«-4Î.2p-13 + 15^=0.

Cette équation, qui est du premier degré, contient p au second degré ; par suite, les forces AA obtenues pour divers p. enveloppent une courbe du second degré. L*équation de cette enveloppe est, comme oh Ta vu en géométrie analytique, le discriminant de réquation du 1*' degré, pris par rapport à p, c'est-à-dire :

8 = 5(1-3 ^Yl3-15^j + 16^=0,

qui revient à l'équation de l'ellipse :

Cette ellipse a été dessinée (fig. 203); on voit par Téquation qu'elle est tangente

aux verticales des culées, et aux deux horizontales y=z-f et y = ^f; y=:-f étant

l'ordonnée du point 9, il en résulte qu*elle est en ce point tangente àTellipse d'élasticité.

En substituant Téquation normale de AA trouvée plus haut, dans les équations

de a9 et a9 du numéro précédent, on obtiendra la réaction totale sous sa forme

normale ; elle sera :

àa = [ 8(2+ P)y +15(1 4-p)*^ +8-5(1 + P)«](l-P)il/àP,

Les deux équations sont satisfaites à la fois par les Talours :

x = p/ et yrr-g/; par suite*

sera Téquation de la courbe d^intersection des forces. Elle se réduit à une horizontale, située au-dessus du sommet de l'arc, à une distance égale au - de la flèche.

L'équation de 9 peut s'écrire de la manière suivante :

Cette équation contient aussi un paramètre 1 + p. En formant son discriminant par rapport à ce paramètre» on obtiendra Tenveloppe des réactions pour des valeurs 1 + P yariables. Cette en^^oppe est donnée pai* l'équation :

équation qui représente évidemment une hyperbole.

La verticale x = — l est l'une des asymptotes, Tautre passe par le centre x = - /.

ij=— f, par les points des axes a: = — *- i et y = ^ f, et par l'extrémité x = !y 'j = -f 1.0 ^ 0 0

de la tangente y = -^ /'= 0, dont le point de contact se trouve à l'abscisse j; = U. On obtient, de même, l'équation de S :

0 = 5(3 ^ - l)(l -?)^ -4 ■^.^>(l-ii] + 8(1-^1 33 enveloppe l'hyperbole :

La verticale x = / est une des asymptotes; l'autre asymptote passe

par le centre x = /, y = — / ;

par les points des axes, x = - / et t/ = - /*;

par l'extrémité x = — /, y = - /' de la tan^^ente 0 = ?/ — - /, commune aux troi> courbes, et dont le point de contact a pour abscisse x = 0.

ARC PARABOLIQUE A CULÉES FIXES, SOtlMlS A DES CHARGES ÂP. 5ft9

Toutes ces tangentes ont été indiquées {fig. 203) ; mais leurs points de contact : - / sont situés hors des limites de la figure.

Les trois courbes S, S\ S'' sont osculatrices Tune à Tautre au point x=0, y = -f\

on peuty en effet, les mettre sous la forme suivante :

8S' +8 = 5^3^ -l)( 8y + 15^~5J, 8S"+S = 5(3^-lj(-8j + 15^-5),

Puisque la droite 3^—1 = 0 touche déjà les trois coniques au même point 7=0,

et que les trois cordes :

passent par le même point; en ce point se confondront trois fois trois points des trois courbes. Deux quelconques de ces courbes ne peuvent donc plus avoir qu'un autre point de commun; et ces trois nouveaux points d'intersection, pour les trois courbes, sont situés sur les trois cordes dont nous avons écrit les équations. Leurs coordonnées sont :

La dépendance réciproque des directions des trois forces aA, a9, àSd peut s'exprimer symétriquement de la manière suivante :

Le triangle que forment ces trois directions est inscrit dans le triangle y ^ — ^ f ,

X = db 1 dont un des sommets est situé à rinfini, et il enveloppe les trois coniques S, S',

S''. Les trois côtés du triangle touchent chacun tune des coniques^ et les trois coniques se

touchent elles-mêmes en un même point triple. Par suite, les directions des forces dé"

terminent des formes prqfectives sur les côtés du triangle, dans lequel elles sont inscrites,

et sur les courbes auxquelles elles sont circonscrites.

n peut être intéressant de ne pas limiter les composantes de AP à des points d'ap^ plication sitnéSt sur la courbe d'intersection, entre les deux verticales des culées, et d'étudier ce qu'elles deviennent pour des points d'application, situés en dehors de ces verticales. Nous avons pu, en effet, au n« 139 (p. 544), généraliser quelques remarques sur la forme des courbes enveloppes.

Nous avons essayé {fig. 204) de montrer comment les diverses directions des AP> AA, AB, A$, àSa et aSB sont liées entre elles. La droite d'intersection des fortes est coupée en sept segments, par les quatre asymptotes des deux hyperboles (dont deux coïncident toujours avec les réactions verticales des culées), par les points de tangence de ces hyperboles et enfin par le point à Pinflni. Nous avons, dans la figure, distingué ces segments par le dessin, en employant le même genre de lignes pour les segments symétriques. A ces segments correspondent sur Pellipse des segments qui sont également symétriques, et, sur les hyperboles et sur les asymptotes verticales, d'autres segments qui ne sont plus symétriques, car si le segment déterminé sur l'une est grand, il sera nécessairement petit sur Tautre.

Toutes les formes étant projectives, les segments se suivront partout dans te

même ordre, et pendant que AP parcourra, de — oo à + <» t la ligne dUntersection des forces» les points de contact de chacune des autres forces décriront leur courbe enveloppe. Quant à la direction des AA, ces forces tourneront toi^ours dans le

-Fig. 204.

même seus, puisqu'elles enveloppent une ellipse. Pour les hyperboles, les as\ mptoie-> sont des tangentes de rebroussement, ce qui change la loi suivant laquelle tournent 163 forces; on le voit d'ailleurs, sur la lli^aire, d'après la direction de ces forces

avant et après les asymptotes de l'hyperbole A^^(. Comme, dans la ti^ure, on :i

établi partout l'équilibre de AA et de aSI, puis de AB et A^B avec la réaction delà culée, il arrive parfois que la direction de ces forces concorde, et parfois qu'elle ue concorde pas avec le sens des courbes. AB et a33 concordant, il n'en est pas de mémo pour AA et a3(.

Depuis p=:0 jusqu'à fi = -f ao, a3( tourne toujours dans le sens positif; il n'eu

est de même pour A^B que jusqu'à la culée de droite [i — I, où elle devient verticale; elle tourne ensuite en sens contraire, c'est-à-dire dans le sens négatif iusqu'à ce qu'elle atteigne Tautre asymptote {i = 3; pour p — 2, elle est horizontile et coïncide avec la ligne d'intersection des forces. De p— 3 jusqu'à {i = cc elle tourmde nouveau dans le sens positif, et redevient horizontale pour ^ = oc sans coïncider toutefois avec la ligne d'intersection des forces; elle se confond, dans cette position, avec la tangente d'osculation, commune aux trois courbes. Pour les valeurs de ^=0 jusqu'à p = — Qo, il sutFit, dans les considérations précédentes, de permuter

31 et «.

144. ARC PARABOLIQUE REPOSANT SUR DES CULÉES FIXES ET CHARGÉ UmFORMÉMENT

DE p TONNES PAR MÈTRE COURANT.

Nous obtiendrons les réactions totales $( et 33 des culées, pour le cas d^une charge uniformément répartie, en posant dans les formulés du numéro précédent :

AP=/>rf(/p) = /prfp,

et en intégrant ces formules par rapport à p. Remplaçons aussi a9( par c/ • 9 et 1 — ^ par p', et nous verrons immédiatement que Téquation intégrée contiendra le facteur p** et que par suite, ^' aussi bien que p n'y entreront qu'au second degré, si Pon choisit 1 — p = 0 ou p = l comme limite supérieure de l'intégrale définie. Les formules donnant $( seront donc plus simples^ en prenant comme limite supérieure la valeur -f- 1, c'est-à-dire en considérant une charge non-adjacente à 9. Pour les

mêmes raisons, nous prendrons aussi pour 33 une charge non-adjacente, et la limite inférieure — 1 pour Pintégrale correspondante. Lorsqu'une charge ne s'étendra pas jusqu'à la culée opposée, nous trouverons la réaction qu'elle produit, en soustrayant les réactions 91 et 33, obtenues pour ses deux limites. L'intégration des formules nous donne les résultats suivants :

ap' = [ 2(3 + P) 7 + (8 +9p + 3p«)^ -(3 + P)p] (1-P.»- ^ ^'P> S3L,= [-«(3-P) 7 +(8-9P-h3?«)^ -f (3 - p)ip] (1 + p)». 1 /i^,

ep=»t + 2ir=(-«p-r + ^ + p')|^/'-

L'équation donnant la direction de la force ^ peut se mettre sons la forme :

(3^-l)(3 + P)« + 2(^-|^-h|)(3-hP)t8^ = 0. Elle enveloppe donc la courbe :

(f-IM)'-M-7-')-

Les droites - = 0 et 7 = r sont tangentes à cette courbe, et leurs points de con-

tact ont pour abscisses j = — - et j = 0. Ces deux tangentes étant parallèles, le

milieu de la droite joignant les points de contact sera le centre de la courbe. Les

coordonnées sont î 7 = — 7 et 7 = -.

L'équation peut être mise sous une forme donnant ses asymptotes; elle peu s'écrire :

ou :

M-(h'^«)(|-5)]-M-(l-v5)(f-iM=«.

Ht ALtMBRTt' PB LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ.

OU enfln :

Les asymptotes couparont : la tangente y = 0 aux pointa - = — -±- ^ = — 1^

q: 0,8185, la tangent0^ = -Bux pointa ~ = ± ~ ^ = ±0,8165; et la tangente*

l'extrémiU de l'arc, dont l'équation est2j + ^-t-l = 0 aux points ^ :^ — 1 d: - vî

= — ld:0,«œ,^ = 1^5^5=1^0,8185. Elle» rencontrent la verticale 7=-!

auipointB^= — ^—^=—:t: 0,3E6t), l'axe deax,^=0 aux points ^ = — —±rV6

= -îi±0,fi798,Btlaverticale7=l, aux points^=-?|±^^ = -?5±2,îMî. la I f Ib 10 15

Ces valeurs K'appliijuent aussi à 2} lur^qu'on )■ iciiiplace +x par —x. Noui avons dessiné Vant d.^a liyperliules sur la /iy. 20ô. Cuiiiiiio, pour une charge toude, les directions >!a ^ et de 3) vieDuent uuïticiiJer aveu les tangentes extrêmes A U parabole, il faudra que ces hypertioles auieut elloS'm^uie'j tangentes & la parabole, aux abacisaes d= /. En elTet, un otilieal, par la aubatitutiuQ de ^ = — 1 dans 31 M de p = + 1 dau 99, les équations des tangentes à la parabole ;

La courbe enveloppe des ^i et celle des-jl^, itout des oourbea de cinquitnM

claisae: nous ne nous arrêterons pas A lea étudier, nous nous bornerons adonner plus loin, par un petit [iible:iu, un moyon de les runstruire par lu^^'iLicutii.

Les courtiiw enveloppus du 51 «t de '-B uc fiurlisrnt pas pour construire lus 'lir;'lious, suivant lestiuelliw cch forces afiisscnt; il liiut connaître eiii"jri' un ikhiiî ■:■ chacune àa ces directions; nous CMlculerons, piiur cel:i, la courlie iliuliT-ïCiiica des forces, c'est-à-dire (|U0 nous dL'lorininerous lu point en Iciiud »Jl,j leniiuiiif la verticale du centre do gravité, correspondant à la cliarye uuilorme depui- ^,iu-qu'à 1, et dont l'équation ust i = ^ (fl + 1). Ce poiut de renconti-e appariieorfr.' aussi â ©g ' ■ Nous obtiendrons évidemmeut la courbe d'inlcraection, en éliiuiiiini la constante [) outre l'équation pri^cédenle et colle de ^1, ce qui revient à ramiili'i'! dans 31, \i par la valeur 2j; — I. Le résultat <ie l'Otte .substitution sera, en écriuoi simplement j: et 1/ au lieu de j- et ^:

N représente le 'l.'ui différentiels de i'équt

;' + iii + l)^<iU+l+ )

■2,x> +3j:' + x) = — 18 (;ic + 3 + v'^) ii^ 4

ARe PARABOLIQUE REPOSANT SUR DES CULÉES FIXES.

Il résulte de ces équations que la courbe se compose d'une seule branche (voir 'ig, 205), puisque sur chaque ordonnée réelle se trouve un seul point réel de la

Fig. f 05

courbe. Elle touche à Tinâni Taxe des x, qui est, par suite, Tunique asymptote réelle. La courbe a en outre trois points réels d'inflexion, situés sur une même droite, et entre lesquels se trouve, une fois un maximum, une fois un minimum. Les coordonnées de ces points sonf les suivantes :

dy dx

Points dlnflexion :

+ i(=tv/5-2)

Maximum et minimum :

(-Vf) i

(=fc4\/6-9)

Points sur les verticales

des culées :

Nous avons indiqué ces valeurs afin de montrer la forme de la courbe; on n*a, d^ailleurs, besoin de cette courbe qu'entre les deux verticales a;=:Oetx = + l. La courbe dlntersection des forces est en relation avec l'hyperbole enveloppe des

forces ^g"^ . L'équation de cette hyperbole peut, en effet, se mettre sous la forme suivante :

„ ^PU... »... p*M..„„. ^ .. >, ,...K..p,«.«^e».^„. 'tion la valeur trouvée plus haut pour ^ordonnée y de la courbe d^nteraection» et

égalant à zéro le rôsultati nous obtiendrons uu carré parfoit :

Cette équation montre que les deux courbes ne peuvent pas se couper en leurs trois points communs^ mais qu'elles sont tangentes Tune à Pautre en ces points. Les trois racines doubles de Téq nation sont :

A la racine réelle correspond Tordonnée réelle du point double; sa valeur et celle du coefficient angulaire de la tangente, en ce point, sont données parles équations:

dv y = -1,13775; •/ = - 2,87550.

En réalité, on n'a besoin que d*une petite partie de cette courbe pour déterminer les réactions, et nous n^avons calculé ses points remarquables que pour mieux U caractériser. Lorsqu*on voudra s'en servir pour trouver directement les réactions des culées, provenant de divers modes de charge, sans ajouter d'abord les équations donnant les réactions partielles, pour trouver enfin leur résultante totale, comme nous le ferons à la An de ce chapitre, il sera très avantageux d'employer les vingt

valeurs correspondantes de 91 ^ ®t de ^t^ que donne le tableau ci-après; elles

permettent de dessiner la courbe d^intorsection et Tenveloppe des forces, avec une exactitude plus que suffisante pour ces vingt valeurs de p. Les valeurs intermédiaires de ^ et SB pourront facilement être interpolées. Le tableau donne, depuis p = — 1 Jusqu'à p = -f 1, Tordonnée de rintersection

de ^q"' avec a; = — 1, les coordonnées du point d'intersection des forces, et Tordonnée du point où ^t* coupe la droite x = + 1.

51 pour

CuURBE

d'iulerscctioa (Ips forces.

Jr^ + l.

VI 3 pour .r — — 1 .