REMARQUES GÉNÉRALES SUR LES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Les tables numériques des coefficients entrant dans des multiplications ou divisions peuvent ôtre remplacées par des échelles sur lesquelles on mesure directement les valeurs de ces coefficients. Ainsi, nous avons représenté, au moyen d'échelles, les fonctions trigonométriques (PI. lUei 5). Notons un avantage de ces échelles sur les tables. Les deux segments, déterminés par un trait quelconque sur Téchelle entière, forment ensemble une longueur constante; ils représentent par suite les logarithmes de deux nombres réciproques. On écrira donc sur les échelles des sinus et des cosinus les valeurs des sécantes et des cosécantes en mesurant les distances jusqu'à Textrémité de droite.

De même, sur Téchelle des/)" (pi. IIJ, la distance d'un n quelconque

à l'extrémité de droite sera le log de — .

Les échelles des sinus et des cosinus ne s étendent qu'entre les caractéristiques 8 et i. Gomme on peut substituer l'arc lui-même au sinus et à la tangente lorsque son logarithme est plus petit que 8, il suffira, pour trouver les logarithmes de ces fonctions, d'ajouter au logarithme du nombre de minutes ou de secondes celui de la longueur d'une minute ou d'une seconde et que l'on pourra mesurer (PI. 11^). Les échelles de la PI. Il«,7«i8 ont été expliquées plus haut.

Nous avons enfin représenté, sur la fig. 9, quelques fonctions de g et (le s. Pour g surtout, il est bon de remarquer l'avantage que donnent

les segments complémentaires, car l'on a aussi souvent besoin de — et

if

de — — que de 2g et de yïg.

On pourra, suivant les besoins des calculs, étendre ces échelles ou en construire de nouvelles. Nous ne les avons indiquées que comme exemples.

En comparant les opérations de l'abaque avec celles de la règle à calcul, il semble que les premières soient plus générales et plus étendues que les secondes; mais elles nous paraissent au contraire moins pratiques et moins exactes. On commet certainement plus d'erreurs en interpolant une ligne entre deux obliques, en la suivant jusqu'à une verticale également interpolée, et enfin en remontant cette verticale, qu'en faisant la somme de trois segments placés les uns à la suite des autres. Si l'on remarque en outre qu'une règle à calcul est bien plus portative qu'un abaque construit à grande échelle, on comprendra facilement que l'usage de la règle à calcul se soit peu à peu généralisé beaucoup plus que celui de l'abaque.

14. TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS QUI DONNENT COMME LIGNES DE NIVEAU DES COURBES, DE FAÇON A OBTENIR DES LIGNES DROITES

Il nous a été possible, dans la construction de Tabaque, de transformer réquation z=zxy qui donne des hyperboles comme courbes horizontales, en une autre donnant des droites, par le moyen des logarithmes. Cette méthode est susceptible d'extension. Il est d'abord clair que le problème est toujours possible quand Téquation entre les deux inconnues X eiy peut être mise sous la forme

où X représente une fonction de x seulement, y' une fonction de y, et

où a„ 6„ c^ ne contiennent que z, 11 suffit, en effet, de donner k x eiy

des valeurs successives, de calculer les x et y' correspondants et de

porter les résultats sur les axes de coordonnées en mettant des indices

correspondants aux valeurs de x et de y; puis de calculer, pour des va-

leurs successives de z, les longueurs — 7^ et interceptées sur les

axes par les droites représentées par l'équation ci-dessus, de tirer les

obliques correspondantes en donnant comme indice à chaque oblique la

valeur correspondante de z et la représentation graphique sera terminée.

La feuille sera alors couverte de trois systèmes de lignes, des parallèles

aux axes de coordonnées et des obliques, et aux points trinterscction de

trois de ces lignes correspondent les valeurs simultanées de x, y, z, qui

sont indiquées par les indices des lignes.

Dans l'exemple que nous avons traité plus haut, 2=--, on ax' = a:,

t/' = y, 'a, = 1, ^x = — :; et c, = 0; dans l'autre exemple, z=xy, on a x' = \gx, y'=.lgy, a,=:b, = i et c, = — Igz.

On ne peut pas donner de règle générale pour transformer tf{xyz)=iO en a^x-\- ô,y' J-c, = 0. On prendra comme z l'inconnue qui se présente le plus souvent et qui a le plus fort exposant, et l'on cherchera par des divisions convenables à séparer les deux autres inconnues. Si cette opération ne réussit pas, on pourra toujours, d'une inflnité de manières, écrire l'équation de la manière suivante :

^(xyz) = aj,{xy) 4 àj^{xy) + c,= 0.

En posant maintenant

^' = /iky) et y'^A[xy).