REMARQUES GÉNÉRALES SUR LES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

L'art des représentations graphiques est né en môme temps que celui du dessin, et l'écriture primitive ne fut d'abord que la représentation des objets que l'on voulait rappeler à l'esprit. Mais peu à peu l'écriture se perfectionna, et les signes qu'elle employait s'éloignèrent de plus en plus de la forme primitive des objets pour devenir de simples signes conventionnels; au contraire, l'art du dessin chercha de plus en plus à se rapprocher de la réalité, et déjà, dans une antiquité reculée, on étail parvenu à une perfection assez grande pour tromper, par des images, les animaux eux-mêmes. Les dessins primitifs n'étaient que de simples contours, des profils. Ces profils, malgré leur simplicité, avaient une utilité spéciale, outre qu'ils contribuaient aux progrès de l'art du dessin. Il fallait, pour la construction des anciens temples, dessiner le profil do leur entablement. Les contours des montagnes et les profils en long'des routes qui les traversent ne sont aussi que des profils. Le profil, cependant, ne sert pas seulement pour les représentations techniques; il peut aussi servir à représenter les conceptions abstraites, depuis que Ton connaît plus intimement les propriétés des diflerentes courbes.

On considère les courbes planes comme la représentation graphique (le la relation intre deux variables; elles rendent, prises à ce point de vue, d'immenses services à l'analyse et à la construction. Une courbe dessinée permet, mieux que Tcquation qui la fournit, de saisir l'en^iemble de ses propriétés; le dessin en met en relief et en rend apparentes toutes les singularités. L'avantage que présentent les courbes est bien plus grand encore quand ce n'est pas l'équation de la courbe qui est donnée,

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mais seulement un tableau de certaines valeurs correspondantes des variables. On peut, dans ce cas, au moyen de la courbe, trouver souvent les relations encore inconnues entre les variables. C'est ainsi que les courbes thermométriques et barométriques fournissent à la météorologie des moyens d'étude précieux.

Nous ferons, dans notre livre, un usage constant des courbes; aussi c'est un devoir pour nous de citer les recherches de l'ingénieur français L. Lalanne {*), publiées dans les Annales des ponts et chaussées, 1846, I, p. I, et intitulées : « Mémoire sur les tables graphiques et sur la géométrie nnamorphique appliquée à diverses questions qui se rattachent à lart de C ingénieur, » Il y essaya de perfectionner le système de représentation graphique et de l'étendre à trois variables. Notre citation est d'autant plus à sa place à la fin du chapitre des règles à calcul que ses recherches le conduisirent à un instrument tout à fait semblable (quoique déjà connu antérieurement).

De même qu'une fonction de deux variables peut ôtre représentée par une courbe, dont ces variables sont les coordonnées, de même une fonction de trois variables pourra l'être au moyen d'une surface. Si maintenant on parvenait à représenter sur le papier, qui n'a que deux dimensions, une surface courbe, on résoudrait le problème pour les fonctions de trois variables aussi bien qu'on l'a résolu pour celles de deux au moyen du profil.

Il est possible d'atteindre ce résultat par l'emploi des courbes horizontaies. Supposons que les trois inconnues xyz représentent des coor^ données dans l'espace, et admettons, pour avoir le droit d'employer le mot « courbe horizontale », que le plan xy soit horizontal. Donnons à la variable z une valeur constante 2 = 5„ qui détermine un plan z^ parallèle au plan des xy. Les points qui dans ce plan satisfont à l'équation donnée sont situés sur une courbe que nous projetons sur le plan des xy parallèlement à l'axe des z, et que nous dessinons dans ce plan. Si l'on répète l'opération pour une série de valeurs équidistanles z^ (z = 0), 2, , -, ... -»t » on obtiendra une série de courbes qui ne sont autre chose que les courbes de niveau, ou courbes horizontales, usitées en topographie, et qui donnent une image exacte de la surface lorsque les sections sont assez rapprochées. En traçant en outre à des distances assez rapprochées une série de lignes parallèles aux axes des x et des y y on pourra, sans aucune nouvelle ligne, lire sur le dessin la valeur de :; correspondant à des coordonnées quelconques x, y.

**; Aujourd'hui inspecteur général des ponts et chaussées.

72 ou CALCUL GRAPHIQUE.

Si réqualion est du 1*' degré par rapport h x et h y, les horizontales des 2 seront des lignes droites. La fonction z = «x + Py.+ ^ ®^* représentée par une série de parallèles. En particulier, ces parallèles forment des angles égaux avec les axes des x et des y lorsque oc = p, soit des angles de 45* lorsque ces deux axes sont perpendiculaires Tun à l'autre.

L'équation s= -, ou plus généralement z — r= -^ sera repré-

sentée par un faisceau de droites dont le centre se trouve au point a^b.

Si réquation est du second degré, les courbes seront des coniques.

La table de Pythagore z = xy est représentée par une série d'hyperboles équilatères qui ont comme asymptotes les axes de coordonnées. On peut facilement transformer ces hyperboles en lignes droites, il suffit de poser :

lgs = lga?-J-lgy

et de considérer les logarithmes comme inconnues. Gomme dans cette équation Igx et Igy ont les mômes coefficients a=p=i, on obtiendra, pour des valeurs constantes de z, des lignes faisant des angles de 45* avec les axes. Nous donnons (PI. IIj) une table de multiplication ainsi construite. Les côtés du carré portent les divisions logarithmiques que nous avons déjà appris à connaître en étudiant les règles à calcul.

Tous les points du contour portant les mêmes indices ont été joints au moyen d'horizontales, de verticales et de lignes à 45*. On peut opérer avec cette table, que Lalanne a appelée « abaque », comme avec les règles à calcul. D'après les raisons données plus haut, et qui sont d'ailleurs évidentes, l'horizontale d'un nombre coupe la verticale d'un autre sur la ligne inclinée qui correspond à leur produit, et, de même, l'horif ontale (ou la verticale) d'un nombre coupe la ligne inclinée d'un autre sur la verticale (ou l'horizontale) de leur quotient.

On n'est pas limité d'ailleurs au produit de deux nombres; on peut multiplier entre eux autant de nombres que l'on voudra. Soit, par exemple, à former le produit 2. 3. 5. 7; on suivra (avec une pointe quelconque) la verticale 2 jusqu'à l'horizontale 3, l'intersection se trouve sur l'oblique 6; on suit cette oblique jusqu'à l'un des côtés du carré, par exemple, le côté inférieur, de là on remonte verticalement jusqu'à l'horizontale 5, l'intersection se trouve sur l'oblique 3 (ou 30), et nous répétons les opérations indiquées pour arriver à l'horizontale 7 qui correspond à l'oblique 21. Chaque fois que l'on arrivera au côté de droite ou au côté supérieur du carré, il faudra ajouter une unité à la caractéristique; cela est arrivé deux fois dans notre opération, la caractéristique est donc 2 et le résultat 210.