RÈGLE TRIGONOMÉTRIQUE

Sur le revers de la réglette et en son milieu se trouve l'échelle suivant laquelle la double série de logarithmes a été portée. Elle est disposée de manière qu'en plaçant le 1 de la réglette au-dessus d'un nombre quelconque de l'échelle inférieure, on lise sur le revers de la réglette et à l'extrémité de la règle, la valeur du logarithme de ce nombre. Les deux bords du revers de la réglette portent les log sin et les log tang à l'échelle de la série simple pour les valeurs caractéristiques 8 et 1. Les sinus commencent donc à 34'24",7 et s'étendent jusqu'à 90' {voir fig. 36); les tangentes commencent à 34'22",7 pour s'étendre jusqu'à 45*. Mal-

(•) Nous croyons toutefois devoir ajouter que l'auteur a changé d'avis sur ce point

et qu'il considère le curseur comme réduisant l'exactitude à — au lieu de- — .

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heureasement ces graduations sont faites d'une manière très grossière. Jusqu'à 10*, la graduation n'est faite que de 10' en 10', tandis que l'intervalle entre 40' et 50' est aussi grand que 20 des subdivisions indiquées sur la règle entre 1 ,4 et 2, on pourrait donc le diviser en demi-minutes,

Fig. 36.

mais avec la graduation actuelle, il est inutile de songer à placer exactement la recette.

Vers l'extrémité de la réglette, il y a aussi peu d'exactitude. Entre 50 et 60*, il y a encore dix subdivisions et enfin trois traits indiquant 75*, 80* et 90* entre lesquels il est impossible d'interpoler. En dehors de ces dernières divisions, on peut, après avoir retourné la réglette de manière que la partie inférieure se trouve en haut, multiplier des quantités par des rapports de sinus et de cosinus, c'est-à-dire résoudre beaucoup de problèmes de trigonométrie. Lorsque les extrémités des échelles coïncident, les sinus se trouvent sur la règle en regard des degrés.

Les remarques que nous avons faites pour les sinus des petits angles s'appliquent aussi à leurs tangentes ; à partir de 10*, la graduation est faite de 20' en 20' et entre 20* et 45* de 30' en 30'. On ne peut donc commodément multiplier par des rapports tangentiels qu'entre 2* et 45*. Lorsque l'on veut déterminer le rapport des tangentes de deux angles, l'un plus grand, l'autre plus petit que 45*, on obtient son logarithme en mesurant, sur l'échelle des tangentes, la longueur comprise entre le plus petit angle et l'extrémité correspondant à 45*, et en y ajoutant la longueur mesurée en sens inverse depuis 45* jusqu'au complément du plus grand angle. Le tout peut se faire au moyen du compas, mais l'opération n'est, en général, pas simple; car, pour de grandes différences d'angles, la longueur obtenue peut être quatre fois celle d'une des petites séries de logarithmes; il faut alors retrancher de 1 à 3 de ces séries, ajouter autant d'unités à la caractéristique et opérer sur le reste comme sur un rapport de tangentes. Ces réductions étant longues, nous nous servons de la même règle à calcul que pour les calculs trigonométriques les plus simples. Lorsque, par exemple, les extrémités de l'échelle des tangentes coïncident avec celles des échelles supérieures de la règle, on peut lire les tangentes en regard des degrés. Ainsi, l'on voit qu'à une rampe de !0 p. 100 correspond l'angle de 5*43' (exactement 5* 42' 38").

A quel angle correspondent des rampes de 3 sur 30 et sur 3 mètres. Les caractéristiques sont 8 et 9. Pour résoudre les deux problèmes, nous

plaoeroas Téchelle des tangentes au-dessous du 3 de la deuxièiAe série ; comme Tindique le tableau suivant, où le commencement de la réglette est indiqué par 34' et Textrémité par 45*.

Tg 54' 1-54 3-49 5' 43 18'25 33*45 45

Le 2 qui se ti^ouve entre 34' et 5* 43 nous donne Tangle 3* 49 (exactement 3* 48' 49*) qui correspond à la caractéristique 8 ( tg= — ) et le 2 qui se trouve entre 5*43 et 45' nous donne Tangle 33*45 (exactement 33* 41' 24") qui correspond à la caractéristique 9 ( tg = -, rampe de 1 ^ j .

Remarquons que le 1 et le 10 nous donnent les angles correspondants à

des rampes de —- et de -. Ces angles sont de T 54' (exactement 1* 54' 33*)

et de 18' 25' (exactement 18* 26' 6").

En général, à chaque angle correspondent les hauteurs mesurées à une distance du sommet de Tangle égale à 30.

Enfin, pour calculer aussi des fonctions trigonométriques pour des angles au-dessous de 34' 23", on a porté sur Téchelle 0 les longueurs réciproques de 1' et de 1", c'est-à-dire les nombres de minutes et de secondes que comprend un diamètre. Ces nombres sont de 3437,75 et de 206 265 (il eût été utile de marquer aussi le nombre de degrés, 57,296; nos figures sont trop petites pour indiquer Tun quelconque de ces nombres). Gomme, jusqu'à 1", les sinus et les tangentes ne difiTèrent qu'à partir de la quatrième décimale, on pourra, pour l'emploi de cette règle, prendre l'arc au lieu du sinus ou de la tangente. On peut maintenant multiplier un nombre quelconque de minutes ou de secondes par un rayon. Trouver, par exemple, la longueur d'un arc de n minutes décrit

avec 300 mètres de rayon; il suffit de former -777^. Position de la

réglette :

En tenant compte de la caractéristique 3 de 1 : 1' on voit que, pour 300 mètres de rayon, 1 mètre correspond à ir,45 et que les arcs sont donnés en minutes vis-à-vis de leur longueur; 60' ou 1* a une longueur de 5",24, etc.

On voit, par la différence entre les angles exacts et ceux que nous

sin

trevTMis par la rôgla à ealcul^ qm les opérations sont pen approcbéoi, qu^foe habitude que Ton ait de Tinstniment. On pourrait un pen augmenter rapproximation par une meUleuve graduation, surtout au eom* mencement de réchelle, mais les erreurs seraient encore sen89>les. E31es ne sont d'aillenrs qu'apparentes et proviennent d'une autre raison ; nous mesurons les longueurs au moyen d'instruments divisés très grossièrement, par exemple avec des chaînes dont les tiges ont 0*,90 à 0^,S0 de long, tandis que les angles se mesurent avec des instruments d'une grande précision dont les subdivisions ne peuvent se lire qu'au moyen de la loupe; par suite, en combinant des longueurs avec des angles, ces derniers sont donnés avec un plus grand nombre de décimales, et la lec« ture dAS angles sur la règle paraît moins exacte.

BXBMPLB. Soient 50*, 70* et 60* les angles d*un triangle, soit 600" la longueur du c6tè opposé à 70*. Quelle est la longueur des deux autres côtés? • On pUoe 6 Tia-à-vis de 10, voir fig, 36, et Ton a :

488 Tia-à-Tk de 50, et 551 vis-à-vis de 60*.

On emploie aussi avantageusement la règle à calcul dans la tachéométrie pour réduire à l'horizon les longueurs que l'on mesure et pour trouver la différence de hauteur de leurs extrémités. Les calculs sont excessivement simples quand la mire est tenue perpendiculairement au rayon visuel, il suflSt de multiplier la longueur lue sur la mire par le sinus et le cosinus de l'angle, opération qui n'exige aucune explication et qui peut se faire au moyen d'une règle à calcul ordinaire.

Les géomètres, qui répètent chaque jour cette opération une centaine de fois, ont avantage à se procurer une règle construite spécialement pour cet usage. Dans ces instruments, les dernières subdivisions de réchelle des sinus portent les indices des angles complémentaires, au lieu de marquer 45% 50*, 60*... 90*, on marque 45*, 40*, 30*, 0*, car on a rarement à observer des distances angulaires supérieures à 45"; on a de cette manière, vis-à-vis de l'échelle supérieure, une longueur égale à environ 1,8 de l'une de ses séries et correspondant aux sinus des distances angulaires; la partie restante, égale à 0,2 de l'une des séries, correspond aux cosinus pour les réductions à l'horizon. Afin de trouver constamment les sinus et cosinus en ne donnant qu'une seule position à la réglette, il faut ajouter, pour les cosinus, quelques traits de division à gauche de 34' 23'^ ils ne sont strictement nécessaires que jusqu'au sinus dont le logarithme est 9, c'est-à-dire jusqu'à 5*43'. Pour lire, par exemple, ces 5* quand 5,20' se trouve au-dessous de 96, on a besoin de

ces traits, car alors rextrémité droite de l'échelle marquée sur la réglette dépasse la règle. Gomme cos 10* == sin 80* = 0,9848, on peut toujours marquer sur Téchelle ces quelques traits de division sans augmenter la longueur de Tinstrument.

La mire ne se place pas, en général, perpendiculairement au rayon visuel, on la tient verticalement. Au lieu de la longueur 2a\ on lira, par suite {fig. 37), une longueur :

__ . / cos 8 cos 6 \ 2(0

^"^^ \cos(8 + 8) ■^* cos(e — 8)/ "" cos e(l — tg« 8 tg« t

Fig. 37,

La distance directe est donc égale à a cos e en négligeant tg* 8 tg* e quL est très petit, ce qui est toujours permis, car Tangle 28 est déterminé par deux fils de la lunette et est, par suite, excessivement petit.

La distance réduite à Tho-

rizon est, par suite, égale à

acos*c et la différence d*altitude à acos2sin6 = a~ sin Se.

On peut, pour calculer ces quantités, se servir d*une règle disposée comme l'indique la fig. 38.

Fig. 38.

La partie supérieure de la règle contient, comme d'habitude, deux séries successives des logarithmes de 1 à 10. Sur le bord correspondant

de la réglette, on peut indiquer les valeurs Ig - sin 2a pour les caracté-

ristiques comprises entre 8 et 1. Le plus petit angle marqué est - arc sin

0,02 = 34' 23", rangle ^ arc sin 0,2=5*46'6%5 correspond à l'extrémité

de la !'• série. L'angle 45" correspond au chiffre 5 de la 2' série, et forme l'extrémité de l'échelle de la réglette, car la fonction ne peut jamais surpasser la valeur 0,5. Lorsque la distance angulaire est plus