RÈGLE A CALCUL ORDINAIRE
Dans les règles à calcul ordinaires, les longueurs (O)Afi..., (0|)A,Bf ..., ne sont plus proportionnelles aux nombres ai..., a^b^...^ mais à leurs logarithmes log a, log i..., log a^, log i,...
On peut construire graphiquement ces logarithmes au moyen des spirales logarithmiques (PI. Ii «t s). On détermine sur Tune de ces deux courbes les points dont les distances au pôle 0 sont i, a, i..., et Ton porte sur la règle des divisions dont les abscisses sont proportionnelles aux angles que forment entre eux les rayons vecteurs de ces points ; les abscisses s'obtiennent en développant les arcs de cercles interceptés par ces rayons sur une circonférence dont le centre se trouve en 0. En changeant le rayon de cette circonférence, on obtiendra différentes longueurs d*échelles. On retrouve les mêmes échelles pour des rayons vecteurs de sV & ^f de i à iO et de 10 à 100. On porte ordinairement sur la règle deux de ces échelles à la suite Tune de Tautre. Nous n*avons indiqué la méthode précédente que pour donner une construction graphique des logarithmes, mais dans la pratique, on se borne à porter comme abscisses, deux fois à la suite les uns des autres, les logarithmes des nombres de 1 à 100, mesurés à une échelle quelconque.
Au système ainsi formé, on joint ordinairement une troisième échelle ayant des divisions doubles des précédentes et sur laquelle on ne porte qu'une seule fois les logarithmes de 1 à 10, comme le montre la fig. 34.
Fig. 84.
Il 2 3 4S67S910 2 3 4 5 g.7 8 ^.10
Dans une coulisse pratiquée au milieu de la règle à calcul, on place une réglette mobile. La partie supérieure de la règle, dont nous continuerons à désigner les divisions parai..., contient deux séries de logarithmes. La partie supérieure de la réglette est graduée de la même manière. Nous donnerons à ces dissions Tindice 1, et nous désignerons par suite par a,, b^, c^,.. les longueurs correspondantes à a, i, r... Quand
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la division de la partie inférieure de la réglette est la même que celle de la partie supérieure, nous la désignerons aussi par le même indice, c*estrà-dire par a^ b^^ c,... Si, au contraire, comme dans la fig. 35 (n* 9), les logarithmes sont portés à la partie inférieure à une échelle double, de manière que cette partie ne comprenne qu'une seule série de logarithmes, nous désignerons les divisions par a^, i^, e^... La partie inférieure de la règle, que nous affecterons de Tindice 3, porte toujours des divisions à Téchelle double, et par suite ne renferme qu*une seule série de logarithmes.
En appliquant les règles de Taddition de la fig, 30 à la partie supérieure de la règle et de la réglette, on aura :
log 4 = loga — loga, -flog A,,
Dans la fig.SA, par exemple, on aura
Le théorème énoncé au n* 6, à savoir que la position de la réglette ne change pas tant que la différence a — a^ des deux premiers membres reste la même, peut s'appliquer maintenantaux logarithmes : la position ne change pas, tant que la différence des logarithmes, c'estrà-dire le quotient
des nombres correspondants, reste le même. Ainsi, dans la fig, 34, tous
les nombres dont le quotient est de 7 = 2,25 se correspondent verti-
calement sur la règle et la réglette.
Gomme 0 est le logarithme de 1, on peut, en égalant à 1 Tun des trois nombres précédents, multiplier ou diviser deux nombres quelconques Tun par Tautre.
Nous pouvons résumer tout ce qui précède de la manière suivante :
On peut^ en faisant glisser la réglette mobile (Tune règle à calcul graduée cmmne la réglette^ multiplier le quotient de deux nombres par un troisième nombre quelconque^ par suite aussi multiplier ou diviser un nombre par un autre, La position de la réglette ne change pas quand les deux premiers nombres restent les mêmeSy et par suite tous les nombres dont le quotient est constant se correspondent respectivement sur les deux échelles.
Gomme les divisions correspondent aux mantisses des logarithmes, il faut ajouter séparément les caractéristiques. L'opération se fait ordinairement de tête. Si les mantisses des logarithmes à ajouter sont assez grandes pour que leur somme dépasse Tunité, l'extrémité du système de
lignes de la fig. 30 tombe sur la 2* série de logarithmes de la règle. Il faut donc, dans ce cas, augmenter d'une unité la caractéristique que Ton aurait trouvée sans cette circonstance. Il £aut en retrancher Tunité
lorsque cette extrémité tombe en avant de la 1'* série de logarithmes par
suite de la grandeur exagérée du dénominateur.
Soit, par exemple, à former b=z - 7. La position de la réglette sera
indiquée par le tableau suivant :
Il faut ajouter 1 à la somme des caractéristiques, qui est ici 0, parce que le nombre correspondant 7, qui forme Textrémité du système commençant en 1, tombe à droite de la T* série de logarithmes de la règle. La caractéristique finale est donc 1, et le résultat est 15 1.
Pour former b = -— • 700, on aurait, pour la même position de la
réglette, la caractéristique
et le résultat serait 157 500.
Soit 6= -•3,5 à former; on placera la réglette dans la position indi-
quée par le tableau suivant :
et on prendra comme origine du système de lignes le point I qui forme le commencement de la deuxième série, car on a besoin de la série précédente.
Si Ton retranche, du 2 qui suitl, log 9, on tombe sur la série précédente et, même après Taddition de 3,5, on n'arrive pas à 1. La caractéristique sera 9 , et le résultat de l'opération 0,78.
0,2 Pour former--^ -0,035, la caractéristique serait
et le résultat égal à 0,0000078.
Si la règle à calcul est construite de manière que la réglette puisse être retournée, on peut faire les mêmes opérations que plus haut. Le nouveau système de lignes ne se distingue du précédent qu'en rc qu'on
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ajoute d'abord les deux logarithmes, puis qu*on en retranche le troisième. Dans le dernier exemple, la réglette aurait la position indiquée par le tableau suivant :
Le produit de tous les nombres qui se correspondent sur la règle et la réglette est égal à 7.
On peut donCy en retournant la réglette^ diviser le produit de deux nombres par un troisième et^ par suite^ multiplier ou diviser un nombre quelcvnqtAe par un troisième.
La position de la réglette ne change pas tant que les deux premiers nombres ety par suite, leur produit ne changent pas^ et tous les nombres se correspondant sur la règle et la réglette ont un produit constant.
Comme cas particulier, des nombf*es réciproques se cotrespondent sur la réglette et sur la règle quand la division { de la réglette se trouve au-dessous de la division 1 de la règle.
Nous n*ayons considéré jusqu*ici que la partie supérieure de la règle et de la réglette, considérons maintenant leur partie inférieure. Dans la disposition de la fig. 34, les différences
Iga — lga, = 21ga3 — Iga,
seront constantes.
On voit, au moyen de cette équation, qu'on peut trouver les b dans les rapports :
A — Éi — ii — ^' b^~ b,^ a," a,'
c'est-à-dire faire les opérations suivantes :
b, = ^-ib=^ bl=.^bl ' al a • al »
ou
Nous laissons au lecteur le soin de- traduire ces résultats en langage ordinaire et nous nous contenterons d'indiquer les positions de la réglette dans deux cas particuliers : celui de la recherche de b^ et celui de la recherche de 6,.
Soit à former A, = q2,6 =3. (Le résultat exact est 3,0044, on voit
d ulleurs sur la règle que le 3 est un peu dépassé.)
Lft réglette a la position indiquée par le tableau :
Si au lieu de 9, on avait eu 3', on aurait pu faire toutes les opérations au moyen des échelles inférieures 1 et 3.
Si Textrémité du système de lignes se trouve dans la première série, il suffit d'ajouter les caractéristiques, celle du carré étant naturellement doublée. Si Textrémité dépasse la première série, il faut ajouter i à la caractéristique trouvée. Ainsi pour
La caractéristique est :
La même position de la réglette permet aussi de faire le calcul suivant :
6 (exactement 2,598);
mais il faut remarquer que l'origine du système se trouve à gauche au premier 1 et non plus au point 1. Si la somme des caractéristiques n*est pas égale à 0, il faut naturellement la diviser. Cette somme pouvant être
impaire, il peut arriver que sa moitié soit de la forme n-|--. Dans ce
cas, si Ton considère l'échelle 3 de la règle comme la vraie échelle de
logarithmes, les longueurs \/a, Va, , sfb^ des échelles supérieures devront être considérées comme des demi-logarithmes et par suite la caractéristique 5 représentera la longueur d'une des séries supérieures qu'il faudra ajouter dans ce cas au système de lignes pour lire le résultat.
Par exemple, d,= Kl - . 30=8,22 (exactement 8,216).
La caractéristique est -, c'est-à-dire qu'il faut ajouter au système la
longueur d'une série supérieure, et le résultat se lira en regard du nombre 3 placé sur la deuxième série de la réglette comme l'indique le tableau précédent.
